24.6课时2 正多边形的性质-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(沪科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“正多边形与圆”，核心知识点涵盖正多边形的性质（双心多边形）及计算（半径、周长、边心距等）。课堂从双心多边形定义切入，联系圆的圆心角、圆周角知识，通过归纳总结“正多边形必有外接圆和内切圆”构建支架，分刷基础、提升、素养三层递进练习。 其亮点是分层设计与实际结合，融入传统文化（如斛的底面计算）和建筑实例（万佛塔地基），培养数学眼光。通过辅助线构造（连接中心与顶点）和推理证明（如AE=AC+AB），发展推理能力与几何直观。学生能提升应用意识，教师可借助分层素材提高教学效率。

数 学 九年级下册 HK 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第24章 圆 4 24.6 正多边形与圆 课时2 正多边形的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正多边形的性质 1.将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形.例如，三角形既有外接圆 也有内切圆，所以三角形是双心多边形.下列图形：①正方形；②长方形；③正五 边形；④六边形.其中是双心多边形的有( ) B A.①②④ B.①③ C.①④ D.②③④ 【解析】根据正多边形既有外接圆又有内切圆可知正方形、正五边形都是双心多 边形， 双心多边形有①③，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 归纳总结 任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但正多边形一定有外接圆和内切圆. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识点2 正多边形的计算 2.如图，螺母的外围可以看作是正六边形 ，已知这个正六 边形的半径是2，则它的周长是( ) C A. B. C.12 D.24 【解析】设正六边形的中心为，连接，，如图所示. 是正 六边形的中心， ， ，， 是等边三角形， ， 正六边形的周长为 ．故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 3.【2025安徽合肥肥西校级期中】半径为 的圆内接正三角形、正方形、正六边形 的边心距分别为，，，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 【解析】由圆的半径为，易得正三角形的边心距为 ，正方形 的边心距为 ，正六边形的边心距为 ， ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 4.【2024安徽合肥蜀山区期末】如图，正五边形内接于 ， 点在上.若 ，则 度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，连接， 五边形 是正五边形， ， ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 关键点拨 根据正五边形的性质得出 的度数是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 5. 传统文化 【2024湖北黄冈期末】斛是中国古代的一种量器. 据《汉书·律历志》记载：“斛底，方而圜 其外，旁有庣 焉.”意思是说：“斛的底面为正方形外接一个圆，此圆外是 一个同心圆.”问题：如图，现有一斛，其底面正方形外接圆的同心 【解析】如图，由题意知四边形为正方形， ， ，为内圆直径， .由题意得 ， ，.故答案为 . 圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆 的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为____尺.（注：尺、寸为古 代长度单位） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 6.【2025安徽安庆桐城期末】如图，在的内接四边形 中， ， ，点在上，连接，，， . （1） 的度数为______； 【解析】如图，连接 ， ， .， 是等边三角 形， ， ， 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 （2）当 时，恰好为的内接正边形的一边，则 的值为____. 12 【解析】如图，连接 ， ， 恰好为的内接正 边形的一边， ，故答案为12. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 7.万佛塔位于安徽省亳州市蒙城县城内东南隅，始建于宋崇宁元年（1102年）， 又名插花塔、兴化寺塔、慈氏寺塔，整座塔为八角十三层楼阁式砖塔，高 ， 塔底直径为 ，因塔体内外镶嵌佛像八千余尊而得名，如图（1）.其正八边形的 地基 的示意图如图（2）. 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 （1）求地基的中心到边缘的距离 的长； 【解】连接,由正八边形的性质得 ， . 又， 在中， 故地基的中心到边缘的距离的长约为 . （2）已知塔的墙体宽为 ，现要在塔的底层中心建一圆柱体，四周雕刻佛像， 并且留出最窄处为 的观光通道，问圆柱体的底面半径最大是多少？ （参考数据：，结果精确到 ） 【解】 ． 圆柱体的底面半径最大为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 提升 1.【2025安徽亳州校级质检，中】如图，，分别是 的内接正五边 形的边，上的点，，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】连接，，，如图. 五边形是 的内接正五边 形，， .在 和中， ， ， ， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 关键点拨 连接，，，证明 ，根据全等三角形的性质得到 是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 2. 传统文化 【2025河北石家庄裕华区模拟，中】刘徽于公元263年撰写的 《九章算术注》中指出，用“周三径一”计算出来的不是圆的周长，实际上是圆 内接正六边形的周长.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长 就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论 和完善的算法.如图（1），将半径为2的圆进行12等分分割，拼接成如图（2）所 示图形,连接，交于点，则 的面积为( ) C 图（1） 图（2） A. B. C.3 D.4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】如图，过点作于点.在中， ， ， ， ， 正十二边形的面积为 思路分析 根据正十二边形的性质以及直角三角形的边角关系求出的长，再求出 的 值，进而求出平行四边形的面积，由 进行计算即可. 易得四边形为平行四边形， 平行四边形 的面积为 12， ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 3.［较难］已知四个正六边形如图所示摆放在圆中，顶点 ， ，，，， 在圆上.若两个大正六边形的边长均为2，则小 正六边形的边长均是( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】如图，连接交于，则点是圆心，过点 作 于，连接，易知，,,共线，取的中点 ， 连接，.由对称性可知， ，由正 六边形的性质可得 ， ， .由正六边形的性质可知， ， 都是正三角形， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 4.【2024黑龙江绥化期末，中】如图，正六边形 的边长为2，正六边 形的外接圆与正六边形 的各边相切，正六边形 的外接圆与正六边形的各边相切， ，按这样的规 律进行下去，正六边形 的边长为_ ____． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】连接，， ，如图所示. 六边形为正六边形， ， ,为等边三角形. 正六边形 的外接圆与正六边形 的各边相切， ，， 正六边形 的边长为 ，同理可得正六边形 的边长为，正六边形 的边 长为, , 正六边形 的边长为 .故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 5.【2024四川泸州一模，较难】如图，正方形内接于 ，线段 在对角线上运动，若的面积为 ，，则 周长 的最小值为___. 4 【解析】如图，连接的面积为 ，的半径为 ，则 .由正方形的性质知，点是点关于的对称点，过点 作，且使，连接交于点，连接 ， 且， 四边形为平行四边形，则，故 的 周长为，此时的周长最小. 易得 ,， 的周长的最小值 为 ，故答案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 6.［较难］小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心 的正多边形，使其 边长最大且能在正方形内自由旋转.如图（1），若这个正多边形为正六边形，此 时___；如图（2），若这个正多边形为正三角形，当正三角形 可以绕着 点在正方形内自由旋转时， 的取值范围为______________. 5 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】如图（1），连接，，作正方形的内切圆 ，由正六边形 可得，是等边三角形，.由作图可得， 的直径为10， 即，.如图（2），作正方形的内切圆，作 的 内接正三角形，此时最大，连接，， ， .延长交于点，则， ， ，，，的取值范围为 .故 答案为5， ． 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力 ［较难］如图，在正九边形中，过顶点 作对 角线，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （1）求证：平分 ； 【证明】如图，设为正九边形的中心，连接 ， ，，， ，则 ， . ， . 易知 .又， ， ， ，即 ， 平分 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （2）求 的度数； 【解】 ，且 ， .易知 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （3）求证： . 【证明】如图，在上截取，连接, ,由（2）得 ， , 是等边三角形， ， . ， ， . 又 ， ， . 又， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 技巧点拨 正多边形中常见的辅助线有两种：一种是添加正多边形中心与顶点的连线和边心距， 通过构造直角三角形解题；另一种是添加辅助圆，利用正多边形和圆的关系解题． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 $