4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 （25-26高二同步练习） 姓名： 班级： 学号： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知等比数列{an}的通项公式为an＝－2×3n，则数列{an}的公比为 （　　） A．3　　　B．2　　　C．－3　　　D．－6 2．数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的 （　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列{an}的各项均为正数，若a1，a3，a2成等差数列，则＝ （　　） A．＋1 B．－1 C．4＋2 D．4－2 4．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“必会数列”．已知正项数列{an}为“必会数列”，若a4＋a5＝3，则a2＋a3＝ （　　） A． B．1 C．6 D．12 5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{an}本身不是等差数列，但从数列{an}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{bn}，则称数列{an}为一阶等差数列，或者{bn}仍旧不是等差数列，但从数列{bn}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{cn}，则称数列{an}为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8, 64，…是一阶等比数列，则该数列的第8项是 （　　） A．25 B．2 C．221 D．228 二、多项选择题 6．下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 （　　） A．q>1⇒{an}为递增数列 B．{an}为递增数列⇒q>1 C．0<q<1⇔{an}为递减数列 D．q>1D⇒/{an}为递增数列且{an}为递增数列D⇒/q>1 7．已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是 （　　） A．a3＋a7≥2 B．a4＋a6≥2 C．a7－2a6＋1≥0 D．a3－2a4－1≥0 三、填空题 8．已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为________． 9．设数列{an}的每一项都不为零，且an＋1＝an·a2对任意n∈N*都成立，若a3＝3，则a7＝________． 四、解答题 10．（1）已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an； （2）若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n； （3）若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q. 11．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3，两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d（d>1），前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 能力提升练 12．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N*），则a53的值为 （　　） 　 　　 … A． B． C． D． 13．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（如图1）的边长为1，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则n级雪花曲线的边长为________，n级雪花曲线的周长为________． 14．已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝（－1）n（an－3n＋21），其中λ为实数，n为正整数． （1）求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列； （2）试判断{bn}是否为等比数列． 4.3 等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 （25-26高二同步练习） 姓名： 班级： 学号： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知等比数列{an}的通项公式为an＝－2×3n，则数列{an}的公比为 （　　） A．3　　　B．2　　　C．－3　　　D．－6 解析：因为{an}为等比数列且通项公式为an＝－2×3n，所以公比q＝＝＝3，故选A. 答案：A　 2．数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的 （　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若{an}是公比为2的等比数列，则一定有an＝2an－1，n＝2，3，4，…；若an＝2an－1，n＝2，3，4，…，则{an}不一定为等比数列，例如当an＝0时，满足an＝2an－1，n＝2，3，4，…，但此时该数列不是等比数列．因此“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．故选B. 答案：B　 3．已知等比数列{an}的各项均为正数，若a1，a3，a2成等差数列，则＝ （　　） A．＋1 B．－1 C．4＋2 D．4－2 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1，a3，a2成等差数列，所以2×a3＝a1＋a2，则a1q2＝a1＋a1q，又因为a1≠0，所以q2－q－1＝0，解得q＝1±，而数列{an}的各项均为正数，所以q＝1＋.所以＝q2＝（1＋）2＝4＋2.故选C. 答案：C　 4．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“必会数列”．已知正项数列{an}为“必会数列”，若a4＋a5＝3，则a2＋a3＝ （　　） A． B．1 C．6 D．12 解析：由题意知数列{an}满足－＝0，且an≠0，所以＝，所以正项数列{an}是以q＝为公比的等比数列，则a4＋a5＝q2（a2＋a3）＝（a2＋a3）＝3，所以a2＋a3＝12.故选D. 答案：D　 5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{an}本身不是等差数列，但从数列{an}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{bn}，则称数列{an}为一阶等差数列，或者{bn}仍旧不是等差数列，但从数列{bn}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{cn}，则称数列{an}为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8, 64，…是一阶等比数列，则该数列的第8项是 （　　） A．25 B．2 C．221 D．228 解析：记数列1，1，2，8，64，…为{an}，设bn＝，则b1＝1，b2＝2，b3＝4，b4＝8，…，∴数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝2n-1，∴当n≥2时，an＝bn－1·bn－2·bn－3·…·b1·a1＝21+2+3+…＋（n-2）＝2，∴a8＝2＝221.故选C. 答案：C　 二、多项选择题 6．下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 （　　） A．q>1⇒{an}为递增数列 B．{an}为递增数列⇒q>1 C．0<q<1⇔{an}为递减数列 D．q>1D⇒/{an}为递增数列且{an}为递增数列D⇒/q>1 解析：若a1＝－2，q＝2>1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝<1，B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确．故选ABC. 答案：ABC　 7．已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是 （　　） A．a3＋a7≥2 B．a4＋a6≥2 C．a7－2a6＋1≥0 D．a3－2a4－1≥0 解析：因为等比数列{an}的公比为q（q≠0），且a5＝a3q2＝1，所以a3＝，a4＝，a6＝q，a7＝q2.a3＋a7＝＋q2≥2，当且仅当q2＝1时取等号，故A正确；a4＋a6＝＋q，当q<0时，a4＋a6<0，故B错误；a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝（q－1）2≥0，故C正确；a3－2a4－1＝－－1＝（－1）2－2，存在q使得a3－2a4－1<0，故D错误．故选AC. 答案：AC　 三、填空题 8．已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为________． 解析：不妨设这三个数分别为，a，aq，且q>0，a>0， 由三个数的乘积为27，得·a·aq＝27，即a3＝27， 解得a＝3. 由三个数的平方和为91， 得＋9＋9q2＝91⇒9q4－82q2＋9＝0， 解得q＝±3或q＝±，又q>0，所以q＝3或q＝. 答案：3或 9．设数列{an}的每一项都不为零，且an＋1＝an·a2对任意n∈N*都成立，若a3＝3，则a7＝________． 解析：令n＝1，则a2＝a1a2， ∵a2≠0，∴a1＝1. 由an＋1＝an·a2得＝a2， 故{an}是首项为1，公比为a2的等比数列， 故a＝a1a3＝3，解得a2＝±. 则a7＝a3（a2）4＝3×（±）4＝27. 答案：27 四、解答题 10．（1）已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an； （2）若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n； （3）若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q. [解]　（1）设等比数列{an}的公比为q， 由题意知q>0. 由已知得解得 ∵q>0，∴q＝，∴an＝128×（）n-1＝. （2）由an＝a1·qn-1，得＝×（）n-1， 即（）n-1＝（）3，解得n＝4. （3）∵an＋4＝a1qn+3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4，∴qn＝1， ∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. 11．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3，两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d（d>1），前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． [解]　选条件①：因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d，由 解得或（舍去），则 a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn-1＝2n-1. 选条件②：因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 由解得或（舍去）， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn-1＝2n-1. 能力提升练 12．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N*），则a53的值为 （　　） 　 　　 … A． B． C． D． 解析：第一列数构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，所以公比为÷＝，又因为每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×（）2＝.故选C. 答案：C　 13．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（如图1）的边长为1，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则n级雪花曲线的边长为________，n级雪花曲线的周长为________． 解析：设n级雪花曲线的边长为an，则数列{an}是首项为，公比为的等比数列，故n级雪花曲线的边长为an＝×（）n-1＝.设n级雪花曲线的边数为bn，则数列{bn}是首项为12，公比为4的等比数列，故n级雪花曲线的边数为12×4n-1，则n级雪花曲线的周长为12×4n-1×＝. 答案：　 14．已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝（－1）n（an－3n＋21），其中λ为实数，n为正整数． （1）求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列； （2）试判断{bn}是否为等比数列． [解]　（1）证明：∵an＋1＝an＋n－4且a1＝λ， ∴a2＝λ－3，a3＝λ－4. 假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则a＝a1·a3， 即（λ－3）2＝λ（λ－4）， 即λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，该方程无解， ∴对任意实数λ，数列{an}不是等比数列． （2）∵bn＝（－1）n（an－3n＋21）， ∴bn＋1＝（－1）n+1[an＋1－3（n＋1）＋21] ＝（－1）n+1（an－2n＋14） ＝－（－1）n（an－3n＋21） ＝－bn， ∵b1＝－（λ＋18）， ∴当λ＝－18时，b1＝0， 此时数列{bn}不是等比数列； 当λ≠－18时，b1≠0， 此时＝－（n∈N*），数列{bn}是等比数列． 综上，当λ＝－18时，{bn}不是等比数列； 当λ≠－18时，{bn}是等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $