专题06 二次函数实际应用的六种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级下册

专题06 二次函数实际应用的六种考法 类型一、销售利润问题 1．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． (1)写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？ (2)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (3)商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每个定价为70元，应进货200个 (3)每个定价65元，获得的最大利润是6250元 【详解】（1）解：每个进价为40元，销售定价为50元，设每个定价增加x元， ∴每个获得的利润为（元）； （2）解：设每个定价增加元，则销售量为个， 总利润为， 化简得，即， 两边除以得，解得或， 当时，进货量（个）， 当时，进货量（个）， ∵要使进货量较少，∴取， 定价为元，进货200个； （3）解：总利润， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 顶点横坐标， 定价为元， 最大利润元． 2．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现在这100天内，①该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）满足关系式：；②该商品的日销售量y（单位：件）与时间t满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t 1 2 10 20 … 日销售量y/件 119 118 110 100 … (1)求出y与t之间的函数关系式． (2)设销售该商品的日利润为w（单位：元），请写出w与t之间的函数关系式，并求出在这100天内日利润最大的时间及最大日利润． 【答案】(1) (2)，第50天的日利润最大，最大日利润为4900元 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润销售量（售价进价）易得出销售利润为（元）与（天）之间的函数关系式，分当时，当时，两种情况，分别利用二次函数和一次函数的性质求出最大值，然后再比较大小即可． 【详解】（1）解：日销售量y与时间t满足一次函数关系， 设与的一次函数关系式为． 将，代入，得， 解得， 与t之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得． 当时，； 当时，． 故． 当时，． ， 当时，w随t的增大而增大；当时，w随t的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为4900． 当时，． ， 随t的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为4800． ， 第50天的日利润最大，最大日利润为4900元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题．解题的关键是理解题意找到其蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式，也要求熟练掌握二次函数的性质． 3．某农户种植的农产品在某月（按30天计）的第天（为正整数）的售价（单位：元）与之间的函数关系式为销售量（单位：）与之间的关系如下图所示． (1)写出与之间的函数关系式，及的取值范围：________________________． (2)当月第几天该农产品的销售额（销售额=销售量×售价）最大？最大销售额是多少？ 【答案】(1) (2)当月第天该农产品的销售额最大，最大销售额是元 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到销售额与之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 则 解得： 即当时，与的函数关系式为 当时，设与的函数关系式为， 则 解得： 即当时，与的函数关系式为； 综上所述，与的函数关系式为 故答案为：． （2）解：设当月第天该农产品的销售额是元． 当时，， 当时，取得最大值，此时． 当时，， 当时，取得最大值，此时． ， 当月第天该农产品的销售额最大，最大销售额是元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 4．某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） (1)请直接写出与之间的函数关系式． (2)求出第一年年利润的最大值． (3)根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 【答案】(1) (2)万元 (3) 【分析】（1）分及两种情况，分别用待定系数法即可求解； （2）分及两种情况，求出各自范围内利润的最大值，再进行比较即可确定利润的最大值； （3）列出w关于n的二次函数关系式，再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像性质即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，反比例函数图象过点， 设反比例函数解析式为， 把点代入反比例函数解析式中，得：， 解得：， ∴当时，反比例函数解析式为：； 当时，线段过点，， 设线段的解析式为， 则，解得：， ∴当时，线段的解析式为， 综上，与之间的函数关系式为； （2）解：当时， ， 当时，取得最大值为； 当时，， 整理得：， 当时，取得最大值为； 而， 最大利润为万元， 即第一年年利润的最大值万元； （3）解：第一年的年利润为万元应作为第二年的成本， 又∵， ∴第二年的年利润， 令，则， 解得：， 由于二次函数的图象开口向下，如图， ∴当时，， ∴当时，第二年的年利润不低于103万元． 【点睛】本题考查的是经济利润问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与反比例函数的图象与性质，解一元二次方程等知识，属于中考常考题型，需要熟练掌握经济利润问题的相关公式． 类型二、图形问题 1．如图三角形，，是边上的高．分别是边上的点，是上的点，连接，交于． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 【答案】(1) (2)， (3)最大面积是，， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设正方形的边长为，由正方形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （2）设则，由矩形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （3）由矩形的性质得出，推出，设，矩形的面积为，则，，表示出，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ， 解得， ． （2） 解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即 ， 解得， ，． （3） 解：∵四边形是矩形， ， ∴， ∵是高，∴， ∴四边形是矩形，， ∴，． 设，矩形的面积为， 则 ，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是； 此时，，． 答：最大面积是，，． 2．问题探究 （1）如图1，在直角梯形中，，截取，连接，，已知，，． ①求五边形的面积关于的函数解析式； ②当为何值时，； 问题解决 （2）如图2，四边形是一片花海，其中，，，，，，为方便游客观赏，分别在，上取点，，沿，，修建三条步道，根据设计思路，，的面积为，写出与之间的函数关系式，并求出取最小值时的值． 【答案】（1）①；②当为2时，（2），取最小值时的值为5 【分析】本题重点考查​几何图形的面积计算、函数关系式的建立以及最值问题​，​熟练掌握梯形和四边形的性质、面积公式，并能根据条件建立变量之间的函数关系是解题的关键． （1）①分别求出所以直角梯形面积，三角形的面积，三角形的面积，根据五边形的面积为直角梯形面积减去三角形的面积减去三角形的面积计算即可； ②根据①，令求解即可； （2）表示的面积，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）①因为，，连，，， 所以直角梯形面积为， 三角形的面积为， 三角形的面积为， 所以五边形的面积； ②当，即，即，解得或， 又因为，所以（舍）， 所以当为2时，． （2）因为四边形内角和为，，，， 所以， 所以四边形为直角梯形， 直角梯形的面积为， 三角形的面积为， 三角形的面积为， 三角形的面积为， 所以的面积为， 当时，最小， 所以取最小值时的值为5． 3．问题探究： （1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________； （2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大． 问题解决： （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？ 【答案】（1）（2）（3）绿化改造所需费用至少为 【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键． （1）由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案； （2）由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于x的二次函数关系，即可解决问题； （3）由二次函数的性质求出矩形面积的最大值即可解决问题； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵ ∴， ∴和的相似比是， ∴与的高之比等于相似比是． 故答案为：． （2）作于N，交于M， ∵， ∴， ∴， ∵的面积，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大； （3）延长交于E，作于F，交于点G，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 当矩形的面积最大时，费用最小， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为，则花卉的面积最小值为， 所以，绿化改造所需费用至少为元 4．如图，在正方形纸片中，若沿折痕对折，则顶点B落在边上的点F处，顶点C落在点N处，点M是与交点，且． (1)当点F是的中点时，求的周长； (2)当点F不与A，D和的中点重合时： ①试问的周长与（1）中的结果相同吗？并证明你的结论； ②设四边形的面积为S，为x，求S与x的函数关系式，并问当x为何值时，四边形的面积为38？ 【答案】(1) (2)①相同，见解析；②或6 【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质得出相等的边和角，设，表示出相关的线段长度，利用勾股定理求出未知数的值，根据垂直等条件证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）①同（1）设，表示出相关线段的长度，利用勾股定理得出，证明，然后进行求解即可； ②作于K．连接交于P，根据矩形得出，证明，得出，根据梯形面积得出，根据函数解析式求自变量的值即可． 【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，设，由翻折的性质得，， ∵点F是的中点， ∴, 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的周长为， 由翻折的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； （2）解：①的周长与（1）中结论相同． 理由：如图2中，设，同（1）则， 由勾股定理得， ∴， 同（1）得， ∴， ∴的周长； ②如图2中，作于K．连接交于P． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵B、F关于对称，∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴，∴， 由①可知：， ∴，， ， 当时，， 解得或6， ∴当或6时，四边形的面积为38． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数． 类型三、图形运动问题 1．如图，是的对角线，，，．动点从点出发，以的速度沿运动到终点，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，当一点到达终点时另一点也停止运动．过点作，交射线于点，连接，以与为边作．设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为． (1)_____（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)秒 (3) 【分析】（1）先根据点P的运动速度和时间可得PB的长，从而得的长； （2）根据，列方程可得结论；也可以根据平行四边形的性质可得，据此列出方程求出t的值即可； （3）分三种情况分别求出S与t的函数关系式即可：①当时，与重叠部分为矩形；②当时，与重叠部分为梯形；③当时，与重叠部分为五边形． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵， ∴； 故答案为∶； （2）解∶ 如图1，当点F落在边上， 由题意得：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 即， ∴， 则当点F落在边上时，t的值秒； （3）解∶ ①当时，Q在上，如图1，过P作于M，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； ②当时，Q在上，如图3，过Q作于H， ∵， ∴）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ③当时，如图4，Q在上， 同②知：， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， 综上，S与t之间的函数关系式为： ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，平行四边形的动点问题，运用分类讨论的思想是解决本题的关键． 2．如图，在中，，，，点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动，当点运动到点时，点也停止运动． (1)设运动时间为时，则___________，___________． (2)当为何值时，的面积为． (3)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)， (2)当或时，的面积为 (3)当时，四边形面积的最小值，最小面积为 【分析】本题主要考查勾股定理，动点的计算，二次函数图象的性质，一元二次方程的应用，理解图示中动点的运用，二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理得到，根据点的运动，线段长度的计算即可求解； （2）结合（1）的计算，根据面积公式计算即可； （3）根据题意，，，则，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动， 设运动时间为， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意，点从的时间为，点从的时间为， 由面积公式得，， 整理得，， 解得，， ∴当或时，的面积为； （3）解：，， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积的最小值，最小面积为． 3．如图，在矩形中，为边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接、、，当点P、Q相遇时停止运动．设的面积为S，点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当的面积是时，直接写出t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当点P在上时，；当点P在上时，； （2）当点P、Q相遇时，，求出相遇时t的值，然后分两种情况讨论：当点P在上时，，，；当点P在上时，，，，分别求出关系式即可； （3）当点P在上时，令；当点P在上时，令，分别解方程即可． 【详解】（1）解：分以下两种情况： 当点P在上时，根据题意得， ∴； 当点P在上时，根据题意得， ∴． 综上，或； （2）解：∵在矩形中，， ∴，，， ∵为边的中点， ∴， 当点P、Q相遇时，， 解得， 分以下两种情况： 当点P在上时，， 根据题意得，，， ； 当点P在上时，，，， ． 综上所述，S与t的函数关系式为； （3）解：当点P在上时，令， 解得或； 当点P在上时，令， 解得（不符合舍去）， 综上，t的值为或． 4．如图，中， ， ，点P、Q分别在边和边上，其中．过点P作的垂线l交于点R，作关于直线l对称的图形，得到． (1)若点恰为的中点，则 ；当时，与组合而成的轴对称图形的形状是 ． (2)若，则 ①当a为何值时，点恰好落在上？ ②若记与重叠部分的面积为S（），求S与a的函数关系式，并写出a的取值范围． 【答案】(1)2，等腰三角形 (2)①；②． 【分析】此题考查了对折的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度很大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． （1）根据是的中点，证得D是的中点，然后根据对折的性质得出的长；根据三角形中位线的性质即可求得结论； （2）①过作，由于与关于直线l对称，，得出，，然后解直角三角函数即可求得；②与重叠部分有两种情况分别讨论求得． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵是的中点，， ∴D是的中点， ∴， 根据对折的性质：； 如图2， ∵， ∴Q、P分别是的中点， ∵， ∴， ∴R是的中点， ∴， ∴， ∴Q、R、在一条直线上， ∴与组合而成的轴对称图形的形状是等腰三角形； 故答案是：2；等腰三角形； （2）①过点作（如图①） ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∴ 即， 解得 ②（Ⅰ）当时，重叠部分为△（如图②） ∵ ∴，即 ∴，即（） （Ⅱ）当时，重叠部分为（如图③） ∵，， ∴， ∴ ， ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 即（）． ∴． 类型四、拱桥问题 1．圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)5，6，7，8 【分析】（1）设主桥拱的半径是，根据勾股定理可得，即可解得答案； （2）如图，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为； （3）甲桥的桥下水位上升了到，连接，连接与交于点E．求出甲桥此时的水面宽度为，再列出，解方程求解即可； （4）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m个单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接． 在中，，，， ， 解得， 即这座桥的主拱桥的半径为； （2）解：依题意可知：抛物线的顶点为，， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E． 在中，，， ，解得， ，即甲桥此时的水面宽度为； 由，解得，， ∵，乙桥此时的水面宽度为； （4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称． 平移后函数图象的对称轴是直线， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小， 结合函数图象，①当且时满足题意，解得； ②当时满足题意，解得（舍）． 综上所述，m的取值范围是， 所以,整数m的值为5，6，7，8 【点睛】本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质，待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用． 2．综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】（1）；（2）当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米；（3）5平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，点代入求解即可； （2）设点的坐标为，由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，得到，， 则 “支撑架”的长度为：，得出答案； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为，，求解即可得出答案． 【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）设点的坐标为， 由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，，， “支撑架”的长度为：， ，， 当时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米． 即当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 两个窗户的面积和（平方米）． 3．如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】(1) (2)能 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数对称轴等知识点，解决此题的关键是熟练运用二次函数图象的性质； （1）根据二次函数待定系数法求解析式即可； （2）先求出对称轴， 根据对称轴求出最高处，求出题中的高度，进行比较即可； （3）此题要进行分类讨论，注意其结果的取舍； 【详解】（1）解：由题意得，图象过，， ∴． ∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为， ∴车身的一端点的坐标为， 过作于点， 又将代入，得 ∴，即， ∴小军能将车开进车棚． （3）解：由题意，，在抛物线，之间， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，都在对称轴的左侧时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，舍； 当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， 当时，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴舍，舍． 综上所述：． 4．图1是一座下承式桥，桥的拱肋呈抛物线状，桥面与多根吊杆（如吊杆，等）连接并垂直，相邻吊杆之间的间距均为（忽略吊杆的粗细），建立如图2的平面直角坐标系，得到点，，已知点D为抛物线的顶点，吊杆的长为． (1)求该抛物线的解析式（不必写x的取值范围）； (2)若吊杆与相距，且在的左侧，求吊杆的长度； (3)淇淇说：“竖直安装的这些吊杆中，一定有一根吊杆的长度恰好是长度的一半．”你是否同意她的说法？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不同意淇淇的说法，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）先根据题意得点D的坐标为，设该抛物线的解析式为，将点的坐标代入求出的值即可； （2）根据题意得点M的横坐标为70，将代入解析式求出值即可； （3）由题意得，将代入解析式求出的值，再根据相邻吊杆之间的间距均为可知每根吊杆上的点的横坐标应为整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由题意，，， ∴， ∴点M的横坐标为70， 将代入． 得， ∴吊杆的长度为； （3）解：不同意淇淇的说法，理由如下： ∵， ∴， 当时，得， 解得， ∵相邻吊杆之间的间距均为， ∴每根吊杆上的点的横坐标应为整数， ∴不存在一根吊杆的长度恰好是长度的一半． 类型五、投球问题 1．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线， ∴当时，， 此时，解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴，∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：． 2．如图所示，足球从距离地面5米处的空中沿x轴方向抛射，在距离初始发射位置米处第一次落地，经地面反弹后，在米时第二次达到最大高度3米，此后足球第二次落地，已知整个过程足球的运动轨迹都是抛物线，根据图中的信息，回答以下问题： (1)当_____米时，足球距离地面的高度最大；当_____米时，足球第二次落地； (2)当足球距离地面的高度小于2米时，位置x的范围是________． 【答案】(1)3；15 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质： （1）求出第一段抛物线的对称轴即可得足球距离地面的高度最大时x的值；求出关于对称的点即可求出足球第二次落地时x的值； （2）求出第一段和第二段抛物线的解析式，求出对应的x的范围即可． 【详解】（1）解：由图可知，对于第一段抛物线，其对称轴为， 故当米时，足球距离地面的高度最大； 对于第二段抛物线，其对称轴为， ∴当米时，足球第二次落地； 故答案为：3；15； （2）解：第一段抛物线的对称轴是，故其与x轴的另外一个交点横坐标为， 故可设第一段抛物线为，将代入得， ∴， ∴第一段抛物线为， 令，解得， 由图可知，对于第一段抛物线，当时，足球距离地面的高度小于2米； 由图可设第二段抛物线为， 将代入得， ∴， ∴第二段抛物线为， 令，解得， ∴对于第二段抛物线，当或时，足球距离地面的高度小于2米； 综上，当或时，足球距离地面的高度小于2米． 3．综合与实践 【问题情境】 如图1，大连英博足球队在一次队内训练中，球员从斜坡底端处向斜坡上传球，进行长传球练习，足球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分． 【建模分析】 助理教练将队内16号球员的某次长传球在电脑中建立模型，进行数据分析． 如图2，根据足球飞行路线，以过点的水平直线为轴，过点的垂线为轴建立平面直角坐标系．足球飞行的水平距离与足球飞行的高度的变化规律如下表： 0 10 12 14 16 18 20 …… 0 8 …… 【问题解决】 (1)求足球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图3，设足球落在斜坡的点为，点的横坐标为24． ①助理教练在距点水平距离为8米处的斜坡上放置一个高度为的模拟人墙，模拟人墙与水平直线垂直，求当足球飞行到模拟人墙上方时，足球到模拟人墙顶端的距离； ②求足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由表中数据可得，抛物线的顶点为，不妨设与的函数表达式为，然后运用待定系数法求解即可； （2）先求出点坐标，然后用待定系数法求得直线的表达式，然后求得点的纵坐标以及时足球的高度，最后求得答案； （3）建立新的函数，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由表中数据可得，抛物线的顶点为，不妨设与的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴； （2）解：①当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，代入， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得； ， 将代入中，得， ∴足球到模拟人墙顶端的距离为：米； ②设足球飞行过程中距斜坡的铅直高度为，则 ∵， ∴有最大值，当时，的最大值为， ∴足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度为． 4．投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1．图是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以所在的直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，篮球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，篮球飞行的水平距离（米）与篮球距离水平面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离米 竖直高度米 (1)根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式； (2)在研究中发现，投篮机支架的连接点恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架的长度为米，支架与水平面的夹角为，请计算投篮机支架的长度； (3)在篮球的飞行过程中，篮球到斜坡的竖直高度会时刻变化，请求出的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查二次函数的应用．结合题意判断出点的横、纵坐标相等是解决本题的关键． （1）把表格中任意两组数值代入所给的抛物线解析式，求得和的值即可； （2）易得点的横，纵坐标相等，代入（1）中得到的函数解析式，即可求得点的坐标，取点的横坐标，减去点的横坐标，即为的长； （3）易得点和点的横坐标相等，设点的坐标为，则点的坐标为，表示出的长，配方成顶点式，即可求得的最大值． 【详解】（1）解：， 解得：， 篮球飞行路线的表达式为：； （2）解：作于点，则，四边形是矩形， ， 由题意得：， ， 设点的坐标为，     解得：，不合题意，舍去， ，由题意得：， ，， 答：投篮机支架的长度为米； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， ， 的最大值为． 类型六、喷水问题 1．某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    (1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 【答案】(1) (2)为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． 将代入，得，解得， 水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． （2）解：当时，有， 解得， 为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 2．综合与实践：为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练，以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值； (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？若不能，则消防车需再向前（靠近高楼）行进多少米才能快速灭掉这个起火点？ (3)由于火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂GH的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长后不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂伸长后应为多少米？（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口G先向左平移，再向上平移） 【答案】(1) (2)不能，消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点 (3)伸缩臂伸长后应为米 【分析】（1）将代入抛物线解析式即可； （2）将起火点高度代入抛物线解析式，求解即可； （3）通过伸缩臂伸长量与坐标变化的关系，设伸长伸缩臂后，将出水口先向左平移了米，再向上平移了米，建立新的抛物线方程，当时，，代入求解，与进行比较即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上， 代入抛物线得：， 解得：； （2）解：不能． ， ， 该楼距离地面米处出现一个起火点， 将代入， 得， 解得， ， ， 消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点； （3）解：， 设伸长伸缩臂后，将喷水口先向左平移了米，再向上平移了米， 则， 当时，， 即， 解得，， 当时，，伸缩臂长为．，符合题意． 当时，，伸缩臂长为．，不符合题意，舍去． 故伸缩臂伸长后应为米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题关键． 3．小明家新买了一个高度为的长方体玻璃鱼缸，为打造流水景观，他在鱼缸侧面连续注水，保证鱼缸始终盛满水（水面离鱼缸底部高度即为鱼缸高度）．当在鱼缸侧面离水面竖直距离为（单位：）的位置开一个小孔时，从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系满足关系式：，其中为水面离地面的高度（此处即鱼缸高度）． (1)请写出与的函数关系式，并回答：当为何值时，射程达到最大值？最大射程是多少？ (2)小明想在鱼缸侧面开两个小孔，使得两个小孔射出水的射程相等．若第一个小孔离水面的竖直距离为，第二个小孔离水面的竖直距离为，求与之间的关系式； (3)为了让流水景观更美观，小明打算在鱼缸下方垫一个木质底座．若垫高后，射出水的最大射程比原来增加了，则垫高后小孔离水面的竖直距离为_____． 【答案】(1)，当时，射程最远为； (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）把代入函数关系式，即可得出与的关系式，利用二次函数求最值即可； （2）根据两孔射出水的射程相同，得到，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∵， ∴当时，函数值最大为900， ∴的最大值为； 故当时，射程最远为； （2）由（1）知：， 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）设垫高的高度为，由题意，得， ∴当时，最大为，此时最大为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，与轴交于点，点距喷水口的水平距离为米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)下边缘抛物线与轴的交点的坐标为______； (3)若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移米得到的，可得点的坐标． （3）根据米，米，米，可求得点的坐标为，当时，求出的值，再与比较，从而得出答案． 【详解】（1）解： ∴抛物线顶点为， 设其解析式为： 喷水口H的坐标为，代入上式得： ， 解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得(舍去)， ∴点的坐标为， ∴下边缘抛物线与x轴的交点B的坐标为． （3）解：能，理由如下： ∵米，米，米， ∴点的坐标为， 当时，， 当时，随的增大而减小， ∴灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数实际应用的六种考法 类型一、销售利润问题 1．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． (1)写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？ (2)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (3)商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 2．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现在这100天内，①该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）满足关系式：；②该商品的日销售量y（单位：件）与时间t满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t 1 2 10 20 … 日销售量y/件 119 118 110 100 … (1)求出y与t之间的函数关系式． (2)设销售该商品的日利润为w（单位：元），请写出w与t之间的函数关系式，并求出在这100天内日利润最大的时间及最大日利润． 3．某农户种植的农产品在某月（按30天计）的第天（为正整数）的售价（单位：元）与之间的函数关系式为销售量（单位：）与之间的关系如下图所示． (1)写出与之间的函数关系式，及的取值范围：________________________． (2)当月第几天该农产品的销售额（销售额=销售量×售价）最大？最大销售额是多少？ 4．某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） (1)请直接写出与之间的函数关系式． (2)求出第一年年利润的最大值． (3)根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 类型二、图形问题 1．如图三角形，，是边上的高．分别是边上的点，是上的点，连接，交于． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 2．问题探究 （1）如图1，在直角梯形中，，截取，连接，，已知，，． ①求五边形的面积关于的函数解析式； ②当为何值时，； 问题解决 （2）如图2，四边形是一片花海，其中，，，，，，为方便游客观赏，分别在，上取点，，沿，，修建三条步道，根据设计思路，，的面积为，写出与之间的函数关系式，并求出取最小值时的值． 3．问题探究： （1）如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________； （2）如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大． 问题解决： （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边上，顶点Q、P分别在边上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？ 4．如图，在正方形纸片中，若沿折痕对折，则顶点B落在边上的点F处，顶点C落在点N处，点M是与交点，且． (1)当点F是的中点时，求的周长； (2)当点F不与A，D和的中点重合时： ①试问的周长与（1）中的结果相同吗？并证明你的结论； ②设四边形的面积为S，为x，求S与x的函数关系式，并问当x为何值时，四边形的面积为38？ 类型三、图形运动问题 1．如图，是的对角线，，，．动点从点出发，以的速度沿运动到终点，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，当一点到达终点时另一点也停止运动．过点作，交射线于点，连接，以与为边作．设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为． (1)_____（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 2．如图，在中，，，，点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动，当点运动到点时，点也停止运动． (1)设运动时间为时，则___________，___________． (2)当为何值时，的面积为． (3)求四边形面积的最小值． 3．如图，在矩形中，为边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接、、，当点P、Q相遇时停止运动．设的面积为S，点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当的面积是时，直接写出t的值． 4．如图，中， ， ，点P、Q分别在边和边上，其中．过点P作的垂线l交于点R，作关于直线l对称的图形，得到． (1)若点恰为的中点，则 ；当时，与组合而成的轴对称图形的形状是 ． (2)若，则 ①当a为何值时，点恰好落在上？ ②若记与重叠部分的面积为S（），求S与a的函数关系式，并写出a的取值范围． 类型四、拱桥问题 1．圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 2．综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 3．如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 4．图1是一座下承式桥，桥的拱肋呈抛物线状，桥面与多根吊杆（如吊杆，等）连接并垂直，相邻吊杆之间的间距均为（忽略吊杆的粗细），建立如图2的平面直角坐标系，得到点，，已知点D为抛物线的顶点，吊杆的长为． (1)求该抛物线的解析式（不必写x的取值范围）； (2)若吊杆与相距，且在的左侧，求吊杆的长度； (3)淇淇说：“竖直安装的这些吊杆中，一定有一根吊杆的长度恰好是长度的一半．”你是否同意她的说法？说明理由． 类型五、投球问题 1．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 2．如图所示，足球从距离地面5米处的空中沿x轴方向抛射，在距离初始发射位置米处第一次落地，经地面反弹后，在米时第二次达到最大高度3米，此后足球第二次落地，已知整个过程足球的运动轨迹都是抛物线，根据图中的信息，回答以下问题： (1)当_____米时，足球距离地面的高度最大；当_____米时，足球第二次落地； (2)当足球距离地面的高度小于2米时，位置x的范围是________． 3．综合与实践 【问题情境】 如图1，大连英博足球队在一次队内训练中，球员从斜坡底端处向斜坡上传球，进行长传球练习，足球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分． 【建模分析】 助理教练将队内16号球员的某次长传球在电脑中建立模型，进行数据分析． 如图2，根据足球飞行路线，以过点的水平直线为轴，过点的垂线为轴建立平面直角坐标系．足球飞行的水平距离与足球飞行的高度的变化规律如下表： 0 10 12 14 16 18 20 …… 0 8 …… 【问题解决】 (1)求足球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图3，设足球落在斜坡的点为，点的横坐标为24． ①助理教练在距点水平距离为8米处的斜坡上放置一个高度为的模拟人墙，模拟人墙与水平直线垂直，求当足球飞行到模拟人墙上方时，足球到模拟人墙顶端的距离； ②求足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度． 4．投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1．图是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以所在的直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，篮球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，篮球飞行的水平距离（米）与篮球距离水平面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离米 竖直高度米 (1)根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式； (2)在研究中发现，投篮机支架的连接点恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架的长度为米，支架与水平面的夹角为，请计算投篮机支架的长度； (3)在篮球的飞行过程中，篮球到斜坡的竖直高度会时刻变化，请求出的最大值． 类型六、喷水问题 1．某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    (1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 2．综合与实践：为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练，以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值； (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？若不能，则消防车需再向前（靠近高楼）行进多少米才能快速灭掉这个起火点？ (3)由于火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂GH的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长后不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂伸长后应为多少米？（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口G先向左平移，再向上平移） 3．小明家新买了一个高度为的长方体玻璃鱼缸，为打造流水景观，他在鱼缸侧面连续注水，保证鱼缸始终盛满水（水面离鱼缸底部高度即为鱼缸高度）．当在鱼缸侧面离水面竖直距离为（单位：）的位置开一个小孔时，从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系满足关系式：，其中为水面离地面的高度（此处即鱼缸高度）． (1)请写出与的函数关系式，并回答：当为何值时，射程达到最大值？最大射程是多少？ (2)小明想在鱼缸侧面开两个小孔，使得两个小孔射出水的射程相等．若第一个小孔离水面的竖直距离为，第二个小孔离水面的竖直距离为，求与之间的关系式； (3)为了让流水景观更美观，小明打算在鱼缸下方垫一个木质底座．若垫高后，射出水的最大射程比原来增加了，则垫高后小孔离水面的竖直距离为_____． 4．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，与轴交于点，点距喷水口的水平距离为米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)下边缘抛物线与轴的交点的坐标为______； (3)若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $