专题05 指数函数与对数函数（讲义）-2026版陕西省（职教单招）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及陕西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版陕西省职教单招二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为指数函数与对数函数。 2026版陕西省职教单招 二轮复习《数学考纲专题练》 专题05 指数函数与对数函数 · 一、课标解读 · 了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质。 · 了解幂函数、指数函数、对数函数的概念，并能进行幂、指、对进行比较大小。 · 掌握指数函数、对数函数的图象和性质，并会解简单的运算。 · 了解指数函数和对数函数在实际问题中的简单应用。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 9 已知单调性求参数 5 陕西职教单招真题中，指数函数与对数函数考查呈现以下特点： （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：几乎每年都有涉及，分值一般在10分左右。 （3）内容：主要考查与函数有关的单调性求参问题，以及比较大小问题难度中等。 选择题 11 指、对、幂比较大小 5 2022 选择题 4 已知单调性求参数 5 选择题 11 指、对、幂比较大小 5 2021 选择题 15 已知单调性求参数 5 选择题 11 指、对、幂比较大小 5 三、考点预测 预估2026年陕西省职教单招考试有2道选择题考查，考查“指数函数、对数函数的单调性”，共10分。 具体考点： · 已知函数单调性求参数。 · 指、对、幂比较大小。 四、知识梳理 知识点一指数函数 指数的核心是 “幂运算”，需区分整数指数、分数指数、无理数指数的定义，明确幂的运算规律。 1. 基本概念 (1)指数的定义 ， ， ， (2)指数幂的运算规则 运算类型 公式 同底数幂相乘 同底数幂相除 幂的乘方 积的乘方 商的乘方 说明：指数幂运算规则的适用范围：同底数幂相乘、相除，幂的乘方，积的乘方这些运算规则，要求只有在这样的范围内，这些运算规则才能保证结果的确定性和合理性 2.指数函数的定义 形如的函数称为指数函数 指数函数的图像与性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 说明：在指数函数的使用中，有以下注意事项： 知识点二对数函数 1.对数的定义 若其中），则称b为 “以a为底N的对数”，记作： 其中：称为对数的底数； N称为对数的真数； 核心关系：。 2.常见对数类型 常用对数：底数为10，； 自然对数：底数为无理数，； 一般对数：底数为， 3.对数函数的定义 称为对数函数； 与指数函数的关系：互为反函数，图像关于直线对称。 4.对数的运算规则 积的对数 商的对数 幂的对数 换底公式 倒数关系 说明：对数运算规则的注意事项 1、积、商、幂的对数运算规则成立的前提是。如果真数是负数或0，这些运算规则不成立，应用时需先判断真数的正负。 2、换底公式是对数运算中实现底数转换的重要工具，使用时要注意b的取值范围。 3、倒数关系是换底公式的推论，应用时同样要满足 5.对数函数的图像与性质 对数函数的性质由底数a决定，且与指数函数（同底数）互为反函数，图像关于对称，具体对比如下： 定义 函数 y＝ (a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 说明：1、对数函数的定义域是，值域是，因此在研究对数函数的性质、解对数方程或不等式时，要注意自变量的取值范围必须大于0。 2、对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线对称，可利用这一关系从指数函数的性质推导对数函数的性质，或通过图像的对称性分析两者的联系。 知识点三、幂函数 一、定义 二、常见幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0) 上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在 [0，＋∞) 上单调递增 在 (－∞，0)和 (0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1)　 五、10分钟小测验 1.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.设，则的大小关系是(    ) A. B. C. D. 3.函数在区间上的最小值是(    ) A. B. C. D. 4.指数函数，在上是减函数，则函数在上的单调性为(    ) A. 单调递增 B. 在上递减，在上递增 C. 单调递减 D. 在上递增，在上递减 5.函数在上的最大值与最小值的和为，则等于(    ) A. B. C. D. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选： 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查比较数的大小，属于基础题． 