答题模板05 函数概论-对数函数7题型（专项训练）数学苏教版2019必修第一册

答题模板05：对数函数7题型 题型01 对数函数的定义域 题型02 对数函数的单调性解不等式 题型03 比较函数值的大小关系 题型04 根据对数函数的值域求参数值或范围 题型05 对数函数的单调性 题型06 对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 题型07 对数函数性质的综合应用 本节导航 题型01对数函数的定义域 （24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ）典例1 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 结论: 求定义域 思路 探求 根据函数特征得到不等式，求出定义域. 书写 表达 由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 题后 反思 由对数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变． （25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数，则的定义域为 ．变式1 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】先根据已知函数的解析式得的定义域，进而可得的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得或. 所以函数的定义域为. 所以要使函数有意义，则或，即或. 故函数的定义域为. 故答案为： （25-26高三上·上海·阶段练习）函数的定义域是 .变式2 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域 【分析】根据函数有意义结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得， 则函数的定义域是. 故答案为：. （25-26高三上·北京顺义·阶段练习）函数的定义域为 .变式3 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据条件，利用对数函数的性质和根式有意义的条件，得，即可求解. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. （25-26高三上·上海·期中）函数的定义域为 ．变式4 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据函数定义域的概念，令真数大于，直接列不等式即可. 【详解】根据题意，函数， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 题型02 对数函数的单调性解不等式 （25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 .典例2 四步 内容 理解 题意 条件: 函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减 结论：不等式的解集 思路 探求 结合偶函数性质与单调性定义，可得，分类讨论并解出不等式即可得. 书写 表达 由函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减， 则当时，函数单调递增， 则对，有，即， 即或， 即或，分别解得或. 即该不等式解集为. 故答案为：. 题后 反思 函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式 对数不等式解法要点 (1)化为同底logaf(x)＞logag(x)． (2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向． (3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0. （25-26高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）变式1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】记，易证为奇函数且在上单调递增，由此即可解不等式. 【详解】设，则， 因为， 所以函数为奇函数， 当时，易知单调递增，单调递增， 所以当时，函数单调递增， 又函数为奇函数，所以函数在上单调递增， 所以等价于 所以 所以不等式的解集为. 故选：C. （2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）变式2 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式、解分段函数不等式 【分析】分和两种情况，分别解不等式，即可求得答案. 【详解】当时，，令，即， 解得或，结合可知，此时； 当时，，令，解得， 综合上可知不等式的解集为， 故选：C 题型03比较函数值的大小关系 （25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知，则的大小关系为（     ）典例3 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 已知 结论:比较的大小 思路 探求 利用指数函数与对数函数的单调性分别求出的范围，即得答案. 书写 表达 因为底数 ，所以 在上单调递减， 所以 ，故 ； 因为底数 ，所以 在上单调递减， 所以 ； 因为底数 ，所以 在上单调递增， 所以 ； 因此，大小关系为：. 故选：B 题后 反思 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22<log23<log24，即1<log23<2，从而借助中间值比较大小． （25-26高三上·河北·阶段练习）已知，，，则（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，所以； 因为，所以指数函数在上单调递增， 所以，即； 因为，所以对数函数在上单调递增，所以. 所以. 故选：B （2025·广东清远·一模）已知，，，则（    ）变式2 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小，可得结论. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，所以，即； 因为，所以对数函数在上单调递增，所以，即. 综上可得：. 故选：D （25-26高三上·北京顺义·阶段练习）若，则的大小关系为（    ）变式3 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据对数函数、幂函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】由， 由， 由，所以. 故选：C 题型04根据对数函数的值域求参数值或范围 （25-26高三上·山东泰安·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．典例4 四步 内容 理解 题意 条件: 结论: 思路 探求 当时，的值域为，从而当时，值域包含，由此可列不等式求解即可. 书写 表达 当时，的值域为， 因为函数的值域为， 所以当时，的值域包含， 所以，所以， 即，解得或， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 题后 反思 根据对数函数的值域求参数值或范围、分段函数的值域或最值 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故通过y＝logaf(x)型函数的值域求参数值或范围必先求定义域，进而确定f(x)的范围，进而求出a的范围． （24-25高三上·河北·阶段练习）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是 .变式1 【答案】 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】分别讨论当，时，根据指数函数和对数函数的图象和性质进行求解即可. 【详解】当时，， 令，则 因为，要使得此时函数没有零点， 则或，解得或； 当时，， 令，则， 因为，所以， 所以要使得此时函数没有零点，则，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. （25-26高三上·北京·阶段练习）若函数的值域是，则实数取值范围为（   ）变式2 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】先求出当时，，则根据条件得到当时，恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可． 【详解】当时，， 要使得函数的值域为，只需的值域包含于， 所以，结合，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 题型05对数函数的单调性 （25-26高三上·安徽·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是（    ）典例5 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 既是偶函数又是上的增函数 结论: 判断函数 思路 探求 根据指数函数的单调性判断A；根据奇偶性的定义判断BD；根据奇偶性的定义及幂函数的单调性判断C. 书写 表达 对于A，当时，为减函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 则函数不是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 且， 所以函数是偶函数， 当时，为增函数，故C正确； 对于D，的定义域为， 且，所以函数不是偶函数，故D错误. 故选：C 题后 反思 判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域． (2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”． （11-12高三上·北京·开学考试）函数的单调递增区间为 ．变式1 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数函数的单调性结合同增异减可求原函数的单调递增区间． 【详解】因为，所以函数的定义域为或， 令，则， 因为在单调递减， 且在单调递减，在单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故答案为：． （25-26高三上·广东广州·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递增的是（   ）变式2 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，根据指数函数的单调性，函数在上单调递减，故A错误； B选项，根据对数函数的单调性，函数在上单调递减，故B错误； C选项，根据幂函数的单调性，函数在上单调递增，故C正确； D选项，根据幂函数的单调性，函数在上单调递减，故D错误. 故选：C. （25-26高三上·北京·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）变式3 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性 【分析】根据各项的解析式确定定义域，结合指对幂函数及二次函数的性质、奇偶性定义判断各对应函数的奇偶性和区间单调性. 【详解】A，由函数的定义域为，且，故为奇函数，不符； B，由函数的定义域为R，且，故为非奇非偶函数，不符； C，由函数的定义域为，且，故为偶函数， 在上单调递增，符合； D，由函数的定义域为R，且，故为偶函数， 在上单调递减，不符. 故选：C 题型06对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 （25-26高一上·江苏淮安·阶段练习）（1）化简：；典例6 （2）已知（且），求的值； （3）化简：． 四步 内容 理解 题意 条件: （1）化简：； （2）已知（且），求的值； （3）化简：． 结论: 化简、求值 思路 探求 （1）由根式的运算与幂的运算法则计算； （2）由幂的运算法则计算出与后可得； （3）根据对数的运算法则及换底公式计算可得． 书写 表达 （1）； （2）（且）， 则，， 所以； （3）． 题后 反思 对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数幂的运算 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式逆用; (2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用; (3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用,进行计算或化简. （河南省九师联盟2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题）化简求值：变式1 (1) (2) 【答案】(1) (2)11 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用指数运算性质即可求得答案； （2）利用换底公式、对数运算性质即可求得答案. 【详解】（1） （2） （25-26高一上·河南南阳·期中）（1）求值：；变式2 （2）求值：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）借助指数幂运算法则计算即可得； （2）借助对数运算法则计算即可得； （3）借助完全平方公式计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由，则，即， ，又，则，故， 故. （25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）（1）用根式的形式表示变式3 （2）用分数指数幂表示 （3）求值： 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的关系转化即可； （2）根据根式与分数指数幂的关系转化，并结合指数幂的运算性质化简求值即可； （3）根据分数指数幂的运算性质及对数的运算法则运算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型07对数函数性质的综合应用 （24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数．典例7 (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 四步 内容 理解 题意 条件: 定义在上的函数 结论: (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 思路 探求 （1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 书写 表达 （1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 题后 反思 由对数函数的单调性解不等式、根据二次函数的最值或值域求参数、对数函数最值与不等式的综合问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)． (2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单． （25-26高二上·云南·阶段练习）已知函数（为常数）是奇函数.变式1 (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）根据奇函数的定义求出参数的值，再代入检验即可得结果； （2）由（1）可得，则对任意的恒成立，根据对数函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，则， 即，所以，即，解得， 当时，则函数无意义，故舍去； 当时，则，令，解得， 可知函数是定义在内的奇函数，符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可知，， 则， 若恒成立，即对任意的恒成立， 因为在上单调递增，则， 可得，所以的取值范围是. （2025·四川·模拟预测）已知函数．变式2 (1)若函数有最大值为1，求的值； (2)对于，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据指数函数的最值求参数 【分析】（1）根据对数函数的单调性得出有最小值，再结合二次函数的性质求解即可； （2）先求出，再分、、三种情况并结合求解即可. 【详解】（1）因为在上单调递减，有最大值为1， 所以有最小值， 故且，解得； （2）由题意得， 因，则，，则， 而，使得，则， 若，则，符合题意； 若，则，则，解得； 若，则，则，解得， 综上，实数的取值范围为. （2025·山西吕梁·模拟预测）已知函数．变式3 (1)若是偶函数，求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求参数、由对数函数的单调性解不等式、对数的运算 【分析】（1）先求出的定义域，再利用奇偶函数的性质，即可求解； （2）根据条件，利用对数的运算及对数函数的性质得，再结合函数的定义域，即可求解. 【详解】（1）由，解得，所以的定义域为， 又是偶函数，则的定义域关于原点对称，所以，即实数的值为. （2）由（1）知的定义域为，由， 得到，， 即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数型复合函数的定义域求解即可. 【详解】由，则， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2．（25-26高三上·北京大兴·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据分母不为零、对数的真数大于零进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可得且， 所以该函数的定义域为， 故选：B 3．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数的定义域求参数、求对数型复合函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立， 结合二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：D 4．（25-26高三上·河北·阶段练习）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】先根据对数的运算性质，将与、与化为同底的对数形式，再结合对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】由题意，，，故. 又，所以. 故选：A 5．（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断. 【详解】因为， 又因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. ，，由于，，且函数在上单调递增， 所以，即. 综合以上两个比较结果，可得. 故选：A 6．（25-26高三上·四川遂宁·期中）函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求函数定义域，结合偶函数的定义运算求解即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为， 若函数是偶函数，则， 即，可得， 结合的任意性可得. 故选：B. 7．（25-26高三上·安徽·阶段练习）若为奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用奇函数得，即，又由的定义域得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以，所以， 又，所以，又函数定义域关于原点对称， 故，即， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 8．（25-26高三上·山东·阶段练习）下列函数中，满足且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】研究对数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】逐项计算该函数是否满足且在区间上单调递增即可得. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，在区间上单调递减，故D错误. 故选：B. 9．（2025·四川绵阳·模拟预测）下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用偶函数的定义，结合单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，令，可得定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 由二次函数的性质可知函数在上单调递减，故A正确； 对于B，令，可得定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 由幂函数的性质可知函数在上单调递增，故B错误； 对于C，令，可得定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数不为偶函数，故C错误； 对于D，的定义域为不关于原点对称， 所以不为偶函数，故D错误. 故选：A. 10．（25-26高三上·广东广州·阶段练习）若函数，则（   ） A．7 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】求分段函数值、对数的运算 【分析】根据分段函数组成，利用对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意得， 因为，所以， 所以. 故选：C. 11．（25-26高三上·河北保定·期中），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较对数式的大小 【分析】利用指数函数与对数函数的图像与性质即可求解. 【详解】由于，，，所以； 故选：B 12．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）求值： . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】应用指数对数运算法则计算求解. 【详解】 . . 故答案为：. 13．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，且. (1)若的图象过点，解不等式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式能成立（有解）问题、对数的运算 【分析】（1）首先通过函数过点求解函数解析式，进而通过函数定义域及其单调性求解不等式即可； （2）首先根据已知条件代入解方程可得：，进而将问题转化为关于的方程在上有解，最后通过求解函数的值域求得参数的取值范围. 【详解】（1）由题意知，即，所以， 又，所以，所以， 所以的定义域为，且在上单调递增， 因为，所以， 解得，或， 所以原不等式的解集为. （2）由题意知，因为，所以， 由，得， 所以， 因为为单调函数，所以， 所以， 所以问题可转化为关于的方程在上有解. 令，则，又在上单调递增， 所以的值域为， 所以，所以，即的取值范围为. 14．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）当时，，由的单调性，即可求解； （2），，由单调性求出在区间上的最大值与最小值，利用其差不超过1，求出关于的关系式在恒成立，转化为关于的函数最值与参数关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以， 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）， 当时，，则， 所以在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 所以 整理得对任意恒成立， 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 15．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若，解方程； (2)若将的图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求； (3)若，且，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】对数的运算性质的应用、由对数函数的单调性解不等式、对数的运算 【分析】（1）由指对数的运算性质将原方程化为关于的一元二次方程，结合定义域求解即可； （2）确定平移后解析式，代入求解即可； （3）由对数的运算性质及对数函数的单调性得到且．再通过讨论和求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以原方程为， 由，得，又，所以， 所以， 即， 所以，考虑到， 解得， 所以． （2）将的图象向下平移（）个单位长度所得图象对应的函数为， 将点代入上式，得 解得 （3）由， 得， 所以且，所以且． 当时，，由得， 由，得，所以； 当时，，， 由得， 由，得，所以． 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板05：对数函数7题型 题型01 对数函数的定义域 题型02 对数函数的单调性解不等式 题型03 比较函数值的大小关系 题型04 根据对数函数的值域求参数值或范围 题型05 对数函数的单调性 题型06 对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 题型07 对数函数性质的综合应用 本节导航 题型01对数函数的定义域 （24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ）典例1 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 结论: 求定义域 思路 探求 根据函数特征得到不等式，求出定义域. 书写 表达 由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 题后 反思 由对数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变． （25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数，则的定义域为 ．变式1 （25-26高三上·上海·阶段练习）函数的定义域是 .变式2 （25-26高三上·北京顺义·阶段练习）函数的定义域为 .变式3 （25-26高三上·上海·期中）函数的定义域为 ．变式4 题型02 对数函数的单调性解不等式 （25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 .典例2 四步 内容 理解 题意 条件: 函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减 结论：不等式的解集 思路 探求 结合偶函数性质与单调性定义，可得，分类讨论并解出不等式即可得. 书写 表达 由函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减， 则当时，函数单调递增， 则对，有，即， 即或， 即或，分别解得或. 即该不等式解集为. 故答案为：. 题后 反思 函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式 对数不等式解法要点 (1)化为同底logaf(x)＞logag(x)． (2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向． (3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0. （25-26高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）变式1 A． B． C． D． （2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）变式2 A． B． C． D． 题型03比较函数值的大小关系 （25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知，则的大小关系为（     ）典例3 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 已知 结论:比较的大小 思路 探求 利用指数函数与对数函数的单调性分别求出的范围，即得答案. 书写 表达 因为底数 ，所以 在上单调递减， 所以 ，故 ； 因为底数 ，所以 在上单调递减， 所以 ； 因为底数 ，所以 在上单调递增， 所以 ； 因此，大小关系为：. 故选：B 题后 反思 比较指数幂的大小、比较对数式的大小 比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22<log23<log24，即1<log23<2，从而借助中间值比较大小． （25-26高三上·河北·阶段练习）已知，，，则（    ）变式1 A． B． C． D． （2025·广东清远·一模）已知，，，则（    ）变式2 A． B． C． D． （25-26高三上·北京顺义·阶段练习）若，则的大小关系为（    ）变式3 A． B． C． D． 题型04根据对数函数的值域求参数值或范围 （25-26高三上·山东泰安·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．典例4 四步 内容 理解 题意 条件: 结论: 思路 探求 当时，的值域为，从而当时，值域包含，由此可列不等式求解即可. 