第13讲第五章二元一次方程与一次函数2025-2026学年北师大版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦二元一次方程与一次函数的核心知识点，先衔接一元一次方程与一次函数的关系，再系统梳理二元一次方程组与两条直线的联系，包括交点坐标即方程组的解、平行无交点、重合无数解等内容，最后通过待定系数法（两点法、图形法）实现用方程组确定函数表达式，构建完整学习支架。 资料亮点在于突出数形结合思想，通过图像交点与方程组解的对应关系培养学生几何直观（数学眼光），设计从基础到综合的题型（如面积计算、电动车电量问题）提升运算能力与推理意识（数学思维），结合现实情境增强应用意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后作业含详细解析，方便学生查漏补缺。

第13讲 二元一次方程与一次函数 知识清单 知识点01  二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 知识点02  二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法） 1) 两点法:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 题型精讲 题型01 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．若方程组的解为，则函数和图象的交点为 ． 2．若一次函数与图象的交点是，则方程组的解是 ． 题型02 图象法解二元一次方程组 3．如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ． 4．如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是 ． 题型03 已知两直线求围成的图形面积 5．直线，与轴所围成的图形的面积是 ． 6．如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 题型04 利用两点式求一次函数的解析式 7．如图，已知点、点．    (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在直线上有点P，满足点P到x轴的距离等于6，求点P的坐标． 8．如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点． (1)求的表达式． (2)求点P的坐标． 9．如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)点在直线上，是否存在点使得的面积为？如果存在，求所有满足条件的点的坐标． 题型05 图形中求一次函数的解析式 10．如图，已知过点的直线与直线：相交于点. （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积.    11．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程的函数图象． (1)根据图象，当蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车 已 行 驶 的 路 程 为 ； (2)当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程； (3)当时，求y关于x 的函数解析式，并计算当汽车已行驶时，蓄电池的剩余电量． 12．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合，已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的倍．小颖与小亮同时出发，当小颖到达终点时发现行李落在了出发地，立即乘缆车回去取，又乘缆车回到终点．中间耽搁时间为．缆车的平均速度为．设小亮出发后行走的路程为．下图中的折线表示小亮在整个行走过程中，与的函数关系． (1)小亮行走的总路程是 ，他途中休息了 ； (2)①当时，求与的函数关系式； ②当小颖最后到达缆车终点时，小亮离缆车终点的距离是多少? 题型06 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题 13．某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）： 大货车的车辆数（辆） 小货车的车辆数（辆） 累计运货台数（台） 第一次 2 3 21 第二次 5 6 48 (1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？ (2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你列出所有货车租用方案． (3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用． 14．列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进两种树苗共17棵，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵60元． (1)若购进两种树苗刚好用去1220元，求购进两种树苗各多少元？ (2)若购进种树苗棵，所需总费用为元． ①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； ②若购进种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 素养提升 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求： (1)求正比例函数与一次函数的关系式； (2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标； (3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 课后作业 一、单选题 1．二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ． 4．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 三、解答题 5．如图，直线：与x轴交于A点，与y轴交于B点，直线：与x轴交于D点，与y轴交于C点，与交于点P．    (1)求点P的坐标； (2)连接，求的面积； 6．碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴函数和图象的交点为； 故答案为：． 2． 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：∵一次函数与图象的交点的坐标是， ∴方程组的解为． 故答案为：． 3． 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此所求方程组的解就是两个一次函数图象的交点的横纵坐标． 【详解】解：由图知：函数和的图象交于点， 则，同时满足两个函数的解析式， 是二元一次方程组的解． 故答案为：． 4． 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 【详解】解：由图象可知，二元一次方程组 的解是． 故答案为：． 5．18 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先求出两直线的交点坐标，再分别求出两直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：，解得， 两直线的交点为， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 直线，与轴所围成的图形的面积． 故答案为：18． 6．2 【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式． 先求出，，从而得出，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】直线中，令，则 直线中，令，则 ， 将与联立 解得： 点C的坐标为 故答案为：． 7．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值，点到坐标轴的距离： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值得到点P的纵坐标为6或，再求出一次函数值分别为6和时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把、代入中得：， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵点P到x轴的距离等于6， ∴点P的纵坐标的绝对值为6， ∴点P的纵坐标为6或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 8．(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的解析式，两直线交点问题． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据函数图像，联立方程即可求解出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得，， ∴的表达式为； （2）解：由两条直线相交，联立方程组得， 解得， ∴． 9．(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法的应用，三角形面积计算，坐标与图形性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的纵坐标为，根据三角形面积公式列式求出，然后分情况写出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将点代入得， 将代入，得， 解得， 所以直线的表达式为：； （2）解：设点的纵坐标为，因为， 所以， 所以， 所以或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上可知满足条件的点的坐标为或． 10．（1）；（2） 【分析】（1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可. （2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点C（0，1），由可求得四边形的面积 【详解】   解：（1）∵点P是两直线的交点， 将点P（1，a）代入 得，即 则的坐标为， 设直线的解析式为：， 那么， 解得： . 的解析式为：. （2）直线与轴相交于点，直线与x轴相交于点A 的坐标为，点的坐标为 则， 而， 【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积. 11．(1)150 (2) (3)，蓄电池的剩余电量为千瓦时． 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，待定系数法求解析式，解题的关键找出剩余油量相同时行驶的距离． （1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米； （2）根据函数图象即可求出1干瓦时的电量汽车能行驶的路程； （3）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量． 【详解】（1）解：由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车 已 行 驶 的 路 程 为， 故答案为：． （2）解：当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：． （3）解：设所求的函数解析式为，将代入，得： ， 解得： ， ∴函数解析式为， 当时，， ∴当汽车已行驶时，蓄电池的剩余电量为千瓦时． 12．(1)，； (2)①；②． 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）①利用待定系数法解答即可求解；②根据题意求出缆车到山顶的线路长，进而求出缆车单程所需要的时间，即可得小颖最终到达终点时共用的时间，将其代入①所得函数解析式，求出的值，最后用总路程相减即可求解； 本题考查了一次函函数的应用，求一次函数的解析式，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可得，小亮行走的总路程是，他途中休息了， 故答案为：，； （2）解：①当时，设，把、代入得， ， 解得， ∴； ②由题意可得，缆车到山顶的线路长为， ∴缆车单程所需要的时间为， ∴小颖最终到达终点时共用时， 把代入得，， ∴当小颖最后到达缆车终点时，小亮离缆车终点的距离是． 13．(1)每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备 (2)共有两种方案：方案一：租大货车6辆，小货车6辆；方案二：租大货车7辆，小货车5辆 (3)租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组，以及熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备，根据表格列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设租用大货车辆，则租用小货车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）设运输费用为元，则，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备， 根据题意可得：， 解得：， 每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备； （2）解：设租用大货车辆，则租用小货车辆， 根据题意可得：， 解得：， 为整数， 或7， 共有两种方案： 方案一：租大货车6辆，小货车6辆， 方案二：租大货车7辆，小货车5辆； （3）解：设运输费用为元， 由（2）可得运输费用为：， ， 运输费用随着的增大而增大， ， 当时，最小，为， 租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元． 14．(1)购进种树苗10棵，购进种树苗7棵 (2)①；②当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设购进种树苗棵，购进种树苗棵，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①根据所需总费用中树苗的费用中树苗的费用列式可得；②根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进种树苗棵，购进种树苗棵， 由题意得：， 解得：， 购进种树苗10棵，购进种树苗7棵； （2）解：①由题意得：； ②， 随的增大而增大， 购进种树苗的数量不低于9棵， 当时，最小，且最小值为（元）， 此时， ∴当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元． 15．(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与轴对称，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，直线过点，， ∴，解得：， ； ∵过， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，且为定值， ∴当最小时，的周长最小， 作作点关于轴的对称点，连接，则，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 同（1）可得：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴． （3）∵， ∴， 设，则：，， 当为等腰三角形时， ①，则：， ∴， ∴； ②当时，，解得：， ∴； ③当时，， ， ∴， ∴（舍去）或， ∴； 综上：或或． 课后作业 1．A 【分析】本题考查的是一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，结合本题，那么两个一次函数的图象交点的坐标就是方程组的解，据此即可解答． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴一次函数与的交点坐标为． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，横坐标为方程组x的值，纵坐标为方程组y的值． 【详解】解：将代入，得：， 即直线与直线的交点坐标为， 关于x、y的方程组的解为． 故选C． 3． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，两条直线的交点坐标是以这两个函数式组成的二元一次方程组的解；理解两者的关系即可完成． 【详解】解：∵直线与的交点的坐标为， ∴方程组的解为； 即方程组的解是； 故答案为：． 4． 【分析】本题考查一次函数的应用，分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴； 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得：当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 联立， 解得：， ∴经过分钟时，当两仓库快递件数相同． 故答案为：． 5．(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的交点问题，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）联立方程与求解． （2）由直线解析式求出点B，C，D的坐标，由求解． 【详解】（1）令 解得， 把代入得， ∴点P坐标为． （2）连接，    将代入得， ∴点B坐标为， 将代入得， ∴点C坐标为， 将代入得， 解得， ∴点D坐标为， ． 6．(1)； (2)小时 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入（）中所求的函数解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为， ∵图象经过、两点， ∴， 解得， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴玥玥一家行驶小时，离家的距离为110千米． 12 1 学科网（北京）股份有限公司 $