对数与对数函数知识点与题型总结讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

对数与对数函数知识点与题型总结讲义 对数与对数函数知识点与题型总结讲义 考点目录 对数的定义 对数的运算 对数函数的定义与解析式 对数函数的图像与性质 以对数函数为背景的定义域问题 以对数函数为背景的值域问题 以对数函数为背景的单调性问题 以对数函数为背景的奇偶性问题 以对数函数为背景的定点问题 对数函数的实际应用 对数函数的综合应用 考点一 对数的定义 【知识点解析】 1.对数的定义 一般地，如果,那么叫做以为底的对数，记作. 2.两个特殊的对数 （1）以为底的对数叫做常用对数，记作. （2）以为底的对数叫做自然对数，记作. 3.两个对数定值 （1）. （2）. 4.指数式和对数式的互化. （1）由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数； （2）由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数. 【例题分析】 考向一 指数与对数的转化 例1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 变式1．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 考向二 解对数方程 例1．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 变式1．（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【详解】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 变式2．（24-25高一下·福建泉州·开学考试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【详解】（1）因为，所以，解得或. （2）因为，所以，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，所以. （3）因为，所以，所以，故． 考点二 对数的运算 【知识点解析】 对数运算法则：如若，则 （1）. （2）. （3）换底公式：. （4），特殊的，，. （5）. （6）简写与特殊值：，，，. 【例题分析】 例1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知，，用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ； （2）； （3） . 例2．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）由对数的运算性质，可得； （2）由指数幂与对数的运算性质，可得： 原式. 例3．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2）16；（3） 【详解】（1）原式 ． （2）由于，， ， 因此原式． （3）由条件． 由，得， 所以，化简得 所以， 得或（舍去），从而可得． 例4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)17. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）. 变式1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)8 (3) 【详解】（1） ． （2） ． （3） . 变式2．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） . （2） . （3）由，得， 由，得， 所以 ． 变式3．（25-26高一上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）由，则，即， ，又，则，故， 故. （3）因为，，所以，， 所以. 变式4．（24-25高一上·山西运城·阶段练习）求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 考点三 对数函数的定义与解析式 【知识点解析】 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 2．对数函数的结构特征 （1）对数符号前面的系数是1； （2）对数的底数是大于0且不等于1的正实数（常数）； （3）对数的真数仅有． 【例题分析】 例1．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由对数函数的概念得，解得或， 由，得，即在单调递减， 则，所以． 故选：B. 例2．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 变式1．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 变式2．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 考点四 对数函数的图像与性质 【知识点解析】 1.对数函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 值域 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 无 对称性 无 周期性 无 定点 2. 函数的底数变化对图象位置的影响 (1)上下比较：在直线的右侧，时，越大，图象向右越靠近x轴，时，越大，图象向右越靠近先x轴． (2)左右比较：比较图象与的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的真数越大． 3.函数图像的对称与对称变换 (1) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (2) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (3) 函数图像关于原点对称得函数的图像. (4) 函数图像向左平移个单位得函数的图像. (5) 函数图像向右平移个单位得函数的图像. (6) 函数图像向上平移个单位得函数的图像. (7) 函数图像向下平移个单位得函数的图像. (8) 函数的图像代表将函数在轴下方的图像翻折到轴上方，轴上方的图像不变. (9) 函数的图像代表将函数在轴右方的图像翻折到轴左方，轴右方的图像不变. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）函数的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，可得，解得， 即函数的定义域为，可得排除C、D选项； 又由，可排除A选项，所以B选项符合题意. 故选：B. 例2．（25-26高三上·北京·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标加1（纵坐标不变） C．纵坐标减1（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】C 【详解】因为函数，由函数图像的平移变换可知为了得到函数的图像，只需把函数图象上所有点的纵坐标减1（横坐标不变）. 故选：C 例3．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知对，（，且）均有意义，则函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【详解】由题意知，即对恒成立． 当时，； 当时，，又， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 设，则， 所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 且当时，单调递增． 故选：B． 例4．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知且，则函数的图象必经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【详解】当时，函数的图象经过第一、二、四象限； 当时，函数的图象经过第一、二、三象限， 综上可知，函数的图象必经过第一、二象限． 故选：A． 变式1．（25-26高三上·北京·开学考试）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（　　） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】因为即为， 故只需把函数的图象上所有的点向上平移1个单位长度即可，故A对B错； 对于C，把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，故C错误； 对于D，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，故D错误； 故选：A. 变式2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 故选：D. 变式3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 变式4．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 考点五 以对数函数为背景的定义域问题 【知识点解析】 1.已知解析式求定义域 当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有： (1)分式的分母不为； (2)偶次根式的被开方数为非负数； (3)要求； (4)对数的真数为正数； (5)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合； (6)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求． 2.抽象函数的定义域 (1)对于、这两个函数中，的和的的取值范围相同； (2)已知的定义域为，求的定义域，其实质是由，求出的取值范围； (3)已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围； (4) 已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围，再由的取值范围为，得到，求出的取值范围. 3.解对数不等式 （1）将不等式的两边化成同底的对数式. （2）利用对数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·甘肃·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 例2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：A 例3．（25-26高三上·北京房山·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【详解】要使有意义， 需， 解得：. 故答案为： 例4．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】由对数的性质知， 所以函数定义域为. 故答案为： 变式1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，得且． 即函数的定义域为， 故选：D 变式2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，所以，即，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B 变式3．（25-26高三上·上海·期中）函数的定义域为 【答案】 【详解】由题，可得，等价于，解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 变式4．（25-26高三上·北京·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为函数， 所以，可得， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 考点六 以对数函数为背景的值域问题 【知识点解析】 1.求值域的常见方法 （1）单调性法 （2）配方法 （3）换元法 （4）分离常数法 （5）基本不等式法 （6）判别式法 2.常见以对数函数为背景的值域问题 求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围． 【例题分析】 考向一 求对数函数在指定区间内的最值 例1．（24-25高一上·广东潮州·阶段练习）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 例2．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上单调递增，所以， 在上单调递增，所以， 因为，， 所以函数的值域是. 故选：A 变式1．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【详解】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 变式2．（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 【答案】 【详解】∵，∴，即， 即，则函数的值域为. 故答案为： 考向二 求对数型复合函数的最值 例1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 例2．（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 例3．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）已知函数，在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，，令，则. 所以原函数转化为,又对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为， 所以所求函数的值域为，    故选：A． 例4．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 又在上单调递增， 所以， 故函数的值域为． 故选：B． 变式1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）函数的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题设，且， 令，则， 当，即时，. 故答案为： 变式2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 变式3．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令， 又， 则， 易知在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 变式4．（24-25高三上·上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为 . 【答案】 【详解】， 因为，所以，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 考向三 已知对数函数的值域求参数 例1．（2025·浙江·三模）“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，因为，所以函数的定义域为， 故，所以函数的值域为R， 即“”是“函数的值域为R”的充分条件； 若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含， 即，解得或， 即“”不是“函数的值域为R”的必要条件， 综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件， 故选：A. 例2．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 例3．（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数， 当时，单调递增，所以值域为， 要使得分段函数的值域为， 则当时，的取值包含的每一个取值， 所以，解得， 故选：D 变式1．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为2， 由在上单调递增，值域为， 所以要使有最小值，则有，即，则， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 故答案为： 变式2．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知函数（，且）的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，函数单调递增，值域为； 函数单调递增，值域为， 由值域为R可得， 则，得； 当时，函数单调递减，值域为； 函数单调递减，值域为， 则， 则 综上，的取值范围是. 故答案为： 变式3．（25-26高三上·山东泰安·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【详解】当时，的值域为， 因为函数的值域为， 所以当时，的值域包含， 所以，所以， 即，解得或， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 考点七 以对数函数为背景的单调性问题 【知识点解析】 1.函数的单调性的应用： （1）利用对数函数的单调性比较大小 ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较. ②若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. ③若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ④若底数与真数都不同，则常借助“0”、“1”等中间量进行比较. （2）利用对数函数的单调性解不等式 ①将不等式的两边化成同底的对数式. ②利用对数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 2.复合函数的单调性：同增异减. 【例题分析】 考向一 判断对数函数型复合函数的单调性 例1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 例2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 变式1．（25-26高三上·山西太原·月考）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 变式2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 故选：B 考向二 利用对数函数的单调性比较大小 例1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设，则的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由指数函数与对数函数的性质，可得，所以. 故选：A. 例2．（25-26高三上·江西赣州·期中）若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 例3．（25-26高三上·河北·月考）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，，故. 又，所以. 故选：A 例4．（25-26高二上·湖南·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 变式1．（25-26高三上·湖南·阶段练习）若，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据对数函数的单调性可知：， ，， 根据指数函数的单调性可知：， 所以有， 故选：D. 变式2．（25-26高三上·北京朝阳·期中）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为在定义域上单调递减，所以， 所以， 又，， 所以，故D正确. 故选：D 变式3．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为底数 ，所以 在上单调递减， 所以 ，故 ； 因为底数 ，所以 在上单调递减， 所以 ； 因为底数 ，所以 在上单调递增， 所以 ； 因此，大小关系为：. 故选：B 变式4．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】，则. 因为，则 故选：A. 考向三 利用对数函数的单调性解不等式 例1．（25-26高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由得，且， 解得， 所以不等式的解集为 故答案为：． 例2．（25-26高三上·上海普陀·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由，得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 变式1．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数，则不等式的解集 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式， 则，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 变式2．（25-26高三上·浙江·开学考试）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不等式， 所以，所以， 不等式的解集为. 故答案为：. 考点八 以对数函数为背景的奇偶性问题 【知识点解析】 1. 奇偶性的定义 （1）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数． （1）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数． 2. 具有奇偶性的函数的图像特征 （1）若函数是偶函数，则函数的图像关于轴对称. （2）若函数是奇函数，则函数的图像关于原点对称. 3. 判断奇偶性的步骤 （1）证明函数的定义域的对称性. （2）求的解析式，与进行比较，进而下结论. 4. 利用奇偶性求解析式 已知函数为定义在上的偶(奇)函数，当时，函数，当时，求解析式. （1）设，则. （2）将代入时的解析式，得. （3）若函数为偶函数，则当时，. 若函数为奇函数，则当时，. 5. 利用奇偶性求参数 （1）若已知函数为上的偶函数，则令，解方程可求参数. （2）若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. （3）若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. （核心就是在定义域内进行赋值，并不一定得赋值“0”或“1”） 【例题分析】 例1．（2025高二下·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【详解】因，则，即定义域关于原点对称， 又令，则为偶函数. 又， 当，， 在上单调递增，又在上单调递增，则在上单调递增. 故选：A 例2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知为奇函数，则a的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】已知为奇函数，则. 先求， 因为，所以， 即， 两边同时减去可得：， 根据对数的运算法则， 则，所以， 交叉相乘可得：，化简得， 即，那么，所以，解得. 当时，，无意义，舍去. 当时，，此时函数有意义，所以. 故选：D. 例3．（2024·广东湛江·一模）若函数为奇函数，则 【答案】/ 【详解】由于函数的定义域满足 ，故定义域为 ， 根据奇函数的定义域关于原点对称可知 ， ∴ ， ， ∴ ， 故 ， 故答案为： ． 例4．（24-25高三上·广东梅州·阶段练习）设奇函数，则使的的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，则， 即，整理可得， 则，可得，解得， 所以符合题意. 不等式，即，整理得，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 变式1．（24-25高二下·北京朝阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 【答案】C 【详解】当时，，令，则，， 因此当时，，由函数是上的奇函数，， 得，则，解得， 所以. 故选：C 变式2．（25-26高三上·北京房山·阶段练习）① ；②函数是奇函数，则 ． 【答案】 / 【详解】； 设，则该函数的定义域为， 因为为奇函数，故，故， 此时， 故，故当时，为奇函数， 综上所述：. 故答案为：6；. 变式3．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由对数函数和一次函数的单调性可得是上的增函数， 且， 所以当时，的解集为， 所以当时，不等式的解集为：. 又因为是奇函数，易知是偶函数， 所以当时，不等式的解集为：. 故不等式的解集为：. 故答案为： 变式4．（2025·上海虹口·模拟预测）设，若函数为奇函数，则 . 【答案】 【详解】由可得，又因为为奇函数， 由定义域关于原点对称，可知， 即当时，无意义，即，解得， 又，可得，所以， 故经检验满足题意，所以. 故答案为：. 考点九 以对数函数为背景的定点问题 【知识点解析】 对数函数定点问题的处理思路：令真数为“1”. 【例题分析】 例1．（22-23高三上·江西九江·阶段练习）函数过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于函数恒过点，令，则，， 故函数恒过定点， 故选：C. 例2．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数，且)的图象经过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以过的定点的坐标为． 故选：B. 例3．（24-25高二下·河南商丘·期末）若函数，且的图象过定点，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】令，则， 又，所以的图象过定点． 例4．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】12 【详解】当时， 所以函数的图象过定点， 所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为：12 变式1．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数图象过定点 ． 【答案】 【详解】函数中，当时，恒有， 所以函数图象过定点. 故答案为： 故答案为：. 变式2．（25-26高三上·河南·开学考试）对，且的图象过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】由题意，当时， ， 所以图象过定点， 故答案为： 变式3．（24-25高一上·天津河东·阶段练习）函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，当，即时，恒有， 所以A点的坐标为. 故选：C 变式4．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【详解】对于对数函数，当时，（且）. 对于指数函数，当时，（且）. 所以当时，. 即函数的图象恒过定点，所以，. 已知，把，代入可得. 将进行变形，. 展开式子得. 因为，，根据均值不等式，有. 则.当且仅当时等号成立. 故选：C 考点十 对数函数的实际应用 【知识点解析】 1.函数实际应用问题的解题步骤 （1）审题：明确变量，判断函数类型 （2）建模：设函数解析式，代入数据求参数 （3）求解：利用确定的函数模型，解决具体问题 （4）验证：结合实际意义，判断结果合理性 2.实际应用的常见模型 （1）周长、面积、体积问题：核心表示出边长. （2）工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. （3）行程问题：核心表示出路程、速度、时间. （4）销售问题：核心表示出单价、数量、总价. （5）利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） （6）增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. 3.对数方程的求解 对于对数方程，则左右两边同时取的指数，得，化简可得方程得解.（核心是将对数转化为指数，进一步利用指数的运算法则进行求解） 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河北·月考）地震时释放出的能量（单位：尔格，1尔格焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若第一次地震的里氏震级比第二次高4级，则第一次地震释放出的能量是第二次的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【详解】设第一次和第二次地震的里氏震级分别为、，释放的能量分别为、，由题意得， 则，所以， 即第一次地震释放出的能量是第二次的倍. 故选：C. 例2．（25-26高三上·北京·阶段练习）在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，且， 则，故C正确. 故选：C. 例3．（24-25高三上·四川内江·阶段练习）某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型推导出函数关系为，k为正的常数，其中物体原来的温度和环境温度为、（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟）.现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，当时，则这壶开水冷却到40℃大约需要 分钟（参考数据：） 【答案】28 【详解】由题意可知. 故答案为：28. 例4．（23-24高一上·上海奉贤·期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的 倍. 【答案】100 【分析】根据题意结合对数运算可得答案. 【详解】由题意可得：，解得， 所以. 故答案为：100. 例5．（24-25高二下·浙江温州·期中）科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？ (2)若雄性候鸟的飞行速度为，雌性候鸟的飞行速度为，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 【答案】(1)． (2)9倍． 【详解】（1）将代入函数式可得：， 故此时候鸟飞行速度为． （2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为， 依题意可得：，两式相减可得：，于是． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍； 变式1．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）我们都处于有声世界之中.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，音量的定义是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则时的声音强度是时声音强度的（   ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 【答案】D 【详解】由，得，所以， 即时的声音强度是时声音强度的100倍. 故选：D 变式2．（25-26高三上·北京房山·开学考试）生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（   ） A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟 【答案】A 【详解】由题意可知，，解得， 若一只小狗的体重为克，则 ， 即， ， 比较选项，，， 所以最接近的脉搏率， 故选：A. 变式3．（2025高二下·湖南·学业考试）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则 ． 【答案】9 【详解】依题意，，则，解得， ，则，解得， 所以. 故答案为：9 变式4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH来表示溶液的酸碱度pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔／升，则该溶液的pH约为 （结果保留2位小数，参考数据：） 【答案】 【详解】易知 . 故答案为： 变式5．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 【答案】(1) (2)司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以. （2）因为，将代入， 得， 所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 考点十一 对数函数的综合应用 【例题分析】 例1．（25-26高一上·上海浦东·期中）已知函数的图象经过点和，幂函数过点. (1)求和的值及的解析式； (2)解关于的方程. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意得，，，得， 设幂函数，则，得，，故； （2）由（1）知，，， 则化为， 则， 因在上单调递增，则，即， 得或（舍），得. 例2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知，，即，解得： 所以， （2）由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 （3）由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 例3．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在上是严格增函数． (1)求的值； (2)设，求在上的最小值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值是 (3) 【详解】（1）因为为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. （2） 令，而函数在单调递增， 所以在单调递减，所以函数在单调递减， 又是增函数，根据复合函数单调性可知在单调递减， 所以当时，取得最小值. （3）令，因为，所以， 则不等式即，所以，， 所以， 又的对称轴为， 所以当时，取得最小值， 所以的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·山东济南·阶段练习）已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 【答案】(1) (2) (3) 函数的值域是；单调递增区间是，单调递减区间是. 【详解】（1）， 若函数是偶函数，所以， 所以， 即，则， 即，得，得； （2）， 所以不等式为， 所以， ，得， ，得，即， 得，即， 综上可知； 所以不等式的解集为； （3），得，得， 函数的对称轴是，最大值为2， ，，，所以， 根据复合函数的单调性可知，单调递增区间是，单调递减区间是， 函数的值域是. 变式2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【答案】(1) (2)偶函数 (3)单调递减，证明见解析 【详解】（1）由题意得，，解得， 所以函数的定义域为. （2）由， 则，故函数为偶函数. （3）由，则， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则，即， 所以函数在上单调递减. 变式3．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)或 【详解】（1）由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 课后提升训练 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且大于零恒成立， 则，解得. 故选：B. 2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，解得，故. 故选：B. 4．（24-25高二下·江西萍乡·期末）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，所以， 当，对数没有意义， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：B． 5．（24-25高一上·四川泸州·期末）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数，在上单调递减，因为，所以，故A错误； 对于B， ，，所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，函数，在上单调递增，， ，所以，故D错误； 故选：C. 6．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过7小时才能驾驶. 故选：D. 7．（24-25高二下·江西赣州·期末·多选）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AD 【详解】由题可知为复合函数，其中对数函数的底数，对数函数单调递减，令. 对于A 选项，当时，，的定义域为，根据复合函数的单调性可知，只需求 的减区间即可，的单调递减区间为，的增区间为，故A正确. 对于B 选项，当时，，此时的定义域为，此时，的最小值为，即内层函数可取，即，的值域为，故B错误. 对于C 选项，的值域为,只需要内层函数能取到所有的正实数，即判别式，解得，故C错误. 对于D 选项，内层函数关于直线对称，而函数的图象是由经过对数变换得到的，的图象形状由决定，即函数的图象关于直线对称（也可验证是否成立），故D正确. 故选：AD. 8．（24-25高一下·内蒙古·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图象是轴对称图形 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 【答案】ABD 【详解】函数的定义域为，故的图象关于直线对称，A正确； 当在上单调递增，且在其定义域内单调递增，B正确； 当时，，故的值域为，C错误； 令，则，易得有两个解，这两个解均在上，D正确． 故选：ABD. 9．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知指数函数且经过点，则 【答案】 【详解】由题设且，，可得， 所以. 故答案为： 10．（24-25高二下·江西九江·期末） ． 【答案】/ 【详解】， 故答案为： 11．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数为奇函数不为偶函数，则实数的值是 【答案】 【详解】由为奇函数，所以可得， 则 ， 即， 化简整理得， 所以得，即， 当时，为常函数， 此时既是奇函数又是偶函数，故不符合题意， 当时，， 由对数函数的定义域得且， 解得，关于原点对称，经检验符合题意. 综上所述：故实数的值为. 故答案为：. 12．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） 13．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 14．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）当时，函数，则， 函数定义域为， ， 所以函数是偶函数. （2）当时，，不等式， 则，由得或，由得，因此， 所以原不等式的解集为. （3）当时，，方程， 即，函数，在上都单调递增， 因此函数在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以实数的取值范围是． 15．（24-25高一下·湖南·期末）已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）把点带入解析式可得：，解得，， 故的解析式为. （2）函数有且只有一个零点方程有且只有一个零点， 因为，且的定义域为，所以为偶函数， 由可得，所以，即. 16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $对数与对数函数知识点与题型总结讲义 对数与对数函数知识点与题型总结讲义 考点目录 对数的定义 对数的运算 对数函数的定义与解析式 对数函数的图像与性质 以对数函数为背景的定义域问题 以对数函数为背景的值域问题 以对数函数为背景的单调性问题 以对数函数为背景的奇偶性问题 以对数函数为背景的定点问题 对数函数的实际应用 对数函数的综合应用 考点一 对数的定义 【知识点解析】 1.对数的定义 一般地，如果,那么叫做以为底的对数，记作. 2.两个特殊的对数 （1）以为底的对数叫做常用对数，记作. （2）以为底的对数叫做自然对数，记作. 3.两个对数定值 （1）. （2）. 4.指数式和对数式的互化. （1）由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数； （2）由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数. 【例题分析】 考向一 指数与对数的转化 例1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4)； 变式1．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 考向二 解对数方程 例1．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）求下列各式中的的值. (1)； (2). 变式1．（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 变式2．（24-25高一下·福建泉州·开学考试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 考点二 对数的运算 【知识点解析】 对数运算法则：如若，则 （1）. （2）. （3）换底公式：. （4），特殊的，，. （5）. （6）简写与特殊值：，，，. 【例题分析】 例1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知，，用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3) 例2．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 例3．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 例4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 变式1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 变式2．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 变式3．（25-26高一上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 变式4．（24-25高一上·山西运城·阶段练习）求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 考点三 对数函数的定义与解析式 【知识点解析】 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 2．对数函数的结构特征 （1）对数符号前面的系数是1； （2）对数的底数是大于0且不等于1的正实数（常数）； （3）对数的真数仅有． 【例题分析】 例1．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 变式1．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点四 对数函数的图像与性质 【知识点解析】 1.