31.4课时2 用树形图法求概率-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“用树形图法求概率”，涵盖两次、三次重复试验及放回与不放回问题。通过电路开关、转盘等实际情境导入，衔接随机事件概率基础，搭建从具体情境到抽象概率计算的学习支架。 其亮点是结合跨学科案例和生活实例，如电路元件工作、3×3棋盘棋子放置，引导学生用数学眼光观察现实世界。解析中强调树形图法的逻辑推理过程，培养数学思维，用列表清晰呈现结果提升数学语言表达能力。分层练习和微专题设计帮助学生逐步突破难点，教师可直接取用例题与解析，有效提升教学效率。

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第三十一章 随机事件的概率 4 31.4 用列举法求简单事件的概率 课时2 用树形图法求概率 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用树形图法求两次重复试验模型的概率 （第1题图） 1. 跨学科综合 如图所示，电路连接完好，且各元件工 作正常.随机闭合开关，， 中的两个，能让两个小灯泡 同时发光的概率是( ) A A. B. C. D.0 思路分析 首先根据题意画出树形图，然后由树形图求得所有等可能的 结果数与能让两个小灯泡同时发光的结果数，再利用概率公 式求解即可求得答案． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【解析】画树形图如图： 共有6种等可能的结果，其中能让两个小灯泡同时发光的结果有2种， 能让两个 小灯泡同时发光的概率为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （第2题图） 2.【2025浙江湖州质检】如图，转盘上白色扇形和黑色扇形的圆心 角分别为 和 ，让转盘自由转动两次，则指针一次落在白 色区域，一次落在黑色区域的概率是( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 【解析】白色区域用A表示，黑色区域分成两个圆心角均为 的扇 形，分别用和 表示，如图. 画树形图如下： 一共有9种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，一次落在黑色区域的结果 有4种， 指针一次落在白色区域，一次落在黑色区域的概率是 ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 3.一个 的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子. 图（1） （1）如图（1），棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一 枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为__； 【解析】棋盘中还有7个方格，只有把棋子放在最中间方格内才能使 三枚棋子恰好在同一条直线上，所以这三枚棋子恰好能在同一条直线 上的概率为，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 图（2） （2）如图（2），棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两 枚棋子，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为__. 【解析】把剩余的5个方格从左到右,从上到下分别记为1，2，3，4， 5，画树形图如图： 共有20种等可能的结果，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的结果有8种， 仅 有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 4.【2025河北承德期末】不透明的口袋里装有红、蓝两种颜色的小球（除颜色外 其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个. （1）第一次摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用画树形图法 求两次摸出的都是红球的概率； 【解】将2个红球分别记为红1，红2.根据题意画出树形图如下： 共有6种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有2种，所以两次摸出的 都是红球的概率是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 （2）若在口袋中再添加 个蓝球，充分摇匀，从中摸出一个小球，使得摸到红球 的概率是，试求 的值. 【解】根据题意得，解得.经检验， 是分式方程的解. 所以 的值是5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 知识点2 用树形图法求三次重复试验模型的概率 5.某校有两块运动场地，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的某个运动场地 进行跑步训练，则甲、乙、丙三名学生在同一块场地跑步训练的概率为( ) D A. B. C. D. 【解析】设两块运动场地分别为A,B.画树形图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名学生在同一块场地跑步训练的结果有 2种， 甲、乙、丙三名学生在同一块场地跑步训练的概率为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 6.【2025河北承德质检】三张完全相同的纸片上分别写有一个代数式，分别是 ，， . （1）,当时，求 的值. 【解】，， ， .当 时， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （2）将三张纸片背面向上，打乱顺序后，在背面分别标上①②③，摆成如图所示 的一个式子，请用画树形图法或列表法求出能使运算结果为常数的概率. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 【解】由（1）得 ，结果不为常数，则 ，结果不为常数； ， 的结果不为常数，则 的结果不为常数； ， 的结果为常数，则 的结果为常数. 画树形图如下： 共有6种等可能的结果，其中能使运算结果为常数的有2种， 能使运算结果为常数的概率为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 思路分析 （1）先根据整式的加减运算法则求出 ，再代入数值计算即可； （2）根据整式的加减运算法则求出，， ， 的结果均不为常数，， 的结果为常数，画出对应的 树形图得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率 计算公式求解即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 提升 1.［中］在如图所示的方格纸中，点，，，，， 均 为小正方形的顶点.先从，，中任取两点，再从，， 中任 取一点画三角形，则所画三角形是直角三角形的概率是( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 【解析】列表如下: , , , 由表可知，共有9种等可能的结果，其中所画三角形是直角三角形的有 ， 这2种结果，所以所画三角形是直角三角形的概率是 ，故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 微专题3 概率中的放回与不放回问题 2.【2025贵州六盘水期中，中】一个不透明的盒子里装有4张相同的卡片，上面分 别写有数字0，1， ，3. （1）放回从中任意抽取一张，将卡片上的数字记录下来后放回盒中，摇匀，再从 盒中任意抽取一张，同样将卡片上的数字记录下来，则第一次记录下来的数字减 去第二次记录下来的数字所得结果为非负数的概率 __； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 【解析】列表如下： 第一次 第二次 0 1 3 0 0 1 3 1 0 2 2 3 0 5 3 0 由表可知，共有16种等可能的情况，其中第一次记录下来的数字减去第二次记录 下来的数字所得结果为非负数的情况有10种， 第一次记录下来的数字减去第二 次记录下来的数字所得结果为非负数的概率 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 （2）不放回从中任意抽取一张，将卡片上的数字记录下来,再从余下的3张卡片中 任意抽取一张，同样将卡片上的数字记录下来，则第一次记录下来的数字减去第 二次记录下来的数字所得结果为非负数的概率 __. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 【解析】列表如下： 第一次 第二次 0 1 3 0 1 3 1 2 2 3 5 3 由表可知，共有12种等可能的情况，其中第一次记录下来的数字减去第二次记录 下来的数字所得结果为非负数的情况有6种， 第一次记录下来的数字减去第二次 记录下来的数字所得结果为非负数的概率 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 刷有所得 使用列表法求解放回、不放回概率问题时，“放回型”对角线处有数值，“不放 回型”对角线处无数值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 （第3题图） 3. 【2025河北邢台质检，中】如图，正五边形的顶点 处 有一个跳蚤机器人，它每跳1步可以等概率地跳到相邻的顶点.顶 点处有一个陷阱，机器人跳到 处就会触发毁灭程序,则机器人 跳4步仍未毁灭的概率为_____. 0.5 关键点拨 先假设 处没有毁灭程序，机器人跳4步的路线可通过画树形图得 出共有16种，在路线中没有路过 的有8种，计算即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 【解析】假设 处没有毁灭程序，机器人跳4步的路线画树形图如下： 通过树形图可知共有16种等可能的结果，在路线中没有跳到的结果有8种， 机 器人跳4步仍未毁灭的概率为 .故答案为0.5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （第4题图） 4.【2025河南郑州期末，中】小华和小文玩“棒打 老虎鸡吃虫”的游戏.如图，游戏规则为两人面对面， 各用一根筷子相击，同时口喊“棒子棒子…”，在 喊完“棒子棒子”后每人随机喊出老虎、棒子、鸡、 虫中的一个.规定：以棒打老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫，虫吃棒定胜负，若喊出棒子 与鸡、老虎与虫或喊出同一个，则不分胜负.依据上述规则，小华和小文同时随机 喊出其中一个，小华取胜的概率是__. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 【解析】根据题意，列表如下： 小文 小华 老虎 棒子 鸡 虫 老虎 （老虎，老虎） （老虎，棒子） （老虎，鸡） （老虎，虫） 棒子 （棒子，老虎） （棒子，棒子） （棒子，鸡） （棒子，虫） 鸡 （鸡，老虎） （鸡，棒子） （鸡，鸡） （鸡，虫） 虫 （虫，老虎） （虫，棒子） （虫，鸡） （虫，虫） 共有16种等可能的结果，其中小华取胜的结果有4种，（小华取胜） ， 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 5.［中］在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1， 2，2，3． （1）若小明随机取出一个小球，求取到标有数字2的小球的概率； 【解】若小明随机取出一个小球，则取到标有数字2的小球的概率为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 （2）小明先从布袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为 ．小红再从剩下 的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为，点坐标记作 ．规定：若点 在反比例函数的图像上，则小明胜；若点在反比例函数 的图像 上，则小红胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 【解】画树形图如图： 共有12种等可能的结果，点，在反比例函数 的图像上的结果有4种，点 在反比例函数的图像上的结果有4种， 小明胜的概率为 ，小红 胜的概率为. 小明胜的概率小红胜的概率， 这个游戏公平． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 $