4.1投影同步练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第四章 投影与视图 1 投影 第1课时 投影与中心投影 认知基础练 练点1 投影 1.下列现象是物体的投影的是( ) A.小明看到镜子里的自己 B.灯光下小猫映在墙上的影子 C.汽车行驶过后车轮留下的痕迹 D.掉在地上的树叶 2.下列现象不属于投影的是( ) A.皮影 B.树影 C.手影 D.素描画 练点2 中心投影 3.如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路上有一路灯，晚上小亮由A 处径直走到 B处，他在灯光照射下的影长与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是( ) 4.一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是____________号窗口. 　 第4题图 第5题图 5.如图,某学生身高 AB =1.5m ，在灯光下，他从灯杆底部点 D处出发，沿直线前进到达点 B处，在 B 处他的影长为PB,经测量此时恰有BD=2PB,则灯杆 CD的高度为___________ m. 思维发散练 发散点1 利用中心投影的特征求高 6.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到 C处时，测得影子 CD的长为1m，继续往前走 3m到达E处时，测得影子 EF 的长为2m .已知王华的身高是1.5m，求路灯灯杆的高度. 　 发散点2 利用中心投影进行作图并计算 7.如图，在路灯下，小明的身高如图中线段 AB所示，他在地面上的影子如图中线段 AC所示，小亮的身高如图中线段 FG 所示，路灯灯泡在线段 DE 上. (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子； (2)如果小明的身高 AB=1.6m,他的影子长AC= 1.4m ,且他到路灯的距离 AD =2.1m,求灯泡的高. 参考答案 1. B 【点拨】用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，A、C、D选项都和影子无关，故选 B. 2. D 【点拨】根据投影的概念，皮影、树影、手影都是由光线照射形成的，都是投影，而素描画不满足，不是投影，故选 D. 3. B 【点拨】小路上有一路灯，晚上小亮由A处径直走到B处，他在灯光照射下的影长与行走的路程s之间的变化关系应为：当小亮走到灯下以前，随s的增大而减小；当小亮走到灯下以后再往前走时，随s的增大而增大，用图象刻画出来应为 B. 故选 B. 4.3 【点拨】如图，S为点光源.故答案为3. 5.4.5 【点拨】根据题意,可得AB∥CD,∴△PAB∽△PCD，∴ ∵BD=2PB，∴∵AB＝1.5m ,∴CD=3AB=4.5m . 6.【解】当王华 在点 C 处时,由 AB∥GC 易得Rt△ABD∽Rt△GCD,所以. 因为 GC = 1.5m ,CD=1m ,BD = BC + CD,所以，所以. 当王华在点 E 处时,易得 Rt△ABF∽Rt△HEF,所以. 因为 HE =1.5m ,EF =2m ,CE =3m ,BF=BC +CE+EF,所以所以 则所以BC=3m .所以 答：路灯灯杆的高度为 6 m . 7.【解】(1)如图,点O 为灯泡所在的位置,线段 FH为小亮在灯光下形成的影子. (2)由AB∥OD易得△ABC∽△DOC,∴∴∴ 答:灯泡的高为 4 m . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 投影与视图 1 投影 第2课时 平行投影与正投影 目标一 平行投影与正投影 认知基础练 练点1 平行投影 1.三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是( ) 2.下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的图是( ) 3.小明的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影长为 2m，与他邻近的一棵树的影长为 10 m，则这棵树的高为__________ m. 4.如图,在A时测得某树的影长为4米，在B时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为____________米. 练点2 正投影 5.如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是( ) 6.一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段 CD，则下列各式中一定成立的 是( ) 7.如图所示的四个几何体中，正投影可能是四边形的几何体共有___________个. 思维发散练 发散点 利用平行投影的特征解应用问题 8.【推理与计算】如图，一幢楼房AB 背后有一台阶CD，台阶每层高0.2m，且AC=17.2m，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长 AE=10 m，现有一只小猫睡在台阶的 MN这层上晒太阳. (1)楼房的高度约为多少米?(结果精确到0.1m ) (2)过了一会儿，当α=45°时，小猫能否晒到太阳?请说明理由.(参考数据： 目标二 平行投影、中心投影、正投影的五种常见应用 应用1 利用平行投影与中心投影的定义判断投影 1.如图，下列判断正确的是( ) A.图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子 B.图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子 C.图①和图②都是在阳光下的影子 D.图①和图②都是在灯光下的影子 应用2 利用平行投影与中心投影的特征作图 2.如图①②分别是两棵树及其影子的情形. (1)哪个图反映了阳光下的情形?哪个图反映了路灯下的情形? (2)你是用什么方法判断的? (3)请分别画出图中表示小丽影子的线段. 应用3 正投影的识别 3.用四个相同的小立方体拼成如图所示的几何体，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是( ) 应用4 中心投影的实际应用(方程思想) 4.如图，小明为了测量路灯灯杆 OS 的高度，把一根长1.5m 的竹竿AB 竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子 BC长为 1m ，然后拿竹竿从B处向远离路灯方向走了 4m到 处,再把竹竿竖直立在地面上的 处，测得此时竹竿的影子 长为1.8 m.求路灯灯杆的高度. 5.如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m 的圆锥上，在地面上形成的影子为 EB,且∠SBA =30°. (以下计算结果都保留根号) (1)求影子 EB的长; (2)若∠SAC=60°,求光源S离开地面的高度. 应用5 平行投影的实际应用 6.某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与.小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度.如图，同一时刻测量站在旗杆旁边的小红(CD)和旗杆AB 的影长时，发现旗杆 的影子一部分落在地面上(BF)，另一部分落在了距离旗杆15 m的教学楼上(EF).经测量，小红落在地面上的影长DG 为2.4m ，教学楼上的影长EF为2m ，已知小红的身高是1.6m,求旗杆AB 的高度. 7.李航想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得李航落在墙上的影子高度 CD=1.2m ,CE=0.6m ,CA =30 m(点A、E、C在同一直线上).已知李航的身高 EF 是1.6m，请你帮李航求出楼高 AB. 参考答案 目标一 平行投影与正投影 1. C 【点拨】在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向.应该一致，故选项 A，B，D错误；选项C中，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确.故选C. 2. C 【点拨】选项 A，两棵树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，所以A 选项错误；选项 B，两棵树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，所以B选项错误；选项C，在同一时刻阳光下，两棵树影子方向一致，树高与影长成正比，所以C选项正确；选项 D，图中树高与影子不成正比，而在同一时刻阳光下，树高与影长应成正比，所以 D选项错误.故选C. 3.8 【点拨】设树高为 h m,由题意可知 解得h=8,即树高为8m. 4.6 【点拨】树高为 CD. 在△EFC 中,∠ECF = 90°,ED=9米,FD =4米,易得△即 米. 5. D 点规律 正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.同时，立体图形的正投影可以归结为点，线段及平面图形的正投影. 6. D 【点拨】平行投影中，投影线垂直于投影面时产生的投影，称正投影，当AB 垂直投影面时，AB 的正投影是一点，此时 CD取最小值；当 AB平行于投影面时，正投影 CD 的长等于AB 的长，这时 CD取最大值,由此判断:AB≥CD. 7.2 【点拨】四个几何体中，正投影可能是四边形的几何体是圆柱和正方体，共2个. 8.【解】(1)当α=60°时, 在 Rt△ABE 中,易知∠ABE=30°,∴BE=2AE =20m, 故楼房的高度约为 17.3m . (2)当α=45°时，小猫能晒到太阳.理由如下： 假设没有台阶，如图，当α=45°时，经过点B的光线与地面AD的交点为点 F，与 MC 的交点为点 H. ∵∠BFA=45°,∴∠ABF=∠BFA=45°.∴AF=AB.此时的影长AF=AB=17.3m . ∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1(m). 易知CH=CF≈0.1m<0.2m. ∴楼房的影子落在台阶MC 这个侧面上.∴小猫能晒到太阳. 目标二 平行投影、中心投影、正投影的五种常见应用 1. B 【点拨】题图①中影子的方向不同，是在灯光下的影子；题图②中影子的方向相同，且影长与树高成正比例，是在阳光下的影子. 2.【解】(1)题图②反映了阳光下的情形，题图①反映了路灯下的情形. (2)题图①中过影子顶端与树顶端的直线相交于一点，符合中心投影的特点，因此题图①反映了路灯下的情形；题图②中过影子顶端与树顶端的直线平行，符合平行投影的特点，因此题图②反映了阳光下的情形. (3)路灯下小丽的影子如图①所示，表示影子的线段为AB；阳光下小丽的影子如图②所示，表示影子的线段为CD. 3. A 【点拨】根据题意可得，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影由4个小正方形组成，如图.故选A. 4.【解】∵AB⊥OC',OS⊥OC',∴AB∥OS,易得△ABC∽△SOC, 即 同理得 即 把①代入②，得 解得 OS=9 m. 答：路灯灯杆的高度是9 m. 5.【解】(1)∵圆锥的底面半径和高都为2m，∴ CH= HE =2m . ∴影长 (2)作 CD⊥SA于点D,作SF⊥AB于点 F. 在 Rt△AHC中, 在 Rt△ACD中,∵∠DAC=60°,∴CD=ACsin 60°= ∵∠SBA=30°,∠SAB=∠SAC+∠BAC=60°+45°=105°, 答：光源S离开地面的高度为( 6.【解】如图,延长AE 交 BF的延长线于点 M. 由题意易得 ∵CD=1.6m,DG=2.4m,EF=2m, 解得 FM=3m .∴BM=BF+FM =15 +3 =18(m). 由题意易得△BAM∽△DCG, 解得 AB =12 m. 答:旗杆 AB的高度为 12m. 第6题图 第7题图 7.【解】如图,过点 D 作 DN⊥AB,垂足为 N,交 EF于M点.∴四边形 CDME、ACDN 是矩形,∴AN= ME = CD = 1.2m ,DN = AC = 30 m,DM=CE=0.6m ,∴MF=EF-ME =1.6-1.2=0.4(m). 由题意知,EF∥AB,易得△DFM∽△DBN, 即 ∴AB=BN+AN=20 +1.2=21.2(m). 答:楼高 AB为21.2m. 1 学科网（北京）股份有限公司 $