精品解析：四川省泸县第五中学2026届高三上学期一诊模拟考试数学试题

高2023级高三上期一诊模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 4. 等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A. 252 B. -252 C. 210 D. -210 6. 有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）. A. 32种 B. 64种 C. 96种 D. 144种 7. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数） A. 80.56米 B. 81.46米 C. 84.32米 D. 86.56米 8. 设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的模长为 B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. 为纯虚数 D. 在复数范围内，是方程的一个解 10. 下列说法正确的是（ ） A. 相关系数为的两个随机变量比相关系数为的两个随机变量的线性相关性强 B. 一组数据5，7，9，11，13，15，17，19，21，23的上四分位数为19 C. 若数据的均值为的均值为11，则数据的方差为2 D. 已知随机变量～，若，则 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，在上单调递增 C. 若关于的方程有两个不等实根，则 D. 对任意两个正实数，且，若，则 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算的值为______. 13. ______． 14. 在 中，，的角平分线交 于，，则 面积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 16. 已知 内角所对的边分别为 ，的面积为 . （1）求角的大小； （2） 为 边上一点， ，且，求. 17. 某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升． （1）补充完整下面的列联表； 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 第二次活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关？ （3）从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率． 附：，． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 已知公差大于0的等差数列的前 项和为，且是的等比中项． （1）求的通项公式及； （2）记为在区间内项的个数，为数列的前 项和． （i）若，求 的最大值； （ii）设，证明：． 19. 对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. （1）判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； （2）若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； （3）已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级高三上期一诊模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 3. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【答案】B 【解析】 【分析】直接写出命题的否定即可. 【详解】因为，总有，则为，使得 故选:B 4. 等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为 ，根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为 ， 因为，，可得，可得， 又由. 故选：B. 5. 二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A. 252 B. -252 C. 210 D. -210 【答案】C 【解析】 【分析】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【详解】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 6. 有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）. A. 32种 B. 64种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】特殊元素优先排，先利用捆绑法把2位老师看成一个整体，有种排法，再给2位老师选5个位置中的中间3个， 剩下4名学生在4个位置全排列，再由分步乘法计数原理即可算出不同的排法总数. 【详解】2位老师不能分开，即将他们捆绑为一个整体，2位老师的顺序可交换，有种排法， 老师不排在首尾，由于将2位老师看成一个整体了，与4名学生一共是5个位置在排列， 2位老师不能选首尾的2个的位置，只能选中间的3个位置中的一个，2位老师选定后，剩下4名学生在4个位置全排列， 所以有种排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法一共有种. 故选：D. 7. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数） A. 80.56米 B. 81.46米 C. 84.32米 D. 86.56米 【答案】B 【解析】 【分析】设，分别在与中利用正弦定理，列方程，解方程即可. 【详解】由已知设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 又在中，由正弦定理得， 即， 则， 则， 故选：B. 8. 设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合给定区间求出的范围，借助于的图象，即可建立关于的不等式，求解即得. 【详解】由 ， 设，由，可得，即， 作出函数的图象. 函数在区间上恰有4个零点， 由图，则，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的模长为 B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. 为纯虚数 D. 在复数范围内，是方程的一个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简，利用共轭复数的概念及模长公式判断A；利用复数的几何意义判断B；利用纯虚数的概念判断C；解方程判断D. 【详解】因为，所以，A错误； 在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，B正确； 为纯虚数，C正确； ，得，即， 则是方程的一个解，D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 相关系数为的两个随机变量比相关系数为的两个随机变量的线性相关性强 B. 一组数据5，7，9，11，13，15，17，19，21，23的上四分位数为19 C. 若数据的均值为的均值为11，则数据的方差为2 D. 已知随机变量～，若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用相关系数的意义判断A；求出上四分位数判断B；利用方差公式求解判断C；利用正态分布期望及期望的性质计算判断D. 【详解】对于A﹐两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1， 一个是正相关，一个是负相关，，相关性一样，A错误； 对于B，由10×75%=7.5，得第75百分位数为第8个数，为19，B正确； 对于C，的方差为，C正确； 对于D，由，得，由，得，解得，D错误. 故选：BC 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，在上单调递增 C. 若关于的方程有两个不等实根，则 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，直接解方程即可；对于B、C，直接求导判定其单调性、最值结合函数图象即可判定正误；对于D，构造差函数，利用导数研究单调性证明即可. 【详解】对于A，当时，， 显然或，故A正确； 对于B，当时，， 显然时，，故B正确； 对于C，易知， 则在上单调递减，在上单调递增， 即，且时，，， 所以要满足题意，需，故C错误； 对于D，由上及题设，易知， 构造， 则 ， 因为，所以，故， 即在上单调递增，， 即，则， 而在上单调递增，且，， 所以，故，故D错误. 故选：AB 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的单调性、极值与最值，结合零点存在性定理或者数形结合是解决零点问题的直接思路，构造差函数是解决极值点偏移的直接思路. 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】原式 . 故答案为：8 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值. 【详解】 . 故. 故答案为：. 14. 在 中，，的角平分线交 于，，则 面积的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理边角转化可得为直角，由等面积法得，结合基本不等式即可求解 【详解】 设在 中，角所对的边分别为. 因为，所以， 所以， 由正弦定理可得，故， 因为为的角平分线，所以. 由得， 整理得，即. 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，故 面积的最小值为8. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）由题意，解出的值再检验即可； （2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解. 【小问1详解】 已知函数，则， 由题意，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； 【小问2详解】 由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 16. 已知 内角所对的边分别为 ，的面积为 . （1）求角的大小； （2） 为 边上一点， ，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，再利用，结合已知条件 的面积为 ，化简可求角. （2）通过作求出，根据得到，再利用角的余弦定理得到，即可求. 【小问1详解】 由余弦定理得， 又， 所以，即，，. 【小问2详解】 如图，过作交延长线于， ，，， ，且， ，， 在 中，， 即，， 所以的值为. 17. 某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升． （1）补充完整下面的列联表； 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 第二次活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关？ （3）从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率． 附：，． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表如下： 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 560 240 800 第二次活动 960 240 1200 合计 1520 480 2000 （2） 能 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件即可完成列联表； （2）由独立性检验知识可以完成判断； （3）依据组合的知识和古典概型公式即可求解. 【小问1详解】 首次活动劳动技能提升的学生人数70%人； 首次活动劳动技能未提升的学生人数人； 第二次活动劳动技能提升的学生人数为人； 第二次活动劳动技能未提升的学生人数人， 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 560 240 800 第二次活动 960 240 1200 合计 1520 480 2000 【小问2详解】 零假设为 该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关，该推断犯错误的概率不超过. 【小问3详解】 抽取的名学生中劳动技能得到提升的人数为人，抽取的名学生中劳动技能未得到提升的人数为人， 记从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，其中恰好有2名学生的劳动技能提升为事件，则. 18. 已知公差大于0的等差数列的前 项和为，且是的等比中项． （1）求的通项公式及； （2）记为在区间内项的个数，为数列的前 项和． （i）若，求 的最大值； （ii）设，证明：． 【答案】（1）； （2）（i）5； （ii）证明：由（i）知，则，所以． 设①， 则②， ①②得， 所以． 因为， 所以． 综上，． 【解析】 【分析】（1）应用等差数列前n项和公式及等差中项的性质、通项公式求基本量，进而得到的通项公式及； （2）（i）根据已知得，即得，应用等差、等比前n项和公式及分组求和得，再由能成立求 的最大值； （ii）由（i）得，判断其单调性即可得，应用基本不等式及放缩有，应用错位相减法求右侧的前n项和，即可证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为 ， 依题意，，即①， ，即②， 将①代入②得，因为，解得， 所以． 【小问2详解】 （i）令，即，解得， 所以，即的通项公式为 所以． 又，所以． 由，得， 因为， 所以 的最大值为5． （ii）略 19. 对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. （1）判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； （2）若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； （3）已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】（1）具有性质，理由如下： 令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数 在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 【解析】 【分析】（1），，利用导数判断其单调性后可证函数，与“具有性质”. （2）根据函数具有性质得，令，，利用极值点偏移的方法可证，故可得原不等式成立； （3）令， ，利用导数可证在前者为减函数，后者为增函数，再结合不等式的性质可证函数与“具有性质”. 【小问1详解】 函数，与“具有性质”，理由略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $