精品解析：四川省彭州中学2024-2025学年高三下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度彭州中学高2022级高三下期中考试 数学学科试卷 注意事项： 1．开始作答前，请考生在答题卡上填写好自己的信息． 2．作答时，选择题部分用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色签字笔在答题卡规定区域书写． 3．考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 复数（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）. A. B. C. D. 6. 已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 记为等比数列前项和.若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 将1，2，3…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 若某扇形的周长为18，面积为20，则该扇形的半径可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C 当时， D. 满足的点有且仅有2个 11. 如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 存在正数，使得恒成立 D. 恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个边长为的正方体八个顶点都在一个球上，则球的半径为___ 13. 已知函数 ，则___________. 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 16. 已知函数处取得极值0. （1）求； （2）若过点存在三条直线与曲线相切，求买数的取值范围. 17. 如图，四棱锥底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. （1）求证：平面PBD； （2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； （3）求D到平面APM的距离. 18. 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率为 （1）求椭圆的标准方程; （2）若直线与椭圆交于M、N两点，求证：定值; （3）记为椭圆上顶点，过点作相互垂直的两条直线BP，BQ分别与椭圆相交于P，Q两点.设直线BP的斜率为且，若，求的值. 19. 在中，把，，…，称为三项式系数. （1）当时，写出三项式系数，，，，的值； （2）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； （3）求的值（用组合数作答）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度彭州中学高2022级高三下期中考试 数学学科试卷 注意事项： 1．开始作答前，请考生在答题卡上填写好自己的信息． 2．作答时，选择题部分用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色签字笔在答题卡规定区域书写． 3．考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算直接得出答案. 【详解】根据题意，. 故选：B 2. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，从而可得出答案. 【详解】因为特称命题的否定为全称命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：A. 3. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简可得答案. 【详解】. 故选：A 4. 已知向量，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代入即可得解. 【详解】因为向量，， ，即 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 5. 函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据零点存在性定理可得结果. 【详解】因为函数的图象连续不断，且， ，， ， 根据零点存在性定理可知函数的零点一定位于区间内. 故选：C 【点睛】关键点点睛：掌握零点存在性定理是解题关键. 6. 已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，在求出临界点处直线的斜率，结合图象得到不等式组，解得即可. 【详解】因为直线：，即，令，解得， 所以直线恒过定点， 又，，直线的斜率为， 要使直线与线段有公共点，由图可知，解得， 即的取值范围是. 故选：B. 7. 记为等比数列的前项和.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本量法可求公比,从而可求. 【详解】设等比数列的公比为，则， 故，从而， 故选：B. 8. 将1，2，3…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出满足题意的所有排法的总数，再求出符合条件的排法数，再由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】先排四个角上的偶数，可以排2,4,6,8，有种结果，再排其他四个空位，有种结果， 所以基本事件总数为. 若每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15， 则先排左上角的数字，有种结果， 假设左上角的数字排2，右下角只能排8，右上角可排4或者6， 当右上角排4时，左下角只能是6； 当右上角排6时，左下角只能是4， 当四个角确定，其余位置的数字就确定， 所以共有种结果， 所以每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 若某扇形的周长为18，面积为20，则该扇形的半径可能为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】BC 【解析】 【分析】根据扇形的周长公式和面积公式求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，弧长为，则，解得或5. 故选：BC 10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 11. 如图，在长度为线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 存在正数，使得恒成立 D. 恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】设图中新构造出的每条线段的长度为，则，而，故根据这两个递推关系可求，再求出，逐项判断后可得正确的选项． 【详解】设图中新构造出每条线段的长度为，则，其中， 故． 而，∴， 故， 而也符合该式，故， 此时，，故不是等比数列，故A错误． 而，故D正确． 而，故，故B正确． 对任意给定的正数，当时，必有，故C错误． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个边长为的正方体八个顶点都在一个球上，则球的半径为___ 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体外接球半径的求法求得正确答案. 【详解】正方体外接球的直径等于体对角线长， 所以球的半径为. 故答案为： 13. 已知函数 ，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法； 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 16. 已知函数在处取得极值0. （1）求； （2）若过点存在三条直线与曲线相切，求买数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可得解； （2）切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，从而可得，再根据过点存在3条直线与曲线相切，等价于关于的方程有三个不同的根，利用导数求出函数的单调区间及极值，即可得解. 小问1详解】 由题意知， 因为函数在处取得极值0， 所以，解得， 经检验，符合题意，所以； 【小问2详解】 由（1）可知，函数，所以， 设切点坐标为， 所以切线方程为，因为切线过点， 所以，即， 令，则， 令，解得，或， 当变化时，的变化情况如下表所示， 1 - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 0 单调递减 因此，当时，有极小值， 当时，有极大值， 过点存在3条直线与曲线相切， 等价于关于的方程有三个不同的根，则， 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. （1）求证：平面PBD； （2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； （3）求D到平面APM的距离. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，M为BC的中点， 所以， 因为四棱锥的底面是矩形， 所以， 所以，所以， 而，即， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以，而平面PBD， 所以平面PBD； 【小问2详解】 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为因为四棱锥的底面是矩形， 所以，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量为， 设平面APM的法向量为， ，， 于是有， 平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知平面APM的法向量为，， 所以D到平面APM距离为 18. 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率为 （1）求椭圆的标准方程; （2）若直线与椭圆交于M、N两点，求证：为定值; （3）记为椭圆上顶点，过点作相互垂直的两条直线BP，BQ分别与椭圆相交于P，Q两点.设直线BP的斜率为且，若，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或1 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率求解出，来求解； （2）联立方程组，根据两点间的距离求解； （3）设，联立方程组求解出，，然后根据求解出，从而解得或. 【小问1详解】 由已知得， 又，又. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，设， 联立直线与椭圆有，消元得： 当，即且时， ， 即为定值. 小问3详解】 设，设直线BP的方程为， 则直线BQ的方程为， 由，消去得， ， ， 由得 ， ， ， ， 整理得：， ， 或. 19. 在中，把，，…，称为三项式系数. （1）当时，写出三项式系数，，，，的值； （2）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； （3）求的值（用组合数作答）. 【答案】（1），，，， （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，，，，； 【小问2详解】 因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： 【小问3详解】 ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $