1.2 30° ，45° ，60°角的三角函数值-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“直角三角形的边角关系”中30°、45°、60°角的三角函数值，通过教材同步分层练导入，从基础定义辨析（如cos60°的有理数判断）到实际应用（如三角形内角比求正切），以设参数法、非负数性质等为学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用“刷基础-刷提升-刷易错”分层设计，结合车位宽度计算等生活情境培养数学眼光，通过推理过程（如由tan(α+20°)=1求锐角α）发展推理意识，用关键点拨和易错警示帮助总结。学生能巩固基础提升应用能力，教师可直接用于分层教学提高效率。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第一章 直角三角形的边角关系 2 ， ， 角的三角函数值 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 ， ， 角的三角函数值 1.【2025河北石家庄质检】下列三角函数值中,是有理数的是( ) B A. B. C. D. 【解析】，，,都是无理数； ,是有 理数.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2025山东菏泽期中】若一个三角形三个内角度数的比为 ，则这个三角形 最小角的正切值为( ) C A. B. C. D. 【解析】 三角形三个内角度数的比为， 设三个内角分别为,, ， ，解得 ， 最小角的度数为, 最小角的正切值为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 关键点拨 利用设参数法求出三角形最小角的度数是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.【2025河南周口期末】在平面直角坐标系中，点关于 轴对 称的点的坐标是______ . 【解析】，， 点的坐标为， 在平面直角坐标 系中，点关于轴对称的点的坐标是.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.【2025江苏南通期末】计算： （1） ； 【解】 . （2） . 【解】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识点2 由特殊角的三角函数值确定锐角的度数 5.【2025安徽亳州期末】若，则锐角 的度数应是( ) C A. B. C. D. 【解析】， 为锐角， ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 6.在中，若，，都是锐角，则 是______三角形. 等边 【解析】，,都是锐角, ， ，，， ， ， ，， 是等边三角形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点3 特殊角的三角函数值在生活中的应用 7.【2025湖北武汉质检】如图，矩形 是供一辆机动车停放 的车位示意图，已知，， ， 则车位所占的宽度为___________ .（结果保留根号） 【解析】在中，， ，则. 四 边形为矩形，， ， ， ， ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 8.某校有一露天舞台，纵断面如图所示， 垂直于地面， 表示楼梯，为舞台面，楼梯的坡角 ， 坡长 .为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造， 降低坡度，拟修新楼梯，使 . （1）求舞台的高 ;（结果保留根号） 【解】在中，， ， . 答：舞台的高为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （2）求 的长度.（结果保留根号） 【解】在中， ， 则 ， . 答：的长度为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 刷易错 易错点 误认为三角函数值的一半等于半角的三角函数值 9.在中， ，，，求 的值. 小明给出了他自己的解答过程：, .请问小明的解答过 程是否正确？如果不正确，请写出正确的解答过程. 【解】小明的解答过程不正确，正确解答过程如下：在 中， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 易错警示 的一半的正弦值与的正弦值的一半是不同的.如 ，而 ，不等于 的一半. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 （第1题图） 1.【2025内蒙古包头质检，中】如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为，，.将 绕点顺时针旋转 ，得到，则点 的坐标为( ) A A. B. C. D. 【解析】三个顶点的坐标分别为，， ， ,,,， ， .由旋转的性质得 ， , ，即轴, .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 关键点拨 先根据，两点的坐标求出 ，进而求出 的长，再根据旋转的性质 得到 ，,进而得到 轴,即可解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （第2题图） 2.［中］一副直角三角板如图放置，点在 的延长线上，点 在上，， ， ， .若，则 的长为( ) B A. B. C. D. 思路分析 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 【解析】如图，过作于点， ， ， ， ， , .在 中，， , ， ， ，则 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 （第3题图） 3.［中］如图，在中， .以点 为圆心，以 的长为半径作弧交边于点，连接.分别以点, 为圆 心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线 交 于点，交边于点，则 的值为____. 【解析】由作图知平分, 在中， , , ,是等边三角形， 平分 ，,, , , , , ， ,故答 案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 4.【2025四川成都质检，中】已知是方程 的一个 根， 是三角形中的一个锐角，那么 的值为_ __. 【解析】是方程 的一个根， ，解得 是锐角， ，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （第5题图） 5.［中］一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位 置时，，已知木箱高度，斜面坡角 为 ，则木箱顶点距地面 的高度为_ __________. 【解析】过点作于点，交于点.根据题意可知 ， ， .在 中， ，.在 中， ， ， ， 木箱顶点距地面 的高度为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 刷素养 走向重高 6.核心素养 模型观念 【2024广西柳州柳东新区期末，较难】综合与实践：在学 习《直角三角形的边角关系》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与 这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （1）【初步尝试】我们知道：，，发现 ___ （填“”或“ ”）. 【解析】，，, ，故答 案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）【实践探究】在解决“如图（1），在中， ， ， ，求的值”这一问题时，小邕想构造包含 的直角三角形，延长 到点，使，连接，所以可得，问题即转化为求 的 正切值，请按小邕的思路求 的值. 【解】延长到点，使,连接,则 , ,即.在中， ， ，，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （3）【拓展延伸】如图（2），在中， ，， ， 请模仿小邕的思路或用你的新思路，试着求一求 的值. 【解】如图，作的垂直平分线交于点，连接 ， 则,, . 在中， ，， ， ，.设，则 .在 中，,即，解得， ，, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 关键点拨 在直角三角形中作辅助线构造含 的直角三角形是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 $