书写 表达 当时，的值域为， 因为函数的值域为， 所以当时，的值域包含， 所以，所以， 即，解得或， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 题后 反思 根据对数函数的值域求参数值或范围、分段函数的值域或最值 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故通过y＝logaf(x)型函数的值域求参数值或范围必先求定义域，进而确定f(x)的范围，进而求出a的范围． （24-25高三上·河北·阶段练习）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是 .变式1 （25-26高三上·北京·阶段练习）若函数的值域是，则实数取值范围为（   ）变式2 A． B． C． D． 题型05对数函数的单调性 （25-26高三上·安徽·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是（    ）典例5 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 既是偶函数又是上的增函数 结论: 判断函数 思路 探求 根据指数函数的单调性判断A；根据奇偶性的定义判断BD；根据奇偶性的定义及幂函数的单调性判断C. 书写 表达 对于A，当时，为减函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 则函数不是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 且， 所以函数是偶函数， 当时，为增函数，故C正确； 对于D，的定义域为， 且，所以函数不是偶函数，故D错误. 故选：C 题后 反思 判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域． (2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”． （11-12高三上·北京·开学考试）函数的单调递增区间为 ．变式1 （25-26高三上·广东广州·阶段练习）下列函数中，在区间上单调递增的是（   ）变式2 A． B． C． D． （25-26高三上·北京·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）变式3 A． B． C． D． 题型06对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 （25-26高一上·江苏淮安·阶段练习）（1）化简：；典例6 （2）已知（且），求的值； （3）化简：． 四步 内容 理解 题意 条件: （1）化简：； （2）已知（且），求的值； （3）化简：． 结论: 化简、求值 思路 探求 （1）由根式的运算与幂的运算法则计算； （2）由幂的运算法则计算出与后可得； （3）根据对数的运算法则及换底公式计算可得． 书写 表达 （1）； （2）（且）， 则，， 所以； （3）． 题后 反思 对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数幂的运算 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式逆用; (2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用; (3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用,进行计算或化简. （河南省九师联盟2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题）化简求值：变式1 (1) (2) （25-26高一上·河南南阳·期中）（1）求值：；变式2 （2）求值：； （3）已知，求的值. （25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）（1）用根式的形式表示变式3 （2）用分数指数幂表示 （3）求值： 题型07对数函数性质的综合应用 （24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数．典例7 (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 四步 内容 理解 题意 条件: 定义在上的函数 结论: (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 思路 探求 （1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 书写 表达 （1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 题后 反思 由对数函数的单调性解不等式、根据二次函数的最值或值域求参数、对数函数最值与不等式的综合问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)． (2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单． （25-26高二上·云南·阶段练习）已知函数（为常数）是奇函数.变式1 (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. （2025·四川·模拟预测）已知函数．变式2 (1)若函数有最大值为1，求的值； (2)对于，使得，求实数的取值范围． （2025·山西吕梁·模拟预测）已知函数．变式3 (1)若是偶函数，求实数的值； (2)解不等式． 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京大兴·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北·阶段练习）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·四川遂宁·期中）函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·安徽·阶段练习）若为奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山东·阶段练习）下列函数中，满足且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川绵阳·模拟预测）下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·广东广州·阶段练习）若函数，则（   ） A．7 B．6 C．4 D．3 11．（25-26高三上·河北保定·期中），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）求值： . 13．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，且. (1)若的图象过点，解不等式； (2)若，求的取值范围. 14．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 15．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若，解方程； (2)若将的图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求； (3)若，且，解关于的不等式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $