29.4 切线长定理_-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“切线长定理”及三角形内切圆，通过回顾切线性质导入，以基础题（如PA、PB切线的等腰三角形判断）为支架，逐步过渡到综合应用（如结合正方形、直角三角形的动态问题），衔接直线与圆位置关系等前置知识。 其亮点在于分层设计（基础巩固+能力提升）、融入中考真题与传统文化（刘徽勾股容圆），通过思路分析和“刷有所得”总结，培养学生几何直观、推理能力与模型意识。例如用面积法推导内切圆直径公式，助力学生系统掌握知识，也为教师提供结构化教学资源。

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二十 九章 直线与圆的位置关系 29.4 切线长定理* 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 切线长定理 （第1题图） 1.如图，,为圆的切线，切点分别为,，交 于点 ，的延长线交圆于点 ．下列结论不一定成立的是( ) B A. 为等腰三角形 B.与 互相垂直平分 C.点,都在以 为直径的圆上 D.为的边 上的中线 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】,为圆的切线，， 是等腰三角形，故A选项不 符合题意.由圆的对称性可知，垂直平分，但不一定平分 ,故B选项符 合题意.连接,,为圆的切线， ， 点, , 在以为直径的圆上，故C选项不符合题意.是等腰三角形， ， 为的边 上的中线，故D选项不符合题意．故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 （第2题图） 2.【2025广东广州期末】如图，，是 的切线，切点分别 是点，，是的直径.若 ，，则 的长 为____. 【解析】连接，，如图.，是 的切线，切点分别是 点，，是的直径，，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ，，解得 （负值已舍去）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 3.【2025河北承德期中】如图，正方形的边长为 ，以正 方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆 的切 线，与半圆相切于点，与相交于点，则 的面积为___ . 6 思路分析 由于与半圆切于点，所以根据切线长定理可得， . 设,则，，然后在 中由勾 股定理可以列出关于 的方程，即可求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 【解析】由题意得，，.设 ，则 ，.在 中，由勾股定理得， ，解得，， ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 4.如图，，是的切线，切于点， 的周 长为12， ． （1）求 的长； 【解】，都是的切线， ，同理 ，， 的周长为 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 （2）求 的度数． 【解】 ， ， . ，是的切线，,同理, ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 知识点2 三角形内切圆 （第5题图） 5. 传统文化【2024山东滨州中考】刘徽（今山东滨州人）是 魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被 誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视 一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给 出了内切圆直径的多种表达形式.如图，中， ， ，，的长分别为，，.则可以用含，， 的式子表示 出的内切圆直径 ，下列表达式错误的是( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 刷有所得 的三边长分别为，，（其中为斜边长），则的内切圆直径 可表示为；； . 【解析】方法一：特殊值法.为直角三角形， 令，， . 选项A，，选项B， ，选项C， ，选项D， ，只有D选项跟其他 选项不一致， 表达式错误的是D选项. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 方法二：面积法.如图，过点作于点， 于点 ，于点，连接，，.易证四边形 是正方 形..设 ，则 ，， . ，，， ,故选项A正 确.， ， ，，,故选项B正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 ， ， ， ，故选项C正确.排除法可知选项D错误.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （第6题图） 6.【2025河北沧州期末】如图，已知是 的内切圆. （1）若 ，则_____ ； 115 【解析】是的内切圆，，分别平分 ， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 （2）若与边相切于点，且，，，则 ____. 10 【解析】如图，设与，分别相切于点，与，， 分别相 切于点，，，且，，，， ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 7.如图，在中， ， ， ，半径为2的分别与，相切于点, ． （1）求证：是 的切线； 【证明】如图，连接，，，过点作 于点 半径为2的分别与,相切于点, ， ， , , 在中， ， ， ,为的半径，是 的切线. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （2）求图中阴影部分的面积． 【解】,与分别相切于点,， ,， ， , 四边形是正方形， ， .由（1）易得是的内切圆, 易得 ， ， .由（1）得 , ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 思路分析 （1）连接，，，过点作，垂足为.根据勾股定理求出 的长 后，再利用等面积法求出 的长，即可得到结论. （2）先利用三角形内切圆的性质，得到 ，再利用 计算即可得到答案. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 提升 （第1题图） 1.【2025河北衡水期中】如图，点和分别是 的内心和 外心，若 ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 刷有所得 若点为的内心，点为 的外心，则 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】 点是的外心， 易得， 点 是 的内心，，，，， ， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第2题图） 2.【2024江苏苏州质检,中】如图，在矩形中， ， ，以为直径在矩形内作半圆，过点作半圆的切线 交半 圆于点，则 ( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】如图，取的中点，则为圆心，连接，，与 交于点，都为半圆的切线， ， ，，， . 在中，，， . 易证明，，, , .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （第3题图） 3.【2024四川泸州模拟，中】如图，中， ，点 为的外心，，，是 的内切圆,则 的长为( ) C A.2 B.3 C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】过点作，，,垂足分别为,, 点 是 内切圆的圆心，，，， .又 中, ， 易知四边形是正方形， ， ，.设， ， ，则，得 ， ， 点为 的外心， ，， ．故 选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （第4题图） 4.【2024河南新乡期中，中】如图，已知为的直径， ， 分别与相切于点，，经过上一点， ， 若，，则 的长为___. 9 思路分析 连接,,过点作，构造矩形 ，再由全等三角形 的判定和性质得到 ，证明是 的切线， 然后由切线长定理得到，得出 ，再由勾 股定理即可求得 的长． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】如图,连接，，过点作，垂足为点 . 是的切线，， .在和 中， ， ， 是的半径，是的切线.是的切线, ， ，， ， 四边形 是矩 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 形，，，则是 的 切线，是的切线， ， ， 在 中，，即， .故答案为9． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 5.【2025河北石家庄长安区期中，较难】如图，已知 是边长为3的等边三角形，的半径为1，是边 上一动 点，，分别切于点，， 的另一条切线分别 交，于点，，切点为，则的周长 的取值范 围是______________. 思路分析 由切线长定理得 的周长 .连接， ，在 中，利用勾股定理得到与之间的关系式，则可知当点与点 或点 重合时，取得最大值，当点是的中点时， 取得最小值，据此求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 【解析】连接，，如图.，分别切于点 ， ，，.同理可得， ， 的周长 .在 中， .当点与点或点重合时， 取得最大 值，此时，， ， ；当点是的中点时，取得最小值，此时， 是等边 三角形，，在 中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 ， ， .综上， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 6.［中］如图，是的切线，切点为，是 的直 径，连接交于,过点作于点，交于 ， 连接， . （1）求证：是 的切线； 【证明】连接为的直径，， ， ，，， . 在和中， ， 为的切线， ， .又 为的半径,是 的切线. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （2）求证：为 的内心； 【证明】连接为的切线， ， ，， , ，即平分.又,为的切线，平分 , 为 的内心. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （3）若，，求 的长. 【解】 ， ， ， .在中，， ， . 易得， ， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力 ［中］如图，中，内切圆圆与，， 分别切 于，，，连接，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 （1）若 ，求与 的度数. 【解】 圆是的内切圆， ， 分别与,切于点,， ， ， . ， ， ， .如图，连接， 圆 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 （2）若 , ，试猜想 ， 的关系，并证明你的结论. 【解】 .证明:由（1）知 ， ， ，即 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 $