根据指数函数单调性和对数函数性质判断即可． 【解答】 解：由在区间是单调增函数可知，  ， 又因为， 所以． 故选B． 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了指数函数的最值，关键判断该指数函数在该区间的单调性． 结合指数函数的单调性，计算最小值，即可求解． 【解答】 解：结合指数函数在区间上单调递减， 即当，取到最小值为， 故选B． 4.【答案】C  【解析】【分析】 此题考查指数函数的单调性，属于基础题． 根据指数函数的单调性进行求解即可． 【解答】 解：指数函数在上是减函数， ， ， 在上是减函数， 故选C． 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查指数函数性质，属基础题目． 根据指数函数的单调性即可得，从而得的值． 【解答】 解：根据题意，由的单调性，可知其在上是单调函数， 即当和时，函数取得最值，即， 又，则，即． 故选B． 故选：． 六、经典例题解析 （一）判断函数的单调性 【例1】（2023·陕西对口升学高考）设，，则当时，下列结论正确的是（ ） A. 是减函数，是增函数 B. 是增函数，是减函数 C. 与均为减函数 D. 与均为增函数 综上，答案选B。 考点小结：检验对两类函数单调性与底数关系的直接应用能力，需快速锁定底数范围并判定单调性。 （二）已知函数单调性，求参数 【例2】（2022·陕西对口升学高考）假设函数在其定义域上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例3】（2021·陕西对口升学高考）若是增函数，则的取值范围是______。 【解析】： 考点小结：：结合指数函数、对数函数的定义与单调性，建立参数不等式组求解。先满足函数定义的底数要求，再根据单调性列出底数的范围不等式，联立求解参数取值区间。 （三）指、对、幂比较大小 【例1】（2023·陕西对口升学高考） 设，，，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】：要比较的大小，需先将它们用对数形式表示出来，再根据对数函数的单调性分析。 对于，根据对数的定义，可得。因为对数函数上单调递增，且，所以。 对于，两边取以3为底的对数，可得同理，所以 对于可得（根据对数的换底公式。因为所以。 综上，，答案选D。 故选：D 【例2】（2022·陕西对口升学高考）设，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 解析：要比较，需分别分析每个函数在区间内的取值范围。 分析： 答案选A。 【例3】（2021·陕西对口升学高考） 考点小结：指数、对数、幂函数的性质，以及中间值法、同底数转化、换底公式的应用。常用 0、1 作为中间值划分各数取值范围；通过指数与对数的互化、换底公式，将不同底数或不同类型的函数值转化为同底数形式，再利用单调性比较；幂函数需结合定义域和单调性分析取值。 七、专题归纳小结 一、核心内容梳理 1、指数相关：含整数、分数、无理数指数幂的定义与运算规则，指数函数的图象和性质，核心是底数a决定单调性。 2、对数相关：对数的定义（与指数互为逆运算）、运算规则（积商幂对数、换底公式等），对数函数的图象和性质，定义域为，单调性同样由底数a决定。 3、幂函数：形如，定义域和单调性随取值变化，， 二、解题策略与方法 1. 单调性判定与参数求解 指数 / 对数函数：先明确底数的范围，再根据。 判断单调性；已知单调性求参数时，列不等式组锁定底数范围。 幂函数：根据\(α\)的正负性直接判断上的单调性，再结合定义域拓展到其他区间。 2. 大小比较技巧 中间值法：引入0、1等中间值，先判断各数与中间值的大小关系，缩小比较范围。 同底数转化：利用指数、对数的运算规则，将不同底数的数转化为同底数，再借助单调性比较。 换底公式：对数比较中，通过换底公式统一底数（常用10或e），简化计算。 3. 运算类问题解法 指数运算：遵循 “同底数幂相乘 / 除、幂的乘方、积的乘方” 规则，先统一底数再计算。 对数运算：牢记真数大于0的前提，灵活运用积、商、幂的对数公式，复杂问题优先用换底公式转化。 三、易错点与避坑指南 1、定义域遗漏：对数函数真数必须大于0，指数函数中0的0次幂无意义，幂函数中负指数底数不能为0，解题时先明确定义域。 2、底数判断失误：混淆指数、对数函数的单调性与底数的关系，尤其是含参数时未讨论底数范围。 3、运算规则误用：对数运算中误将 拆分为，或忽略换底公式中底数的要求。 4、大小比较逻辑混乱：未借助中间值或同底数转化，直接盲目比较不同类型函数值（如指数、对数、幂函数值）。 四、复习建议 1、先掌握指数 / 对数函数单调性判断、简单大小比较（如借助 0/1 中间值），确保基础题不丢分； 2、重点练习 “已知单调性求参数”“复杂指对幂比较（需换底公式 / 同底数转化）”，这类题型是拉开分差的关键； 3、幂函数的定义域、奇偶性可适当兼顾，以基础性质理解为主，无需过度深挖难题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $