专题01函数大题（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》.docx

编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第1个大题专题，内容为函数。 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 大题专题01 函数 · 一、课标解读 · 掌握核心函数性质：需理解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的概念、解析式和图像特征。 · 理解分段函数的概念，掌握从实际问题中抽象出分段函数模型解决简单实际问题的方法。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 21 函数的销售利润最值 5 陕西职教单招真题中，函数的大题考查呈现以下特点： （1）题型：每年大题一个。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在12分左右。 （3）内容：本节题型较多，但通过近几年高考来看，考查二次函数的的应用题居多。 2022 选择题 22 函数的几何图形最值 5 2021 选择题 21 函数的销售利润最值 5 三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有1道大题考查，主要考查“二次函数求最值模型问题”等，共10-12分。 具体考点： · 二次函数利润模型。 · 分段函数模型。 四、知识梳理 1. 一次函数型 核心特征：函数形式为，变量间呈线性关系，斜率k表示变化率。 典型场景：成本核算（固定成本+单位变动成本）、行程问题（匀速运动）、计费问题（阶梯电价 / 话费基础费+超额费用）、线性增长/衰减问题。 说明：解题关键：通过题意确定固定量和单位变化量，明确定义域（实际意义限制，如销量、时间不能为负）。 2. 二次函数型（重点） 核心特征：函数形式为，图像为抛物线，重点考查最值（顶点或端点）。 典型场景：利润最大化问题（利润=收入-成本，收入=单价×销量，单价或销量常为线性关系）、面积最值问题（矩形、梯形等图形的边长与面积关系）、工程优化问题（用料最省、产量最优）。 说明：解题关键：根据实际条件构建二次函数，通过顶点公式或配方法求最值，同时验证定义域内的有效性。 3. 指数函数型 核心特征：函数形式为，变量呈指数增长或衰减。 典型场景：复利计算（银行存款、贷款利息）、人口增长 / 减少、病毒传播、药物浓度衰减、设备折旧、增长率问题（如产量逐年递增百分比）。 说明：解题关键：确定初始量、增长率 / 衰减率，注意定义域为非负实数（时间、次数等）。 4. 对数函数型 核心特征：函数形式为，常与指数函数互为逆用。 典型场景：测量问题（如地震震级、声音响度、pH 值计算）、对数增长问题（如学习效率、产量增速放缓的场景）、数据处理（如对数换底简化计算）。 说明：解题关键：理解对数的实际意义（如震级每升 1 级，强度扩大 10 倍），注意真数必须为正，结合对数运算规则化简。 5. 幂函数型 核心特征：函数形式为，变量间呈幂次关系。 典型场景：物理公式应用（如功率与速度的关系、万有引力公式）、工程问题（如材料强度与尺寸的关系）、经济问题（如生产要素投入与产量的关系）。 说明：解题关键：根据实际规律确定幂指数和系数k，结合幂函数的单调性、定义域（如负数不能开偶次方）分析。 6. 分段函数型 核心特征：同一变量在不同区间对应不同的函数表达式，需分段讨论。 典型场景：计费问题（如出租车起步价+里程费、电费分档计费）、优惠活动（如购物满减、折扣分段）、实际限制问题（如产量超过阈值后成本变化）。 说明：解题关键：明确分段节点（如计费档位数、优惠门槛），分别构建各区间的函数解析式，求解后验证结果是否在对应区间内。 五、10分钟小测验 1.某商场经营一批进价是元件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价元与日销售量件之间有如下关系： Ⅰ确定与的一个一次函数关系式； Ⅱ若日销售利润为元，根据Ⅰ中关系写出关于的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 2.某桶装水经营部的进货成本是每桶水元．销售单价与日均销售量的规律如表所示： 销售单价元 日均销售量桶 若每天的房租、人员工资、奖金等经营成本与销售单价满足关系：为常数且． 请根据以上数据作出分析． 求日均销售量关于销售单价的函数关系式； 这个经营部怎样定价才能获得最大利润？并求出最大利润． 答案和解析 1.【答案】解：Ⅰ因为为一次函数，设， 解方程组， 得，， 又因为， 所以， 故为所求的函数关系式 Ⅱ依题意得：， ， 当时，， 即销售单价为元件时，获得最大日销售利润．  【解析】Ⅰ因为为一次函数，设，代入，，可得函数解析式，根据，可得函数定义域； Ⅱ依题意得：，利用配方法，可得最大的日销售利润． 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查配方法的运用，确定函数解析式是关键． 2.【答案】解：依题意，销售单价每增加元，日均销售量就减少桶． 故， 所以日均销售量关于销售单价的函数关系式为 ，； 设日均销售利润为元， 则 ，， 若，，时，； 若，时，； 故当时，定价为每桶元可获得最大利润，最大利润为； 当时，定价为每桶元可获得最大利润，最大利润为． 【解析】本题考查函数模型的应用题，属于较难题． 依题意销售单价每增加元，日均销售量就减少桶．故，即可得到日均销售量关于销售单价的函数关系式； 设日均销售利润为元，得，，分情况讨论，进行求解即可． 六、经典例题解析 （一）二次函数求最值应用题 考点一利润最值问题 【例1】（2023·陕西对口升学高考）某农户生产销售一种新型农产品，这种产品的成本价格为每千克元，根据市场调查，该产品每天的销售量(千克)与销售价格(元/千克)的函数关系式为：，设这种产品每天的销售利润为(元)． （1）将每天的销售利润表示为销售价格的函数解析式； （2）当为多少时利润最大，并求最大利润． 【 的固定成本为 90 万元，且每生产一吨该产品成本增加 10 万元．若该产品一次性出售，其销售价格p（单位：万元 / 吨）与销售量x（单位：吨）的函数关系为：．（1）求该产品的利润y（利润 = 销售收入−总成本）与x的函数解析式；（2）当x为多少时利润最大，并求出最大利润． 【解析】（1）求利润y与x的函数解析式 首先分析销售收入：销售收入 = 销售价格×销售量， 已知， 因此销售收入为 再分析总成本：固定成本为90万元，每生产一吨成本增加10万元，因此总成本为90 + 10x。 考点小结：先明确成本、单价、销售量的变量关系（常含线性关系，如销售量随单价变化），确定自变量取值范围；再用顶点公式或配方法求最值，验证顶点横坐标是否在定义域内。 考点二几何图形最值问题 【例1】（2022·陕西对口升学高考）某厂有许多形状为直角梯形的金属薄片边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现从这些边角料上截取如图中阴影部分所示的矩形薄片备用，其中. （1）求矩形的面积与其边长的函数解析式； （2）当矩形的边长，分别为多少时，所截取的矩形面积最大，并求出最大值. 【解析】（1）求矩形面积S与边长x的函数解析式 （1） （2） 考点小结：先分析图形边长关系（如通过相似三角形推导未知边长与已知边长的函数式），再构建面积关于某一变量的二次函数；求最值时需结合图形实际尺寸确定自变量范围（如边长为正、不超过原图形边长）。 考点三行动/运动轨迹最值问题 【例1】学校的学生在实训中，操作一个物体做平抛运动（可近似用二次函数模型分析竖直方向下落高度），竖直方向下落高度。若该物体从某一高度下落，要求在下落高度不超过20m的范围内，求运动时间t的最大值，以及此时的下落高度。 【解析】： 考点小结：明确运动规律对应的二次函数解析式，根据题干限制条件（如高度≤某值）列不等式，求解自变量范围并确定最值；注意自变量的物理意义（如时间＞0）。 考点四费用最省最值问题 【例1】学校的汽修专业学生创业，计划开设一个汽车零部件代购点，固定成本为5000元，每个零部件的采购成本为20元，售价为50元，但每月还需支付租金等变动费用，经测算，每月销售x个零部件时，总费用y（单位：元）与x的关系为。求每月销售多少个零部件时，每个零部件的平均费用最低？最低平均费用是多少？ 考点小结：先根据题干确定总费用解析式（含固定成本、变动成本），推导平均费用函数；再通过二次函数顶点或均值不等式求最值，验证结果是否符合实际数量要求（如零部件数量为正整数）。 考点五增长率/下降率最值问题 【例1】一个网店，商品初始销售额为1000元，计划通过营销活动提高销售额，销售额y（单位：元）与营销时间x（单位：月）的关系满足二次函数。求经过几个月后，销售额达到最大值？最大销售额是多少？ 考点小结：明确初始量（如初始销售额）、变化规律（如每月销售额的二次函数关系），确定自变量范围（如时间≥0）；用顶点公式求峰值对应的自变量（如时间）和最大函数值（如最大销售额）。 （二）一次函数型 【例1】出租车公司规定：起步价8元（3公里内，含3公里），超过3公里后，每行驶1公里加收2.5元（不足1公里按1公里计算）。求乘车费用y（元）与行驶里程x（公里，x>0）的函数解析式，并计算行驶10公里的费用。 考点小结：先确定分段节点（如出租车 3 公里分界、计费档位数），分别构建各区间的一次函数解析式（y=kx+b，k 为单位变化率，b 为固定量）；计算时需判断自变量所属区间，代入对应解析式。 （三）指数函数型 【例1】企业现有资金100万元，计划投入一项投资，年增长率为8%，按复利计算（每年本息自动转存）。求资金总额y（万元）与投资年数x（年，的函数解析式，并计算5年后的资金总额（精确到0.1万元）。 考点小结：明确初始量（如初始资金、初始人口）、增长率 / 衰减率（确定 b 值，增长时 b＞1，衰减时 0＜b＜1），确定自变量范围（如时间为非负整数）；计算时需熟练运用指数运算规则（如 1.08⁵的近似值）。 （四）对数函数型 【例1】地震的震级M与地震释放的能量E（单位：焦耳）满足。若某次地震的震级为 7.0 级，求其释放的能量E（结果用科学记数法表示，保留 1 位有效数字）。 考点小结：明确对数函数解析式（如 M=algE+b），根据已知量（如震级 M）变形方程，将对数式转化为指数式（如 E=10^((M-b)/a)）求解；注意对数真数的取值范围（如能量 E＞0）。 （五）幂函数型 【例1】物理实验表明，物体自由下落时，下落距离s（米）与下落时间t（秒）的关系符合幂函数模型。已知物体下落2秒时，距离为19.6米；下落3秒时，距离为44.1米。求函数解析式，并计算下落5秒的距离。 考点小结：通过已知条件（如两组 x、y 值）列方程组，求解幂指数 α 和系数 k，确定幂函数解析式；验证解析式是否符合所有已知条件，再代入求解目标值（如下落 5 秒的距离）。 （六）分段函数型 【例1】一般居民电费收费标准如下：每月用电量不超过200度，按0.55元/度收费；超过200度但不超过400度的部分，按0.6元/度收费；超过400度的部分，按0.8元/度收费。求电费y（元）与用电量x（度，）的函数解析式，并计算用电量350度的电费。 考点小结：通过已知条件（如两组 x、y 值）列方程组，求解幂指数 α 和系数 k，确定幂函数解析式；验证解析式是否符合所有已知条件，再代入求解目标值（如下落 5 秒的距离）。 七、专题归纳小结 一、核心内容梳理 1、函数类型全覆盖，包括一次、二次、指数、对数、幂函数及分段函数，明确各类型的解析式、核心特征与典型应用场景。 2、重点聚焦二次函数，其作为陕西职教单招高频考点，主要考查利润、面积等最值问题，需熟练掌握顶点公式和配方法求最值。 2、 解题策略与方法 1、模型识别：根据题意中的变量关系（线性、指数增长、分段计费等），快速匹配对应函数类型。 2、解析式构建：提取题目中固定量、变化率、分段节点等关键信息，代入对应函数形式，补全参数并明确定义域。 3、最值求解：二次函数优先用顶点公式或配方法，结合定义域验证有效性；分段函数需分段计算后比较区间内最值。 4、实际验证：求解后回归实际场景，检查结果是否符合销量、价格、时间等物理意义的限制。 三、易错点与避坑指南 1、忽略定义域限制，未根据实际场景（如销售量非负、价格范围）确定自变量取值范围，导致结果无效。 2、二次函数求最值时，未判断顶点横坐标是否在定义域内，直接套用顶点值导致错误。 3、分段函数遗漏分段节点，或未验证求解结果所属区间，引发计算偏差。 4、指数、对数函数中，混淆增长率/衰减率的计算逻辑，或忽略对数真数为正的前提条件。 四、复习建议 1、重点突破二次函数，集中练习利润、面积最值类真题，熟练掌握解析式构建和最值求解的完整流程。 2、分类整理典型题型，按函数类型归纳实际应用场景，形成 “场景 - 模型 - 解法” 的对应思路。 3、强化计算细节，针对顶点公式、对数运算、分段讨论等易出错环节，进行专项刷题巩固。 4、结合小测验和真题练习，限时完成解题，提升从题目中提取关键信息、快速建模的能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $