5.3实际问题与一元一次方程专项训练（日历问题、销售问题、路程问题、工程问题）-2025-2026学年人教版七年级数学上册

一元一次方程：日历问题、销售问题、路程问题、工程问题专项训练 一元一次方程：日历问题、销售问题、路程问题、工程问题专项训练 考点目录 日历问题 销售问题 路程问题 工程问题 考点一 日历问题 例1．（25-26七年级上·江西南昌·期中）综合与实践 【课本再现】 二中七年级某班在学习第四章《整式的加减》时，通过“数学活动”探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 【观察发现】 如图1是2025年11月的月历，小明用“十”字框框中5个数． （1）这5个数中，最小数与最大数的差是______； （2）小明发现当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请通过计算说明他的发现成立． 【拓展延伸】 （3）小明用图2的“凹”字框在图1月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母，，，，表示．这5个数的和能等于101吗？若能，求出这5个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）能，这 5 个数是15，17，22，23，24 【详解】解：（1）依题意，这 5 个数中，最小数是12，最大数是26， ， 故答案为：； （2）设正中心的数为， 则阴影框中其余的 4 个数为， ， 则这 5 个数的和为， ∵是正整数， ∴当“十”字框任意移动时，框中的 5 个数之和始终是 5 的倍数； （3）能，过程如下： ∵用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中 5 个数，将这 5 个数分别用字母表示， ， 依题意，， 解得：， 则， ∴这 5 个数是15，17，22，23，24． 例2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则____，____，若，则 （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 【答案】(1)9，16， (2)被框住的5个数字之和不可能为116，理由见详解 (3)是定值，且为14，理由见详解 【详解】（1）解：依题意，，， ∵， ∴； （2）解：被框住的5个数字之和不可能为116，理由如下： 依题意， 则 ∵被框住的5个数字之和为116， ∴， ∴ ∴， 观察月历，26号是靠边， ∴被框住的5个数字之和不可能为116． （3）解：是定值，且为，理由如下： 由（2）得 同理得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ． 故为定值，且为． 例3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图（1）是2025年11月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数，若不能请说明理由； (3)图（2）是2025年十二月份的日历，用这样的“X”形框能框出的五个数的和的最大值是多少？ 【答案】(1) (2)能，这五个数中最小的数为2 (3)115 【详解】（1）解：依题意，设X框最中间的数为a， 则X框的其他四个数分别是 ∴ ∴这5个数之和为； （2）解：这5个数的和能等于50，过程如下： 依题意，当设X框最中间的数为a，则这5个数之和为 故， 解得， ∴这五个数中最小的数是； （3）解：由（1）得设X框最中间的数为a，则X框的其他四个数分别是，且这5个数之和为； 观察2025年十二月份的日历，有号， 即， 解得， 此时五个数的和的最大值是． 例4．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将所有的奇数按照从小到大的顺序七个一行排列成一个数列表，在该数列表上面放置一个“中”字框． (1)求图中“中”字框框住的七个数字的平均值 (2)“中”字框可以在该数列表中上下左右移动，但总保持可以框住七个数字，随着“中”字框的移动，是否可以使其框住的七个数字之和为？并说明你的理由． 【答案】(1) (2)没有可能和为，见解析 【详解】（1）解：图中“中”字框框住的七个数字的平均值为． （2）解：设中心为数字，则“中”字的数字为，，，，，，， 解得， ，位于倒数第二列（行）， 由于至少为倒数第列，故没有可能和为． 变式1．（25-26七年级上·山东聊城·阶段练习）如图是某年月的月历，请回答下列问题： (1)图中用框数器“”框出的五个数的和是多少？ (2)将框数器“”在图中换个位置框出五个数，记正中间的数为，则框出的五个数的和是多少？ (3)用框数器“”框出的五个数的和可能等于吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． (4)你还有什么新的发现？ 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：． （2）解：若中间的数为，则左上角、右上角、左下角、右下角的数分别是，，和， 所以五个数的和为 ． （3）答：不能，理由如下： ∵， ∴ ∵是整数 ∴此情况不成立，即这五个数的和不可能是． （4）答案不唯一；例如对角线上的数字和相等，即． 变式2．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； (2)成立，； (3)不能是． 【详解】（1）解：， 带阴影的十字框中的个数的和是， ， 带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； （2）解：中的结论对于任何一个月的月历都成立， 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是， 十字框中五个数的和为：； （3）解：设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是， 根据题意可得：， 解得：， 由图可知，在日历的最右边一列， 不可能是中间的数字， 用十字框框出个数的和不可能是． 变式3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ (2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？ (3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由． 【答案】(1)横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为，竖列上的相邻两数之间的关系为：下一列的数与上一列的数的差是； (2)这三个数分别是、、 (3)不能，理由见详解 【详解】（1）解：横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为， 竖列上的相邻两数之间的关系为：下面一行的数与上面一行的数的差是； （2）解：设中间的数为，则有 ， 解得， 所以， ， 故这三个数分别是、、； （3）解：不能； 理由如下： 设最左上角的数为，则有 ， 解得， 所以，，， 所以四个数分别是、、、， 由日历得与不在同一列，与不在同一列， 故不能用一个正方形圈出四个数，这四个数的和不能等于60． 变式4．（24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)，， (3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析 【详解】（1）解：用长方形框框出的四个数中左上角的数为18， 右下角的数为，这四个数之和为. （2）解：记左上角的数为，则另外三个数分别为，，． （3）解：不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下： 假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92， 根据题意得：， 解得：， 在第七列，不符合题意， 假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 考点二 销售问题 例1．（25-26七年级上·广东广州·月考）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【答案】(1)商品A最后应卖元； (2)商品B的成本是850元 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 答：商品A最后应卖元； （2）解：设商品B的成本是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：商品B的成本是850元． 例2．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某超市开展促销活动，一次性购物满200元后将给购物者优惠，购物超过200元不足500元的，按9折优惠；购物超过500元的，500元以下（含500元）仍按9折优惠，而超过500元的部分按8折优惠．某人第一次和第二次购物分别用了134元和490元，问： (1)此人两次购物时．所购物品的原价是多少？ (2)在此次活动中他节省了多少钱？ (3)如果此人将两次购买的物品一次全部购买，是否更省钱？请说明你的理由． 【答案】(1)两次购物时，所购物品的原价分别为134元和550元 (2)节省了60元 (3)更省钱，理由见解析 【详解】（1）解：此人第一次购物用了134元，没有享受优惠，即所购买物品的原价为134元， 第二次购物用了490元， ， 所购物品超过500元． 设第二次所购物品的原价为元， 则， 解得． 答：此人两次购物时，所购物品的原价分别为134元和550元． （2）解：（元）． 答：在此次活动中他节省了60元． （3）解：更省钱． 如果一次全部购买可以节省（元）， 因为， 所以，如果此人将两次购买的物品一次全部购买会更省钱． 例3．（25-26七年级上·黑龙江·期中）某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 【答案】(1)189或210 (2) (3)商家获利168元 【详解】（1）解：当小张购买了小于200元物品时，不予优惠，小张付款为189元； 当小张购买了满200元且不超过500元物品时，设购物标价为元，根据题意得， ， 解得； 故答案为：189或210； （2）解：根据题意得，他付款为元， 故答案为：； （3）解：设第一次的成本为元，第二次的成本为元，根据题意得， ，， 解得， ∴（元）， 所以，商家获利168元． 例4．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）我校每年参加市区校园足球比赛，由于时间紧张，带队老师经常带队员们去吃牛肉面，队员数量较多，老师要保证每个孩子吃好还不能浪费，正好牛肉面馆有活动，下表为牛肉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉面 牛肉面＋1份小菜 牛肉面＋1份小菜＋1份牛肉 价格（元） 8 10 20 优惠活动 消费满100元，减10元；消费满200元，减20元；消费满300元，减30元… 队长负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有17份牛肉面，份小菜和8份牛肉．大家帮他们算一算： (1)他们共点了 份B套餐， 份A套餐；（用含的式子表示） (2)若他们套餐共买10份小菜，求实际花费多少元； (3)若他们点套餐优惠后实际花费了220元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【答案】(1)， (2)216 (3)A套餐5份，B套餐4份，C套餐8份 【详解】（1）解：∵由三种套餐中都含牛肉面，B、C套餐含小菜且只有C套餐中含牛肉， ∴A、B、C套餐一共点了份，B、C套餐一共点了份，C套餐点8份， ∴他们共点了份B套餐；点了份A套餐； 故答案为， （2）由小菜共10份，即，所以他们共点了份B套餐；点了份A套餐； 总金额：（元）． 优惠规则：消费满200元减20元，236元满足条件， 实际花费：（元）． 答：实际花费216元。 （3）∵他们点套餐优惠后实际花费了220元， ∴他们享受优惠为消费满200元，不足300元，故优惠了20元， ∴优惠前消费（元）； 由（1）得：他们共点了份B套餐；点了份A套餐，依题意得 ，解得：， ∴他们共点了份B套餐；点了份A套餐， 答： A套餐5份，B套餐4份，C套餐8份． 变式1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）春季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用240000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下： 销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每天的销售量（单位：双） (1)这七天共销售运动鞋多少双？ (2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？ (3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按八折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计） 【答案】(1)这七天共销售运动鞋双； (2)每双鞋的定价应为元； (3)这批运动鞋全部销售后张老板共盈利元． 【详解】（1）解： （双）． 答：这七天共销售运动鞋双； （2）解：设每双鞋的定价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每双鞋的定价应为元； （3）解： （元）． 答：这批运动鞋全部销售后张老板共盈利元． 变式2．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠． （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠． （3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 问题一：小明去该超市购物，付款189元．小明所购商品的原价是多少元？ 问题二：小强去该超市购物，付款530元．小强所购商品的原价是多少元？ 【答案】问题一：189或210元；问题二：600元 【详解】解：问题一：若一次购物少于200元，则小明所购商品的原价是189元； 若一次购物满200元，但不超过500元，则小明所购商品的原价是元； 综上所述，小明所购商品的原价是189或210元； 问题二：根据题意得：小强所购商品的原价超过500元， 设小强所购商品的原价为x元，根据题意得： ， 解得：， 答：小强所购商品的原价为600元． 变式3．（25-26七年级上·重庆万州·月考）国庆节期间某商场对顾客实行优惠，规定如下：若一次购物不超过200元（含200元），按标价九折优惠，若一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），所有商品按标价给予八折优惠，若一次购物超过500元，其中500元按八折优惠之外，超过500元的部分给予七折优惠．某人两次购物分别付款180元和456元，如果他合起来一次去购买同样的商品，他还可以节约多少钱？ 【答案】他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约40或22.5元钱 【详解】解：设付款180元和456元的标价分别为x元、y元， ①由题意得，， 解得， ， 解得， 合起来一次去购买同样的商品标价为元， 应付款：元， 节约的钱数元； ②， 解得， 合起来一次去购买同样的商品标价为元， 应付款：元， 节约的钱数元； 答：他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约40或22.5元钱． 变式4．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【答案】(1)60元 (2)120个 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 考点三 路程问题 例1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据往返路程相等，列得方程，， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：水流的速度为． 例2．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在餐厅开始给学生打餐时，已经有名学生在餐厅外排队等候．打餐开始后，仍有学生继续前来排队等候打餐．设学生按固定的速度增加，每个售饭窗口打餐的速度也是固定的，且是学生增加速度的．若开设5个售饭窗口，则需要40分钟才可将排队等候的学生全部打完餐．根据学校作息时间安排，现要求20分钟将排队等候的学生全部打完餐，以便后来到餐厅的学生随到随打．问需要同时开放几个售饭窗口？ 【答案】6个 【详解】设每个售饭窗口每分钟可打餐人，则学生每分钟增加人，依题意可列方程： 可得： 又设20分钟打完餐需开放个售饭窗口，可列方程为： 可得： 答：需要同时开放6个售饭窗口． 例3．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 【答案】(1) (2)的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米 【详解】（1）解：∵小育登山用了分钟，且小育先出发40分钟，两人同时登上山顶， ∴小才登山所用时间为分钟， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 解得， 则山高为（米）， 答：的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米． 例4．（25-26七年级上·陕西·期中）甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是千米/时，水流速度是千米/时．（顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度） (1)用含的代数式表示甲船顺水速度和乙船逆水速度； (2)用含的代数式表示小时后甲船比乙船多航行的路程；（结果化为最简） (3)若小时后甲船比乙船多航行千米，求的值． 【答案】(1)甲船顺水速度：，乙船逆水速度： (2) (3) 【详解】（1）解：甲船顺水速度静水速度水流速度； 乙船逆水速度静水速度水流速度． （2）解：小时后甲船航行路程：，即使 小时后乙船航行路程：， 甲船比乙船多航行的路程：． （3）解：∵甲船比乙船多航行千米， 故， 解得． 变式1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 【答案】(1)经过两车第一次相遇； (2)经过两车第二次相遇； (3)两车恰好相距时，行驶了或或或或． 【详解】（1）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第一次相遇； （2）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第二次相遇； （3）解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： ①当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有：， 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有：， 解得． 综上所述，两车恰好相距时，行驶了或或或或． 变式2．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）一条公路上A，B，C三地的位置如图所示．已知B，C两地之间相距240千米，一辆货车从B地出发，向C地匀速行驶，经过30分钟，距A地135千米，又经过1.5小时，距A地225千米． (1)求A，B两地之间的距离； (2)该货车从B地出发时，一辆客车从A地以每小时m千米的速度驶向C地，若两车在距C地30千米到60千米的某处相遇，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)105千米 (2) 【详解】（1）解：设A，B两地之间的距离为x千米，根据题意得：，解得：． 答：A，B两地之间的距离为105千米； （2）解：货车的速度为（千米/小时）． 当两车在距C地60千米相遇时，， 解得：； 当两车在距C地30千米相遇时，， 解得：， ∴m的取值范围为． 变式3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用一元一次方程解决的问题，并写出解答过程． 【答案】见解析． 【详解】解：问题：汽车在普通公路和高速公路上各长多少千米， ∵前路段为普通公路，其余路段为高速公路， ∴路段为高速公路是路段为普通公路的倍， 设路段为普通公路有，则路段为高速公路有， 根据题意得， 解得：， ∴路段为高速公路有， 答：路段为普通公路有，路段为高速公路有； 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶多少小时， ∵前路段为普通公路，其余路段为高速公路， ∴路段为高速公路是路段为普通公路的倍， 设路段为普通公路有，则路段为高速公路有， 根据题意得， 解得：， ∴路段为高速公路有， ∴汽车在普通公路行驶（小时），汽车在高速公路上行驶（小时）， 答：汽车在普通公路行驶小时，汽车在高速公路上行驶小时． 变式4．（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题． (1)后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． (2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． (3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 【答案】(1)；30 (2)联络员第一次追上前队用了小时 (3)联络员第一次与后队相遇用了小时 【详解】（1）解：由题得： 后队第一次追上前队用的时间为： （小时）， 后队第一次追上前队时联络员行驶的路程为： （千米）， （2）解：设联络员第一次追上前队用了x小时，根据题意得： ， 解得，， 即联络员第一次追上前队用了小时； （3）解：设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意得： ， 解得：， ∴， 即联络员第一次与后队相遇用了小时． 考点四 工程问题 例1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 【答案】甲单独完成还需要4天半完成． 【详解】解：设甲单独完成还需要x天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲单独完成还需要4天半． 例2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）完成一项工程，原计划甲、乙、丙三人合作13天完成．开工前，丙说：我需要完成另一项工程，中途要请假2天．乙说：那样的话我多做4天就可以了．甲说：那我和乙一起多做1天就行了．照这样计算，如果这项工程由甲单独做需要多少天？ 【答案】26 【详解】解：丙2天的工作量，相当于乙4天的工作量，丙的工作效率是乙的工作效率的（倍）， 甲、乙合作1天，与乙做4天一样，也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍， 乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天，他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要天． 例3．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． (1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？ (2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 【答案】(1)12 (2)5 【详解】（1）解：设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天． 根据题意，得：， 解得， 则，所以（天）． 答：甲、乙两公司合作需要12天完成． （2）解：设乙公司还需要天可以完成此工程． 根据题意，得：， 解得． 答：乙公司还需要5天可以完成此工程． 例4．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 变式1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 【答案】公司的工作时间为4天 【详解】解：设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天， 根据题意得：， 解得：． 答：公司的工作时间为4天． 变式2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）一项工程甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成． (1)甲队的工作效率是 ，乙队的工作效率是 ，甲乙合作的工作效率是 ，故甲乙合作完成该工程需要 天； (2)现甲队先单独做天，然后剩余工程由两个工程队合作完成，甲一共参与了多少天？ 【答案】(1)，，， (2)甲一共参与了天 【详解】（1）解：∵一项工程甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成， 甲队的工作效率是，乙队的工作效率是， 甲乙合作的工作效率是， 甲乙合作完成该工程需要（天）． 故答案为：，，，． （2）解：设甲一共参与了天，则乙参与的时间为， 由题意得：， 解得， 答：甲一共参与了11天． 变式3．（24-25七年级下·天津南开·阶段练习）某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天． (1)求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）； (2)若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？ 【答案】(1)这批校服共有960件 (2)乙厂全部工作时间是28天 【详解】（1）解：设这批校服共有x件, 由题意得：甲工厂加工这种校服用的天数为：， 乙工厂加工这种校服用的天数为：， ∵单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天， ∴， 解方程得：， ∴这批校服共有960件； （2）解：乙厂引进了新设备后每天加工的数量为：件， 设甲工厂加工的天数为y天， 则乙工厂加工的天数为：（天）， 由题意得： 解方程得：， ∴， 答：乙工厂加工的天数为28天． 变式4．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、有现代科学理念和架构的“综合性文物医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以“延年益寿”．文物修复师们计划用36个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物﹐需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由10名文物修复师一起修复了12个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 【答案】还需要增加15名文物修复师才能按时完成修复工作 【详解】解：设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作， 由题意得： 解得：， 答：还需要增加15名文物修复师才能按时完成修复工作． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元一次方程：日历问题、销售问题、路程问题、工程问题专项训练 一元一次方程：日历问题、销售问题、路程问题、工程问题专项训练 考点目录 日历问题 销售问题 路程问题 工程问题 考点一 日历问题 例1．（25-26七年级上·江西南昌·期中）综合与实践 【课本再现】 二中七年级某班在学习第四章《整式的加减》时，通过“数学活动”探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 【观察发现】 如图1是2025年11月的月历，小明用“十”字框框中5个数． （1）这5个数中，最小数与最大数的差是______； （2）小明发现当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请通过计算说明他的发现成立． 【拓展延伸】 （3）小明用图2的“凹”字框在图1月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母，，，，表示．这5个数的和能等于101吗？若能，求出这5个数；若不能，请说明理由． 例2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则____，____，若，则 （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 例3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图（1）是2025年11月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数，若不能请说明理由； (3)图（2）是2025年十二月份的日历，用这样的“X”形框能框出的五个数的和的最大值是多少？ 例4．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将所有的奇数按照从小到大的顺序七个一行排列成一个数列表，在该数列表上面放置一个“中”字框． (1)求图中“中”字框框住的七个数字的平均值 (2)“中”字框可以在该数列表中上下左右移动，但总保持可以框住七个数字，随着“中”字框的移动，是否可以使其框住的七个数字之和为？并说明你的理由． 变式1．（25-26七年级上·山东聊城·阶段练习）如图是某年月的月历，请回答下列问题： (1)图中用框数器“”框出的五个数的和是多少？ (2)将框数器“”在图中换个位置框出五个数，记正中间的数为，则框出的五个数的和是多少？ (3)用框数器“”框出的五个数的和可能等于吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． (4)你还有什么新的发现？ 变式2．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 变式3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ (2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？ (3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由． 变式4．（24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 考点二 销售问题 例1．（25-26七年级上·广东广州·月考）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 例2．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某超市开展促销活动，一次性购物满200元后将给购物者优惠，购物超过200元不足500元的，按9折优惠；购物超过500元的，500元以下（含500元）仍按9折优惠，而超过500元的部分按8折优惠．某人第一次和第二次购物分别用了134元和490元，问： (1)此人两次购物时．所购物品的原价是多少？ (2)在此次活动中他节省了多少钱？ (3)如果此人将两次购买的物品一次全部购买，是否更省钱？请说明你的理由． 例3．（25-26七年级上·黑龙江·期中）某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 例4．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）我校每年参加市区校园足球比赛，由于时间紧张，带队老师经常带队员们去吃牛肉面，队员数量较多，老师要保证每个孩子吃好还不能浪费，正好牛肉面馆有活动，下表为牛肉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉面 牛肉面＋1份小菜 牛肉面＋1份小菜＋1份牛肉 价格（元） 8 10 20 优惠活动 消费满100元，减10元；消费满200元，减20元；消费满300元，减30元… 队长负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有17份牛肉面，份小菜和8份牛肉．大家帮他们算一算： (1)他们共点了 份B套餐， 份A套餐；（用含的式子表示） (2)若他们套餐共买10份小菜，求实际花费多少元； (3)若他们点套餐优惠后实际花费了220元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 变式1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）春季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用240000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下： 销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每天的销售量（单位：双） (1)这七天共销售运动鞋多少双？ (2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？ (3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按八折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计） 变式2．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠． （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠． （3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 问题一：小明去该超市购物，付款189元．小明所购商品的原价是多少元？ 问题二：小强去该超市购物，付款530元．小强所购商品的原价是多少元？ 变式3．（25-26七年级上·重庆万州·月考）国庆节期间某商场对顾客实行优惠，规定如下：若一次购物不超过200元（含200元），按标价九折优惠，若一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），所有商品按标价给予八折优惠，若一次购物超过500元，其中500元按八折优惠之外，超过500元的部分给予七折优惠．某人两次购物分别付款180元和456元，如果他合起来一次去购买同样的商品，他还可以节约多少钱？ 变式4．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 考点三 路程问题 例1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 例2．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在餐厅开始给学生打餐时，已经有名学生在餐厅外排队等候．打餐开始后，仍有学生继续前来排队等候打餐．设学生按固定的速度增加，每个售饭窗口打餐的速度也是固定的，且是学生增加速度的．若开设5个售饭窗口，则需要40分钟才可将排队等候的学生全部打完餐．根据学校作息时间安排，现要求20分钟将排队等候的学生全部打完餐，以便后来到餐厅的学生随到随打．问需要同时开放几个售饭窗口？ 例3．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 例4．（25-26七年级上·陕西·期中）甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是千米/时，水流速度是千米/时．（顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度） (1)用含的代数式表示甲船顺水速度和乙船逆水速度； (2)用含的代数式表示小时后甲船比乙船多航行的路程；（结果化为最简） (3)若小时后甲船比乙船多航行千米，求的值． 变式1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 变式2．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）一条公路上A，B，C三地的位置如图所示．已知B，C两地之间相距240千米，一辆货车从B地出发，向C地匀速行驶，经过30分钟，距A地135千米，又经过1.5小时，距A地225千米． (1)求A，B两地之间的距离； (2)该货车从B地出发时，一辆客车从A地以每小时m千米的速度驶向C地，若两车在距C地30千米到60千米的某处相遇，直接写出m的取值范围． 变式3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用一元一次方程解决的问题，并写出解答过程． 变式4．（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题． (1)后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． (2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． (3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 考点四 工程问题 例1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 例2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）完成一项工程，原计划甲、乙、丙三人合作13天完成．开工前，丙说：我需要完成另一项工程，中途要请假2天．乙说：那样的话我多做4天就可以了．甲说：那我和乙一起多做1天就行了．照这样计算，如果这项工程由甲单独做需要多少天？ 例3．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． (1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？ (2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 例4．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 变式1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 变式2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）一项工程甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成． (1)甲队的工作效率是 ，乙队的工作效率是 ，甲乙合作的工作效率是 ，故甲乙合作完成该工程需要 天； (2)现甲队先单独做天，然后剩余工程由两个工程队合作完成，甲一共参与了多少天？ 变式3．（24-25七年级下·天津南开·阶段练习）某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天． (1)求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）； (2)若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？ 变式4．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、有现代科学理念和架构的“综合性文物医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以“延年益寿”．文物修复师们计划用36个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物﹐需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由10名文物修复师一起修复了12个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $