第28章锐角三角函数（知识点梳理+高频考点+达标检测）大单元教学分层优化练2025-2026学年人教版九年级数学下册

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 第28章锐角三角函数（知识点梳理+高频考点+达标检测） 知识点1 锐角三角函数 锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B) 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 对边 邻边 斜边 A C B 注意 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。 3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 30° 45° 60° 1 4. 正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 5 . 正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大， 知识点2 解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（） 2. ∠A+∠B=90° 3. sin A= = 4. cos A= = 5. tan A= = 知识点3 解直角三角形解决实际问题 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 实际问题中术语的含义 (1)仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 (2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即. （3）坡角：坡面与水平面的夹角； （4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。 （5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角． 考点1 三角函数概念辨析 例1．如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 1．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 考点2 求角的三角函数值 例2．已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，，那么的正弦值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 考点3 已知三角函数值求边长 例3．如图，在菱形中，，，则的长度为（  ） A． B． C．5 D． 1．在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 2．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的两边、分别位于轴、轴上，点的坐标为，是边上的点，将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处，若点在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是（　　） A． B． C． D． 考点4 特殊三角函数值混合运算 例4．下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 1．已知公式，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．三角形中，，，为其三个内角，且满足，则（　　） A． B． C． D． 3．的值是（   ） A． B． C．1 D． 考点5由特殊角三角函数值判断三角形形状 例5．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 1．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 2．如图，是的直径，是的弦，I是的内心，连接，若，，则的面积的值为（   ） A． B． C． D． 3．在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 考点6根据特殊三角函数值求角的度数 例6．如果的、满足，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 1．如图，在中，以O为圆心，为半径的切于点B，F是圆上一动点，作直线交于另一点E，当时，的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 3．已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 考点7 解直角三角形的相关计算 例7．如图，在中，，，，求边的长． 1．已知在直角中，，，，求的大小和边的长度． 2．如图，在中，，，垂足是D． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的正切值． 3．如图，内接于，过点O作于点H，延长交于点D，连接． (1)如图甲，证明； (2)如图甲，若，求的半径； (3)如图乙，过点B作于点K，连接，若，试说明线段与的差为定值． 考点8解非直角三角形 例8．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 1．如图，在中，，求和的长． 2．公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 3．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 考点9构造直角三角形求不规则图形周长面积 例9．如图，在中，已知，，，求的面积． 1．如图，在中，，，，求的面积． 2．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆， (1)求的距离； (2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，） 3．一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 考点10 三角函数的应用1 仰角俯角问题 例10．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为，与水平面的夹角为（结果精确到，参考数据：）． (1)求点A到墙面BC的距离． (2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，测得影长CD为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC． 1．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与楼的底部在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．利用测角仪测出楼顶的仰角，楼顶的仰角，利用皮尺测出米，米．计算两幢楼楼顶之间的距离．（参考数据：） 2．如图，山顶建有一座信号发射塔，塔高米，测量人员在附近一座大坝的D处测得塔底部B的仰角为，塔顶A的仰角为，已测得大坝的坡角，坡长米，求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 3．如图，在建筑物上，挂着40米长的条幅，从另一建筑物的顶部D处看条幅顶端A，仰角为，看条幅底端E，俯角为．求两建筑物之间的距离（，精确到米） 考点11三角函数的应用2 方位角问题 例11．一货船由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果货船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 1．小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆，已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，千米，两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离． 2．中秋乐游，龙兴明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示，，，四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小渝和小翡分别从，打卡点同时出发，小渝以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小翡以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小渝出发多少千米后恰好与小翡相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据： ） 3．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 考点12三角函数的应用3 坡角坡度问题 例12．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A、B、P、Q四点在同一平面） (1)求路段的长； (2)当下引桥坡度时，如果测速路段限速，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：，，，，，，） 1．如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为，当太阳光线与水平线成角时，测得该树斜坡上的树影的长为，延长，交过点的水平线于点，求与树高（精确到），（已知，，，，，．供选用）． 2．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 3．如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡的长为，它的坡角为．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡，求的度数和的长． 考点13 综合问题 例13．如图是旗杆竖直放置在矩形平台上的示意图，在某一时刻旗杆形成的影子的顶端恰好落在斜坡的D处，点F，M，D在一条直线上，现测得，，，，求旗杆的高度．（参考数据：） 1．综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 2．综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 3．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 4．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，为等腰三角形，，，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 7．如图，是圆O的直径，弦，且，已知，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，则 °． 10．在中，，，，则 ． 11．有一山坡，高50米，山坡长100米，则此山坡的坡度 . 12．某校学生开展综合实践活动，如图，要测量树的高度，小李同学在离点10米的处利用测倾器测得处的仰角为，（，在同一平面内，，在同一水平面上），已知米，则树的高为 米．（答案可以带根号） 13．如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是 （精确到）．（参考数据：） 三、解答题（每小题共56分） 14．计算： (1)； (2)． 15．周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 16．如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 17．2025年春晚名为《秋》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节点与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 18．如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点． (1)连结，求证：． (2)若，求半径的长． (3)若，求的值． 19．如图，在平行四边形中，于点E，F是上一点，且，点O为对角线中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的面积． 20．【模型认知】 如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图； （2）补全解题过程中缺失部分． 【模型应用】 如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 达 标 检 测 思维导图 针 对 训 练 知识清单 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 知 点 梳 理 识 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 高 频 考 点 解 析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 第28章锐角三角函数（知识点梳理+高频考点+达标检测）（解析版） 知识点1 锐角三角函数 锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B) 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 对边 邻边 斜边 A C B 注意 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。 3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 30° 45° 60° 1 4. 正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 5 . 正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大， 知识点2 解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（） 2. ∠A+∠B=90° 3. sin A= = 4. cos A= = 5. tan A= = 知识点3 解直角三角形解决实际问题 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 实际问题中术语的含义 (1)仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 (2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即. （3）坡角：坡面与水平面的夹角； （4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。 （5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角． 考点1 三角函数概念辨析 例1．如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故C选项错误； ，故B选项错误； ，故A选项正确； ，故D选项错误； 故选A． 1．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用． 利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立． 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 3．在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦，记作．锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 根据三角函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：∵在中，，所对的边分别为a、b、c， ∴，故A选项成立，不符合题意； ，故B选项成立，不符合题意； ，故C选项成立，不符合题意； ，故D选项不成立，符合题意． 故选D． 考点2 求角的三角函数值 例2．已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，结合勾股定理计算是解题的关键． 根据直角三角形中锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出斜边，再分别计算、、、的值，与选项对比即可． 【详解】解：在中，，，， ， ，，，，比较选项，D正确． 故选． 1．如图，在中，，那么的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数，熟记公式是解题关键． 根据锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 故选：A． 2．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边对等角、余弦的定义等知识点，发现是解题的关键． 由勾股定理可得、，易得，由等边对等角可得，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，锐角三角函数，由勾股定理及逆定理可得是直角三角形，且，进而根据正切的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可得，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：． 考点3 已知三角函数值求边长 例3．如图，在菱形中，，，则的长度为（  ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 连接交于点O，根据四边形是菱形，可得， ，，，再用锐角三角函数求解即可得出结论． 【详解】解：如图， 连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ，，， ∴， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 1．在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查余弦定义，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即， 解得， 故选：D． 2．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理解直角三角形． 直接根据题意作出图形，表示出三角形的各边，利用勾股定理求出斜边长，进而利用正弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， 则, 故选：D． 3．如图，矩形的两边、分别位于轴、轴上，点的坐标为，是边上的点，将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处，若点在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、锐角三角函数，解题的关键是利用锐角三角函数求解．此题要求反比例函数的解析式，只需求得点的坐标．过点作于，根据点的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点的坐标，运用待定系数法进行求解． 【详解】解：过点作于 ∵将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴，， 则点坐标为， 设反比例函数的解析式是， 则有， 反比例函数的解析式是． 故选：D． 考点4 特殊三角函数值混合运算 例4．下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、同角三角函数的关系．对于A、B选项代入相应的特殊三角函数值即可判定，对于C、D选项根据同角三角函数之间的关系即可判定． 【详解】解：A、，，则，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 1．已知公式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把转化为，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．三角形中，，，为其三个内角，且满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据非负数的性质、特殊角的三角函数值求出、，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得，，， 则，， ， 故选：C． 3．的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及其计算．解题的关键在于准确记忆常见角度（如、、）的正弦、余弦值，再代入原式，然后进行化简计算即可． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值代入计算： ． 故选：C． 考点5由特殊角三角函数值判断三角形形状 例5．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 1．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 2．如图，是的直径，是的弦，I是的内心，连接，若，，则的面积的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值等知识点，掌握三角形的内切圆与内心是解题的关键． 如图：过I作于H，于E，于F，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，再证明可得、，进而得到；再运用特殊角的三角函数值可得，进而说明，再运用直角三角形的性质和勾股定理求得，再求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过I作于H，于E，于F， ∵是直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∵I是的内心， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴，即，解得：， ∴， 在和， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的值为． 故选C． 3．在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 考点6根据特殊三角函数值求角的度数 例6．如果的、满足，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理的知识，掌握以上的知是解答本题的关键；本题根据特殊角的三角函数值求得，，然后根据三角形内角和定理的知识，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵、是的内角， ∴，， 由三角形内角和定理，得， 故选：D． 1．如图，在中，以O为圆心，为半径的切于点B，F是圆上一动点，作直线交于另一点E，当时，的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，当在的上方，连接，，，过O作于H，根据全等三角形的判定定理得到，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，求得，当在的下方时，同理可得，于是得到结论． 【详解】解：如图，当在的上方，连接，，，过O作于H， ∵，， ∴， ∴， ∵为半径的圆切于点B， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在的下方时，同理可得， 综上所述，的度数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查三角形及其性质、解直角三角形，A选项三边不满足三角形三边关系，B选项为等腰直角三角形，D选项为直角三角形，C选项为等腰三角形，且角度为，，，满足条件． 【详解】解：A．，三边不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不合题意； B．，则此三边构成等腰直角三角形，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； C．1，1，，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为，顶角为，满足一个角是另一个角的4倍，符合题意； D．1，2，，此三边构成直角三角形，最小角为，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； 故选：C． 3．已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形，如图①，过O作于H，由等腰三角形的性质推出，，由，求出，得到，由勾股定理的逆定理得到，求出，由等腰三角形的性质即可求出；如图②，求出，由等腰三角形的性质即可求出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，过O作于H， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图②， 由图①知，， ， ， ， 综上所述，或． 故选：D． 考点7 解直角三角形的相关计算 例7．如图，在中，，，，求边的长． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过A作于D，利用锐角三角函数求得 ，，进而可求解． 【详解】解：如图，过A作于D， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 1．已知在直角中，，，，求的大小和边的长度． 【答案】，4 【分析】本题考查了解直角三角形，由特殊角的三角形函数值即可得出的大小，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵在直角中，，， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，垂足是D． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的正切值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，得到， ，，则，即可解答． （2）先证明，，得到，则，代值求出，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 答：的长为9． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或（不符合题意，舍去） ∴． 答：的正切值为． 3．如图，内接于，过点O作于点H，延长交于点D，连接． (1)如图甲，证明； (2)如图甲，若，求的半径； (3)如图乙，过点B作于点K，连接，若，试说明线段与的差为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 (3)与的差为定值 【分析】 （1）根据垂径定理即可得到结论； （2）如图2，首先求出的度数，再利用垂径定理与三角函数即可解决问题； （3）如图3，作辅助线，首先证明，得到，，进而判断为的中位线，即可解决问题． 【详解】（1）证明：于点， ， . （2）解：如图2，连接、， ，，， ，而， ∴，， ，， ∴， ∴的半径为. （3）解：如图3，分别延长、，交于点； ∵， ∴， 而， 在与中， ， ， ，， ， ， 为的中位线， ， ． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，锐角三角函数的应用等知识．正确作出辅助线是解题的关键． 考点8解非直角三角形 例8．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 1．如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 2．公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 【答案】 【分析】过点C作交的延长线于D，易得是等腰直角三角形，由勾股定理可求得的长，再由含角直角三角形的性质求得，再由勾股定理可求得，从而求得． 【详解】过点C作交的延长线于D，如图， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， ， 由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线转化为特殊直角三角形来解决是问题的关键． 3．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 考点9构造直角三角形求不规则图形周长面积 例9．如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 1．如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，，， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． 2．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆， (1)求的距离； (2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，） 【答案】(1)16cm (2)105cm 【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可； （2）如图作DG⊥EF，，证明EF=EG+QC+CP，再分别运用解直角三角形求出EG、QC、CP即可． 【详解】（1）∵，，AB=32cm ∴(cm) （2）如图，作DG⊥EF于点G，过点C作，交DG于点Q，交AB于点P， ∵DG⊥EF，AF⊥EF， ∴DG⊥PQ，AF⊥PQ， ∴四边形FPQG是矩形，FG=PQ， ∴(cm)，(cm)， ∵ ∴∠EDG=75°-60°=15° ∴(cm) ∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=(cm) 故E到地面的距离EF为105cm． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，作辅助线构造相等线段，熟练运用解直角三角形求线段长度是解题关键． 3．一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 【答案】 【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可． 【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F． ∵∠A＝∠C＝60°， ∴DE＝30•sin60°＝15≈25.9808m， BF＝20•sin60°＝10≈17.3205m， ∴ ＝×50×25.9808＋×50×17.3205≈． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 考点10 三角函数的应用1 仰角俯角问题 例10．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为，与水平面的夹角为（结果精确到，参考数据：）． (1)求点A到墙面BC的距离． (2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，测得影长CD为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC． 【答案】(1)点到墙面的距离约为 (2)遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）过点作，垂足为，依次求出的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作，垂足为． 在中，． ， ∴点到墙面的距离约为． （2）解：如图②，过点作，垂足为， 由题意，得． ， ． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ∴遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为． 1．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与楼的底部在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．利用测角仪测出楼顶的仰角，楼顶的仰角，利用皮尺测出米，米．计算两幢楼楼顶之间的距离．（参考数据：） 【答案】两幢楼楼顶之间的距离约为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等，过点作，垂足为，则．由题意得，米，米，则（米），由三角函数得米，则米，再求出后根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，米，米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴两幢楼楼顶之间的距离约为米． 2．如图，山顶建有一座信号发射塔，塔高米，测量人员在附近一座大坝的D处测得塔底部B的仰角为，塔顶A的仰角为，已测得大坝的坡角，坡长米，求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形． 过点作于点，作于点，证明四边形为矩形，得到，利用直角三角形性质求得，再利用解直角三角形的运算得到，进而即可求出山的高度． 【详解】解：过点作于点，作于点， ， 四边形为矩形， ， ，坡长米， 米， 由题知，， ，， 塔高米， ， ， 解得米， 米， 米， 3．如图，在建筑物上，挂着40米长的条幅，从另一建筑物的顶部D处看条幅顶端A，仰角为，看条幅底端E，俯角为．求两建筑物之间的距离（，精确到米） 【答案】两建筑物之间的距离长为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键，过点作于点，设=，则，在中，根据锐角三角函数的定义即可得出结论， 【详解】解：如图，过点作于点，设米， ， ， 在中， ， ，即， 解得， 答：两建筑物间的距离为． 考点11三角函数的应用2 方位角问题 例11．一货船由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果货船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 【答案】如果货船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形、三角形外角的性质、锐角三角函数等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：过点A作垂足为D，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得海里；根据可求海里，比较可得，据此即可判断有没有触礁危险． 【详解】解：如果货船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下： 如图：过点A作垂足为D， 根据题意可知，，海里， ∵， ∴， ∴海里， 在中，，，， ∴，即，解得：， ∵， ∴如果货船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 1．小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆，已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，千米，两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点B作，垂足为D，则，，然后分别解和求出即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D． 由题意得，， ∴，． 在中，， ∴，． 在中，， ∴． 答：小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为． 2．中秋乐游，龙兴明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示，，，四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小渝和小翡分别从，打卡点同时出发，小渝以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小翡以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小渝出发多少千米后恰好与小翡相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据： ） 【答案】(1) 千米 (2)小渝出发千米后恰好与小翡相距千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）过作于，过作于，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）设出发小时后，小渝到达点，小翡到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点作于点，分别用含的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过作于，过作于， ， 又， ∴四边形是矩形， ，， 根据题意得， ， ， 千米， ， ， ， （千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小渝到达点，小翡到达点，他们之间的距离千米，则千米， 千米 连接，过点作于点， 由（1）可得千米， 千米，在左边， 千米，  千米， 千米， 在中， ， ， 解得或 （舍去）， 千米， 即小渝出发千米后恰好与小翡相距千米． 3．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)海里 (2)有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， （海里）， ， ， （海里）， 故处到灯塔的距离为海里； （2）解：有触礁的危险，理由如下： 过作交的延长线于点， （海里），， （海里）， ， 若该船继续由西向东航行会有触礁的危险． 考点12三角函数的应用3 坡角坡度问题 例12．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A、B、P、Q四点在同一平面） (1)求路段的长； (2)当下引桥坡度时，如果测速路段限速，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)12米 (2)小汽车没有超速 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）根据俯角和正切的概念知，进而可以求出的长； （2）过点A作于M，于H，由题意，得，设米，则米，进而表示出，，的长度，然后根据在中，，进而求出a的值，再利用勾股定理求出，并算出速度与比较大小，即可获解． 【详解】（1）解：由题意，得， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作于M，于H． 由题意，得， 设米， ∵下引桥坡度， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴小汽车没有超速． 1．如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为，当太阳光线与水平线成角时，测得该树斜坡上的树影的长为，延长，交过点的水平线于点，求与树高（精确到），（已知，，，，，．供选用）． 【答案】，树高 【分析】本题考查的是直角三角形的三角函数应用，灵活运用三角函数的定义是解题的关键．通过分析图形中的两个直角三角形和，利用三角函数分别求出，，，进而通过线段的和差关系求出树高． 【详解】解：为水平线， ， 在中，，， ， ； 在中，，， ． ． 2．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 3．如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡的长为，它的坡角为．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡，求的度数和的长． 【答案】， 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点． 由题意得是等腰直角三角形，先求出的长度，再由的坡比为，即可求解的度数和的长． 【详解】解：在中，的坡比为， ， ， ． 由题意得，， 是等腰直角三角形，即． 又， 由勾股定理得，， 即，解得（负值舍去）． 设，则， ， ，解得， ． 考点13 综合问题 例13．如图是旗杆竖直放置在矩形平台上的示意图，在某一时刻旗杆形成的影子的顶端恰好落在斜坡的D处，点F，M，D在一条直线上，现测得，，，，求旗杆的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了用三角函数解决实际问题，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交于点N，则，，，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点N，则，，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即旗杆的高度为． 1．综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为或． 【分析】（1）由证明，可得结论； （2）通过证明，可得； （3）求出，设则，分三种情况解答，由相似三角形的判定和性质和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1）与的数量关系是，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 根据直径所对的圆周角是，可得点，点，点，点在以为直径的圆上， ∴点，点，点，点四点共圆，且， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当在线段上时，由（2）知， ∵， ∴在含的中，， ∵为斜边的中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或， 当时，，不符合题设，舍去， ∴此时； ②如图，当在延长线上时， 由（2）可证：， ∴ ∵， ∴， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去； ∴此时； ③如图，当点在延长线上时， 同（2）可证，， ∴， ∵， ∴， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时 ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或，均不符合题设，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用计算即可； （2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：的长约为； （2）解：过点B作交的延长线于D，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可知：， 根据解析（1）可知：， ∴， ， 答：显示屏顶部比原来升高了约． 3．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：先从实物图中抽象出几何图形，然后构造出直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义进行计算求出未知的线段与角； （1）由得到，在中，，，然后根据勾股定理即可计算出； （2）过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点作，在中求出、，在中求出，然后求出，在中求出，最后利用求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵ ∴， ∴， 即车架档的长为. （2）解：过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点，如图所示， ∵在中，，， ∴， 又∵由（1）得：， ∴在中，， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ∵，， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ 故车座点到车架档的距离为． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，根据计算解答即可． 本题考查了勾股定理，余弦的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据题意可得，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：A． 4．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义，结合直角三角形的边长关系，进而求出高的长度． 【详解】解：为仰角，米， 在中，， （米）． 故选：． 5．如图，为等腰三角形，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 过点A作于点D，过点B作于点E，根据勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式进行表示求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，过点B作于点E， ∵， ∴是边上的中线， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 故选C． 6．如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、勾股定理及三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 根据，构造直角三角形，过点作于点，过点作于点，由是等腰三角形，利用“三线合一”的性质可证明，根据相似三角形的性质建立方程组，解方程组即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图： ， ， 设，，则 在中， ，即 在中，由勾股定理得 联立 解得：， ． 故选：D． 7．如图，是圆O的直径，弦，且，已知，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，求弧长．过点O作于点E，连接，根据垂径定理，可得，在中，利用特殊角锐角函数值可得，从而得到，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E，连接， ∴， ∵，，是圆O的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 故选：A 8．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，矩形的判定和性质，正确理解俯仰角是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，米，，，在直角三角形中，利用正切值，求出，米， 在中，米，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，米，，， 米，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （米）， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键在于熟记特殊角的正切值．根据已知正切值直接确定对应的角度． 【详解】解：， ． 故答案为：． 10．在中，，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了根据角的余弦值求边长，根据余弦函数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 11．有一山坡，高50米，山坡长100米，则此山坡的坡度 . 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义和勾股定理的应用，解题的关键是理解坡度为坡面垂直高度与水平距离的比，先通过勾股定理求出水平距离再计算比值． 首先根据勾股定理求出水平距离，再根据坡度定义（垂直高度与水平距离的比值）计算坡度． 【详解】设水平距离为 米，由勾股定理得： 坡度 为垂直高度与水平距离的比值： 故答案为 ． 12．某校学生开展综合实践活动，如图，要测量树的高度，小李同学在离点10米的处利用测倾器测得处的仰角为，（，在同一平面内，，在同一水平面上），已知米，则树的高为 米．（答案可以带根号） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；过点A作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点A作于点E，如图所示： 由题意得：， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 13．如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是 （精确到）．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 延长交于G，则，设，根据观测的角度和直角三角形的边角关系用x来表示和，进而表示出，根据点C和点E的距离列出方程并求解可得的长度，再根据和的长度确定的长度，即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，延长交于G，则．设， ∵在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从点E处测得旗杆顶B的仰角为， ∴，． ∴， ∵点E与点C相距， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（每小题共56分） 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的计算，解决此题的关键是熟记特殊三角函数值； （1）先代入特殊的三角函数值，进行计算即可； （2）代入特殊的三角函数的值，进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 16．如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴． 17．2025年春晚名为《秋》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节点与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)在规定范围内，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，正确添加辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）解直角三角形得出，再由同角的余角相等即可得解； （2）作于，则，由（1）可得：，解直角三角形得出，，从而即可得出此时手绢端点与舞者距离，结合题意判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴, ∴， ∵与手臂保持垂直， ∴， ∴； （2）解：在规定范围内，理由如下： 如图，作于，则， ， 由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 18．如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点． (1)连结，求证：． (2)若，求半径的长． (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了圆的性质（直径所对圆周角为直角、垂径定理）、菱形的性质（对边平行、四边相等）、全等三角形的判定与性质、、勾股定理、锐角三角函数的应用及一元二次方程的求解，解题的关键是合理添加辅助线，利用图形性质建立边或角的等量关系，结合几何定理与代数运算求解． （1）连接，借助菱形对边平行的性质及直径所对圆周角为直角，转化角的等量关系，通过“”“”“”逐步推导，证明； （2）连接，利用垂径定理及勾股定理，在和中用r表示，建立关于半径r的方程，求解并舍去负根； （3）连接、，由及菱形性质得，判定、，设未知数表示相关线段，利用余弦函数的等量关系建立方程，求解得出比例值． 【详解】（1）证明：连接， 则 由菱形可知，又， ∴，则 ∴， ∵， ∴， 由菱形对边平行知，， ∴， ∴ （2）解：连接，则， 在与中，， ∴， 解得：（另一解为负值，舍去）， （3）解： 分别连接、， ∵， ∴ ∴是的直径，， ∵， ∴， 又， ∴，则， 又 ∴， ∴， 设， 则， 在与中，，则， 即，，解得（另一根为负值，舍去）， ． 19．如图，在平行四边形中，于点E，F是上一点，且，点O为对角线中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及矩形的判定与性质． （1）先由平行四边形结合已知可得，，则可得四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）分别解，求出，，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ 即，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．【模型认知】 如图①，，，为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即； 第三步：如图④，过点作于，（____▲____）； 第四步：，最小值为． “▲”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， （1）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中完成辅助线作图； （2）补全解题过程中缺失部分． 【模型应用】 如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】模型认知：垂线段最短；模型探究：（1）见解析；（2）；模型应用：6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确理解题意是解题的关键． 模型认知：根据题意可得依据为垂线段最短； 模型探究：（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）可证明是等腰直角三角形，则，据此可得答案； 模型应用：作，过点C作于D，则；由一次函数解析式可求得，则可证明，，故，；可证明，则当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线，据此求解即可． 【详解】解：模型认知：由题意得，“▲”处应填写的推理依据为垂线段最短； 模型探究：（1）如图所示，即为所求； （2）过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当最小时，有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴的最小值为； 模型应用：如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，， ∴的最小值为6． 针 对 训 练 思维导图 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 知识清单 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 达 标 检 测 针 对 训 练 针 对 训 练 知 点 梳 理 识 针 对 训 练 针 对 训 练 高 频 考 点 解 析 学科网（北京）股份有限公司 $