精品解析：江西省南昌市东湖区南昌中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区期中考试 高二数学 考试时间：150分钟；命题人：杨平涛；审题人：胡安居 一、单选题（共40分） 1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 2. 椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程可得参数的值，进而求出的值，根据椭圆的定义求焦点三角形的周长. 【详解】由椭圆可得，所以， 故的周长为. 故选：. 3. 与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系可得，再根据椭圆的定义可得动圆圆心的轨迹. 【详解】设动圆的圆心为，半径为，圆，圆， 则，. 又，所以点在以为焦点的椭圆上． 故选：A． 4. 国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场，也是2022年北京冬季奥运会开幕式、闭幕式举办地.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的短轴长为，则大椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率的公式以及的关系求解. 【详解】设小椭圆的短轴为，长轴为，大椭圆的短轴为，长轴为， 所以有，所以， 则有，所以小椭圆的离心率， 依题意可知，大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率， 所以，且，， 所以解得所以大椭圆的长轴长为， 故选：A. 5. 在平面直角坐标系中，曲线：的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程可判断曲线的对称性，再研究第一象限的线段，根据对称性即可求得周长. 【详解】在曲线的方程中，令用或用代换，曲线方程都没有变， 所以曲线关于轴，轴对称，原点对称， 当，时，曲线的方程为，表示以和为顶点的线段， 其长度为，根据对称性知，其他三条线段的长也为2， 所以曲线：的周长为. 故选：C. 6. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 8. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果. 【详解】由题意可知的蒙日圆方程为， 因为圆与圆仅有一个公共点， 所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值， 所以或， 由此解得， 故选：B. 二、多选题（共18分） 9. （多选）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解. 【详解】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误， 对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确， 对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误， 对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D正确， 故选：BD. 10. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C. 若，则为椭圆 D. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，当时，方程为表示焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得，焦距为，故B错误； 对于C，由A知，表示圆，故C错误； 对于D，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故D正确. 故选：AD. 11. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（共15分） 12. 过点和点的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用截距式方程即可求解. 【详解】过点和点的直线方程为， 化简可得：. 故答案为: 13. 过点作圆的切线，则的方程为_____ 【答案】或 【解析】 【分析】求出圆心及半径，再按直线是否垂直于轴分类求出切线方程. 【详解】圆的圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，则的方程可以为， 当切线斜率存在时，设其方程为，即， 则，解得，的方程为， 所以所求方程为或. 故答案为：或 14. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的弦长公式，由求解. 【详解】∵点F到渐近线的距离为b， ∴，即， 所以． 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知直线与直线的交点为. （1）直线经过，且与直线垂直，求直线的一般式方程； （2）直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1） 联立方程组，求出直线的交点坐标，根据直线垂直的性质，求出直线斜率，进而根据点斜式方程，求出一般式方程； （2）分截距是否为，结合直线截距式方程的性质，列出方程，求出结果. 【小问1详解】 联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且直线经过点，，所以， 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. 【小问1详解】 当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； 【小问2详解】 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 17. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 （1）求曲线的方程． （2）过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点和，利用中点公式，求得，代入圆的方程，即可求得曲线的方程； （2）根据题意，得到四点共圆，求得该圆的方程，再由直线是两圆公共弦所在直线，结合圆与圆的位置关系，即可求解. 【小问1详解】 解：设点，线段的中点为， 可得，所以，即点， 因为点在圆上，所以， 化简得，所以曲线的方程为． 【小问2详解】 解：如图所示，因为 所以四点共圆，且圆心为的中点，半径为， 即圆的方程为，  可得直线是两圆公共弦所在直线， 由，两式相减得， 所以直线所在的直线为． 18. 在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1）且，曲线是不含长轴端点的椭圆 （2）或 【解析】 【分析】（1）首先设，然后直接根据坐标表示条件，化简整理即可得到轨迹方程； （2）首先根据已知条件求解及的值，然后分别求解直线及的方程，最后根据联立方程求解点的坐标. 【小问1详解】 设，又， 则由题意得． 化简得且， 所以曲线的方程为且，曲线是不含长轴端点的椭圆． 【小问2详解】 由题意，得解得或 若则直线的方程为①，直线的方程为②． 由①②可得即． 若则直线的方程为③，直线的方程为④． 由③④可得即． 综上，点的坐标为或． 19. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. 已知椭圆:. （1）若椭圆:，试判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由. （2）写出与椭圆相似，且短半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程. 若在椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围. 【答案】（1）椭圆和相似，且相似比为； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆与的“特征三角形”的边长，再判断并求出相似比. （2）由（1）求出椭圆的方程，设出直线的方程，并与的方程联立，利用韦达定理及判别式求解即得. 【小问1详解】 椭圆与相似. 如图，在同一平面直角坐标系中作出椭圆，， 椭圆的“特征三角形”是腰长为4，底边长为的等腰三角形， 而椭圆的“特征三角形”是腰长为2，底边长为的等腰三角形， 因此椭圆与椭圆的“特征三角形”的三边对应成比例，即两个“特征三角形”相似，且相似比为， 所以椭圆和相似，且相似比为. 【小问2详解】 椭圆的“特征三角形”是等腰三角形，其腰长为长半轴长，底边长为焦距， 由椭圆与椭圆相似及（1）得，即，而椭圆的短半轴长为， 则，解得，， 所以椭圆的标准方程为， 设直线的方程为，，线段的中点为， 由消去并整理得， 则，即，，， 由的中点在直线上，得，解得， 因此，而，解得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区期中考试 高二数学 考试时间：150分钟；命题人：杨平涛；审题人：胡安居 一、单选题（共40分） 1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 2. 椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 3. 与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 4. 国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场，也是2022年北京冬季奥运会开幕式、闭幕式举办地.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的短轴长为，则大椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，曲线：的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（ ） A. B. C. D. 8. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. （多选）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A. B. C. D. 10. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C. 若，则为椭圆 D. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 11. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 三、填空题（共15分） 12. 过点和点的直线方程为__________. 13. 过点作圆的切线，则的方程为_____ 14. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 四、解答题（共77分） 15. 已知直线与直线的交点为. （1）直线经过，且与直线垂直，求直线的一般式方程； （2）直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 17. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 （1）求曲线的方程． （2）过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． 18. 在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若，求点的坐标． 19. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. 已知椭圆:. （1）若椭圆:，试判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由. （2）写出与椭圆相似，且短半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程. 若在椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $