26.2.1.二次函数y=ax^2的图象与性质-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)
2025-11-17
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数y=ax²的图象与性质，从点代入求参数等基础例题切入，衔接一次函数知识，通过“刷基础”到“刷提升”的分层练习，搭建从图象特征（开口方向、大小）到性质应用（对称性、单调性）的学习支架。
其亮点是融合各地期末质检真题，结合技巧点拨（如|a|与开口大小关系）和思路分析（如分类讨论直角三角形顶点），培养学生抽象能力、推理意识与创新意识。开放性试题（如探究a的取值范围）助力学生分层提升，也为教师提供丰富教学资源，提升教学效率。
内容正文：
数 学
九年级下册 HS
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第一部分 教材同步分层练
第26章 二次函数
4
26.2
二次函数的图象与性质
1.二次函数 的图象与性质
5
刷基础
刷提升
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基础
知识点1 二次函数 的图象
1.【2025福建福州期末】若函数的图象经过点，则 的值为( )
A
A.3 B.6 C. D.
【解析】将代入，得 ，故选A.
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2.抛物线，，， 中，开口最大的是抛物线
( )
A
A. B. C. D.
【解析】二次函数中， 的值越小，函数图象的开口越大.
， 抛物线，，，
中，开口最大的是抛物线 .故选A.
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技巧点拨
二次函数中，决定抛物线的开口大小，越大，开口越小；
越小，开口越大.
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3.【2025重庆铜梁区期中】二次函数的图象如图所示，则 的取值范
围是________．
【解析】由题图可知，抛物线的开口方向向上，则，解得 ．故答
案为 ．
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4.【2025河南周口质检】
（1）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数和 的图象；
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【解】二次函数和 的图象如图所示：
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（2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标这四个方面说出两个函数
图象的相同点与不同点.
【解】二次函数和 的图象的相同点：形状都是抛物线，对称轴
都是轴，顶点坐标都是；二次函数和 的图象的不同点：
的图象开口向上， 的图象开口向下.
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知识点2 二次函数 的性质
5.若二次函数的图象经过点 ，则该图象必经过点( )
A
A. B. C. D.
【解析】 二次函数的图象的对称轴为轴， 若图象经过点 ，
则该图象必经过点 .故选A.
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思路分析
先确定出二次函数图象的对称轴为 轴，再根据二次函数图象的对称性进行解答.
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6.关于四个函数，，， 的共同点，下列说法正
确的是( )
C
A.图象开口向上 B.图象都有最高点
C.图象对称轴都是轴 D.随 的增大而增大
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【解析】
A ，图象开口向上，，图象开口向下，则与 的图
象开口向下，A选项错误
B 开口向上时，图象有最低点，开口向下时，图象有最高点， 与
的图象有最低点，B选项错误
C 的图象的对称轴是 轴，C选项正确
D 开口向上时，在对称轴右侧，随 的增大而增大；开口向下时，在对称轴左
侧，随 的增大而增大，D选项错误
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7.【2025四川泸州期末】已知，且点，， 都在函
数 的图象上，则( )
C
A. B. C. D.
【解析】 函数的图象开口向下， 当时，随 的增大而减小.
，.又 点，， 都在函
数的图象上， ．故选C.
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8.已知点,是函数的图象上的两点，且当
时，有，则 的取值范围是_______.
【解析】 当时，有，，.故 的取值范围
是 .
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9.【2025山东德州质检】如图，正方形的边长为 ，以正方形的中
心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与 的图象，
则图中阴影部分的面积是___．
3
【解析】 函数与的图象关于轴对称， 题图中
阴影部分的面积是正方形面积的一半. 边长为的正方形的面积为6， 题图中
阴影部分的面积是3．故答案为3．
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关键点拨
函数与的图象关于轴对称，所以阴影部分的面积为边长为 的
正方形面积的一半.
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10.【2025河南开封期末】已知是二次函数，且当时，
随 的增大而增大．
（1）求该二次函数的表达式；
【解】由是二次函数，且当时，随 的增大而增大，得
解得， 二次函数的表达式为 .
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（2）写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
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【解】 的图象如图所示.
由图象可知，顶点坐标是，对称轴是 轴．
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（3）若点在该二次函数图象上，求点 关于该函数图象的对称轴对称的点
的坐标；
【解】 点在该二次函数图象上，， 点 的坐标为
, 点关于该函数图象的对称轴对称的点的坐标为 .
（4）如果点是该二次函数图象上一点，且，求 的取值范围．
【解】 点是该二次函数图象上一点，且， 当 时，
，当时， 当时， 取最大值，为0，
当时， ．
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提升
1.【2025安徽安庆质检，中】已知点，， 在同一个
函数的图象上，则这个函数可能是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】由点，可知，点与点关于 轴对称，故A、B选项不符
合题意.,, 在对称轴的右侧随 的增大而减小，故函数图象
开口向下., ,故C选项不符合题意，D
选项符合题意，故选D.
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2.【2024重庆渝中区期中,中】下列选项中，函数与 的图象可
能是( )
A
A. B. C. D.
【解析】当时， 的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数
的图象是一条直线，经过第一、二、三象限；当时， 的图
象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数 的图象是一条直线，经过
第二、三、四象限，故选项A正确，故选A.
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（第3题图）
3.［中］如图是四个二次函数的图象，则,,, 的大小关系为
______________.（用“ ”连接）
【解析】如图，作直线.因为直线 与四条抛物线的交点
从上到下依次为，，，，所以 .
故答案为 .
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关键点拨
当 时，函数值分别等于各函数的二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐
标的大小即可.
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4. 开放性试题 ［中］在平面直角坐标系中，点， ，
的图象如图所示，则 的值可以为_________________.
1（答案不唯一）
（第4题图）
【解析】因为当时，，即；当时，，即 ，解
得，所以 .故答案为1（答案不唯一）.
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5.【2025福建泉州期末，中】在平面直角坐标系中，点， 均在抛物线
上，，且轴.已知，则 _______．
或
【解析】令与轴的交点为 点，均在抛物线上， ，且
轴，， 点，的纵坐标均为 ，
，，，.故答案为或 ．
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6. 开放性试题 【2025安徽芜湖质检，中】在平面直角坐标系 中，函数
的图象与函数的图象组成图形.对于任意实数 ，
过点且与轴平行的直线总与图形有公共点，写出一个满足条件的实数
的值为_________________（写出一个即可）.
1（答案不唯一）
【解析】由解得或 函数 的图象与函
数的图象的交点为和,如图. 函数
的图象与函数的图象组成图形，对于任意实数 ，
过点且与轴平行的直线总与图形有公共点， ，故答案为1
（答案不唯一）.
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7.［较难］如图，点，，， ，在抛物线上，点，， ，
， ，在轴上.若，， ， 都为等腰直角三
角形（点是坐标原点），则 的腰长等于_________.
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【解析】
如图，作轴，轴，轴，垂足分别为， ，
，都是等腰直角三角形， ，
， 设.将点的坐标代入得，解得
（不合题意，舍去）或，，则.由勾股定理得 .
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过作轴于，过作于.设点 ，可得
，.又 点在抛物线上， ，即
，解得或（不合题意，舍去），则 .同理可
得，， ， ，
的腰长为.故答案为 .
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关键点拨
利用等腰直角三角形和点的坐标关系求出第一、二个等腰直角三角形的腰长，观
察规律可得结论.
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刷素养走向重高
8.思想方法 分类讨论 【2025湖南益阳期中，较难】在平面直角坐标系 中，
直线与轴交于点，与抛物线交于， 两点
在的左边 .
图（1）
图（2）
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（1）求 点的坐标；
【解】令，得，则点的坐标为 .
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（2）如图（1），若点关于轴的对称点为点，当以点，， 为顶点的三角
形是直角三角形时，求实数 的值；
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【解】联立直线与抛物线 得
，或，， 点
关于轴的对称点为点， ，
，
，
.
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若 ，则，即 ，
（负值已舍去）;若 ，则 ，即
，（负值已舍去）;若 ，则
，即 ，此方程无实数解.
综上，或 .
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思路分析
用含的代数式表示出，， ，利用勾股定理列方程并求解，因为直角
顶点不确定，所以需要分类讨论.
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（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫做整点，如
，均为整点.如图（2），直线与抛物线 所围成的封闭图形
（即阴影部分，不包含边界）内的整点恰好是26个，求 的取值范围.
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【解】如图，直线与抛物线 所围成的封闭图形
（即阴影部分，不包含边界）内的整点只能落在 轴和直线
上.
，，， 整点恰
好是26个， 落在轴和直线 上的整点应各为13个.由
落在轴上的整点有13个得，即. ①若 ，则
， 线段上的整点应该为，， ， ，
, ,；②若，则， ，
线段上的整点正好有13个.综上，或 .
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