9.1.2 分层随机抽样教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.1.2分层随机抽样 主备人：李瑶丹 审核人：赵寅利 使用时间：2025.5.21 一、核心素养目标 1. 数学抽象：理解分层随机抽样的概念与分层依据。 2. 数学建模：能运用分层抽样解决实际问题，建立统计模型。 3. 数据分析：通过分层抽样数据培养数据处理与推断能力。 二、教学背景 （一）课标要求 1. 理解分层随机抽样的必要性，掌握抽样方法与样本量分配（按比例/非比例）。 2. 体会分层抽样在实际中的应用，能解释抽样结果的合理性。 （二）教材分析 本节教材通过树人中学学生身高的实例，引出分层随机抽样的概念，结合性别差异对总体进行分层，按比例分配样本量，计算样本平均数并估计总体平均数，最后通过与简单随机抽样的对比，说明分层随机抽样的特点。教学过程从问题引入到方法改进，再到实例计算和效果分析，层层递进。本节内容与前文简单随机抽样紧密联系，进一步深化了抽样方法的研究。本节课帮助学生理解分层随机抽样的原理及适用条件，提升数据分析能力，为后续统计推断的学习奠定基础，同时培养学生的逻辑思维和实际问题解决能力。 （三）学情分析 学生在初中已学习过简单随机抽样的概念与方法，具备初步的统计意识和数据分析能力，但对抽样误差及样本代表性理解尚浅。高中阶段的学生思维逐渐向抽象逻辑过渡，具备一定归纳推理能力，但对复杂问题的系统分析仍需引导。本节要求学生理解分层随机抽样的原理与优势，学会利用总体信息改进抽样方法，掌握比例分配的计算与应用。通过学习，学生不仅能提升对抽样方法多样性的认识，还能增强解决实际问题的能力，培养数据处理与决策优化的数学素养，为后续概率统计学习奠定基础。 3、 大单元设计思路 （一）单元主题：随机抽样。 （二）课时规划：共3课时。 第1课时：简单随机抽样第1课时。 第2课时：均值。 第3课时：分层随机抽样。 四、教学重难点 重点：分层随机抽样的概念、比例分配方法及总体平均数的估计计算。 难点：理解分层变量的选择对抽样效果的影响，分析分层随机抽样与简单随机抽样的差异及其适用场景。 五、教学过程 1.复习回顾 1.1简单随机抽样的概念: 设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样. 1.2简单随机抽样的常用方法： ①抽签法； ②随机数表法. 1.3简单随机抽样的总体均值与样本均值 【设计意图】温故而知新，为之后的内容做好铺垫. 2、新课导入 在高一年级的 712 名学生中， 男生有 326 名、女生有 386 名. 现欲了解全体高一年级学生的平均身高，要从中抽取一个容量为50的样本，可以采取简单随机抽样的方式. 问题一：抽样调查最核心的问题是什么？ 问题二：会不会出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？为什么会出现这种“极端样本”？如何避免这种“极端样本”？ 问题三：调查前我们无法获知学生的身高数据，显然也就无法根据身高对总体进行分类.能不能通过其他指标或信息对学生进行分类，使得同类的学生身高差异尽量小呢？高一阶段，影响学生身高的主要因素是什么呢？ 【设计意图】该引例既可以回顾上节课的内容，又可以引出新知识. 将身高相差不多的学生放在一个类中，从中随机抽取一些个体，也可以较准确地了解该类的身高信息．高一女生群体与男生群体的身高差别较为明显，所以可分成男生和女生两个群体. 引例（改进方案） 在高一年级的 712 名学生中， 男生有 326 名、女生有 386 名. 现欲了解全体高一年级学生的平均身高，要从中抽取一个容量为50的样本. 可以采取分层随机抽样. 3、形成概念 知识点1、分层随机抽样 1.分层随机抽样的定义 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层. 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 2.分层随机抽样的特点 分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况。 比例分配的分层随机抽样是等可能抽样，如果层数分为 2层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本数分别m和n。 3.分层随机抽样的步骤： ①将总体分成互不交叉的层. ②计算样本容量与总体的个体数之比，按比例确定各层要抽取的个体数 ③各层分别按简单随机抽样方法抽取. ④综合每层抽样，组成样本. 例1、某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程． 解析：抽样过程如下： 第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝. 第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)． 第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人． 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本． 【变式】 下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本 C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 【解析】B　[A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．] 【归纳总结】分层随机抽样的步骤 知识点2　分层随机抽样的平均数 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别m和n. 我们用X1, X2, …, XM表示第1层各个个体的变量值，用x1, x2, …, xm表示第1层被抽取样本的各个个体的变量值；用Y1, Y2, …, YN表示第2层各个个体的变量值,用y1, y2, …, yn表示第2层被抽取样本的各个个体的变量值，这样： 第1层的总体平均数和样本平均数分别为 第2层的总体平均数和样本平均数分别为 总体平均数和样本平均数分别为 4、分层任务设计 基础层（概念理解）对比简单随机抽样，用生活实例说明分层抽样的优点。 进阶层（方法应用）：假设某学校高一400人、高二300人、高三300人，用按比例分层抽样抽取100人样本，计算各年级抽样人数。 拓展层（综合探究）：若调查某地区居民收入水平，除按年龄分层外，还可增加哪些分层维度？非比例抽样在何种情况下适用？ 5、 归纳总结 (1)进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系： ①＝； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比. (2)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为： 设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容. 6、 教学反思： 本节课以调查年级学生视力、不同收入群体消费习惯等实例引入分层抽样概念，通过对比简单随机抽样，学生能理解“按特征分层再抽样”的合理性，但在确定分层标准（如比例、差异程度）时存在主观随意性。 教学中分组完成“班级学生身高分层抽样”实践活动效果较好，但对“分层抽样方差更小”的理论分析不够直观，部分学生难以理解为何分层能提升样本代表性。课后作业显示，学生在计算分层抽样样本量时，易混淆“按比例分配”与“非比例分配”的适用场景。 改进方向：增加不同分层方式下的抽样误差对比实验，用数据可视化展示分层效果；设计“不合理分层案例”辨析环节（如调查年龄时按姓氏分层）；下次课结合高考录取分数线分层统计案例，强化分层逻辑与实际应用的联系。 学科网（北京）股份有限公司 $