1.5 二次函数的应用-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数的应用，通过掷实心球、抛物线形拱门等实际情境题导入，衔接二次函数表达式与图像性质，搭建从基础模型构建到提升最值求解的学习支架。 其特色在于采用分层练习设计，结合数学眼光挖掘实际问题中的数量关系，通过建立函数模型培养数学思维的推理意识，以利润计算、面积优化等实例强化数学语言表达。学生能提升应用意识，教师可依托分层资源高效教学。

数 学 九年级下册 XJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利用二次函数解决抛物线形问题 1.【2025四川绵阳期末】在体育课上，小颖站在操场上的 点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞 行路线是一条抛物线.如图，以点 为坐标原点，分别以 10 点所在的水平直线和竖直直线为轴、 轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表 示1米），已知实心球出手时的高度米，当飞行到与点 的水平距离为4米 时达到最大高度3米，则小颖这次实心球训练的成绩为____米（即 的长度）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【解析】由题意得抛物线顶点坐标为 ，则设抛物线的函数表达式为 抛物线过点,， ，解得 ，关于的函数表达式为.令 ，即 ，解得，（不合题意，舍去）， 米. 故答案为10. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 2.【2025湖南岳阳调研】某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛 物线形拱门.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点 ,,,）四个大字，要求点,位于同一高度，且 ，最高点的五角星 （点）到的距离为0.5米，米，米，则点到 的距离为_____米. 1.5 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 【解析】以平行于的直线为轴，过点且垂直于的直线为 轴，建立如图所 示的平面直角坐标系，则可设点，点，则点 ，故设抛 物线的表达式为.将点,的坐标代入上式得 解得, ，故答案为1.5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 知识点2 利用二次函数解决面积问题 3.【2025湖南益阳期中】如图是一个长、宽 的矩形花园，根据需要将它 的长缩短,宽增加，要想使调整后的花园面积达到最大，则 应为( ) C A.1 B.1.5 C.2 D.4 【解析】设调整后的花园面积为 .由题图可得， ， 当时， 取得最大值324，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 4.【2024广东珠海校级期中】如图，某小区计划用 的铁 栅栏围成一个两面靠墙（墙足够长）的矩形车棚 ，为 了方便存车，在边上开了一个宽的门 （1）求与之间的函数关系式（不用写出自变量 的取值范围）； 【解】由题意得， . （2）当的值为多少时，车棚面积 的值最大？最大面积是多少？ 【解】，且， 当时， 取得 最大值，为100.故当的值为10时，车棚面积的值最大，最大面积为 . （门不是用铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 知识点3 利用二次函数解决利润问题 5.在 月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售 某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜各个月份每千克售价与 每千克成本的信息，如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润 最大的月份可能是( ) C A.1月份 B.2月份 C.5月份 D.7月份 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 【解析】设月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为 元，每千克利润为 元.根据图象设， .根据图象设，将 代入，得 ，， ， , 当 时， 有最大值，即5月份出售该种蔬菜每千克利润最大.故选C. 关键点拨 先根据图中数据得出两个函数表达式，然后再表示出每千克利润与月份之间的函 数表达式，最后求解即可． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 6.【2024江西九江一模】元宵节吃元宵是中国的传统习俗，某超市购进一种品牌 的元宵，每盒进价是30元，并规定每盒售价不得少于40元，日销售量不低于350盒. 根据以往的销售经验发现，当每盒售价定为40元时，日销售量为500盒，且每盒售 价每提高1元，日销售量就减少10盒.设每盒售价为元，日销售量为 盒. （1）当时， _____； 400 【解】由题意，得 .故答案为400. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润 （元）最大？最大利润是多少？ 【解】由题意，得 日销售量不低于350 盒，，.又 ， ， 当时，随着的增大而增大.， 当时， 有最大值，为8 750元. 答：每盒售价定为55元时，日销售利润 取得最大值，最大利润为8 750元. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 提升 1.【2025江苏无锡一模，中】如图（1）是雷达的截面图， ，雷达的反射面轮 廓可近似看成抛物线，在不考虑厚度的情况下，反射面口径 ，最大深度 ，延长交于，则.为了更好地跟踪信号，将雷达的底座 绕 着点顺时针旋转一定的角度，如图（2）所示，点在反射面上，连接 ，当 时，，此时 的长为（图中所有点均在同一平面内） ( ) A 图（1） 图（2） A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 【解析】如图，以为原点，点所在水平直线为轴， 所在 直线为 轴，建立平面直角坐标系.设抛物线的表达式为 ，，.将 代入抛物 线表达式得，解得， 抛物线的表达式为 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 将雷达的底座绕着点顺时针旋转一定的角度， ， ， 旋转前与水平方向夹角为 ，设直线的表达式为 .将 代入表达式得，解得， 直线的表达式为 .联立 得解得 ， ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 2.【2024安徽滁州明光期中，中】如图，某养殖户用 长的篱笆围成一个长方 形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形， 则养殖园的最大面积是____ . 72 【解析】设养殖园的面积为，平行于隔离栏的边长为 .根据题意，得 ， 当 时， 的值最大，最大值为72.故答案为72. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 3.【2024河北保定期末，较难】某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每 个15元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量 （个）与每个的售价 （元）之间的函数关系如图. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 （1）求关于 的函数关系式（不用写出自变量的取值范围），并求出当某天的销 售量为78个时，该玩具的销售利润. 【解】设，将， 代入，得 .当时，，解得， 此时利润为 （元）， 当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润 为2 262元. 关键点拨 从题图中获取关键信息，并求出关于 的函数表达式是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 （2）在每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，则该 玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ 【解】由题意得，解得.设每天的销售利润为元，则， 当时，取最大值，最大值为 ,即若要每天获得的销售利 润最大，则该玩具每个的售价是42.5元，最大利润为 元. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 （3）根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于45元.该商场决定每销售 一个这种玩具就捐款元 ，捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获 利润随售价的增大而增大，求 的取值范围. 【解】设捐款后每天所获得的利润为 元.根据题意得 抛物线的 对称轴为直线，， 当时， 随 的增大而增大. 物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于45元， ,解得.又， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 刷素养 走向重高 4.核心素养 应用意识 【2025湖南益阳质检，较难】某农场有一个花卉大棚，其 横截面顶部为抛物线形，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体 上 （墙体足够长），， 均为支架，相关数据如图（1）所示（单位：米），其 中支架米， 米，两种支架各用了200根. 为增加棚内空间，农场决定将图（1）中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架 的长度变化情况如图（2）所示，调整后与上升相同的高度，即 ,其横 截面顶部仍为抛物线形，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预 算为40 000元. 以为原点，和所在的直线分别为轴和 轴建立平面直角坐标系. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 （1）①求出改造前的抛物线的函数表达式； 图（1） 【解】如图（1），由题意可知，， .设改 造前的抛物线的函数表达式为 ， 解得 改造前的抛物线的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 ②求出改造前大棚的最大高度. 【解】， 当时， 取得最大值 ， 改造前大棚的最大高度为 米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 （2）在经费预算内，求出 的最大值. 图（2） 【解】 改造前的抛物线的函数表达式为 ， 当 时， ，. ， ，， 改造后抛物线对称轴为直线 ， 设改造后抛物线表达式为 ,把 代入得,, .如图（2）， 当时，，当 时， ，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 28 ， ，解得 . ， 当时， 取最大值，最大 值为， 的最大值为2米. 思路分析 根据已知条件设改造后抛物线表达式为,进而表示出， 的坐 标,得到关于的不等式，进而得到 的最大值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 $