对数函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 值域 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 无 对称性 无 周期性 无 定点 2. 函数的底数变化对图象位置的影响 (1)上下比较：在直线的右侧，时，越大，图象向右越靠近x轴，时，越大，图象向右越靠近先x轴． (2)左右比较：比较图象与的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的真数越大． 3.函数图像的对称与对称变换 (1) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (2) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (3) 函数图像关于原点对称得函数的图像. (4) 函数图像向左平移个单位得函数的图像. (5) 函数图像向右平移个单位得函数的图像. (6) 函数图像向上平移个单位得函数的图像. (7) 函数图像向下平移个单位得函数的图像. (8) 函数的图像代表将函数在轴下方的图像翻折到轴上方，轴上方的图像不变. (9) 函数的图像代表将函数在轴右方的图像翻折到轴左方，轴右方的图像不变. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）函数的图像是（   ） A．B．C． D． 例2．（25-26高三上·北京·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标加1（纵坐标不变） C．纵坐标减1（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 例3．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知对，（，且）均有意义，则函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   例4．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知且，则函数的图象必经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 变式1．（25-26高三上·北京·开学考试）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（　　） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 变式3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．  C．   D．   变式4．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 考点五 以对数函数为背景的定义域问题 【知识点解析】 1.已知解析式求定义域 当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有： (1)分式的分母不为； (2)偶次根式的被开方数为非负数； (3)要求； (4)对数的真数为正数； (5)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合； (6)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求． 2.抽象函数的定义域 (1)对于、这两个函数中，的和的的取值范围相同； (2)已知的定义域为，求的定义域，其实质是由，求出的取值范围； (3)已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围； (4) 已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围，再由的取值范围为，得到，求出的取值范围. 3.解对数不等式 （1）将不等式的两边化成同底的对数式. （2）利用对数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·甘肃·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·北京房山·阶段练习）函数的定义域为 . 例4．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域是 ． 变式1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·上海·期中）函数的定义域为 变式4．（25-26高三上·北京·阶段练习）函数的定义域为 . 考点六 以对数函数为背景的值域问题 【知识点解析】 1.求值域的常见方法 （1）单调性法 （2）配方法 （3）换元法 （4）分离常数法 （5）基本不等式法 （6）判别式法 2.常见以对数函数为背景的值域问题 求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围． 【例题分析】 考向一 求对数函数在指定区间内的最值 例1．（24-25高一上·广东潮州·阶段练习）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 变式2．（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 考向二 求对数型复合函数的最值 例1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）已知函数，在上的值域为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）函数的最小值为 . 变式2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ． 变式3．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ． 变式4．（24-25高三上·上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为 . 考向三 已知对数函数的值域求参数 例1．（2025·浙江·三模）“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 变式2．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知函数（，且）的值域为，则的取值范围是 . 变式3．（25-26高三上·山东泰安·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 考点七 以对数函数为背景的单调性问题 【知识点解析】 1.函数的单调性的应用： （1）利用对数函数的单调性比较大小 ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较. ②若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. ③若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ④若底数与真数都不同，则常借助“0”、“1”等中间量进行比较. （2）利用对数函数的单调性解不等式 ①将不等式的两边化成同底的对数式. ②利用对数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 2.复合函数的单调性：同增异减. 【例题分析】 考向一 判断对数函数型复合函数的单调性 例1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高三上·山西太原·月考）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向二 利用对数函数的单调性比较大小 例1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设，则的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·江西赣州·期中）若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·河北·月考）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·湖南·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高三上·湖南·阶段练习）若，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·北京朝阳·期中）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 考向三 利用对数函数的单调性解不等式 例1．（25-26高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 ． 例2．（25-26高三上·上海普陀·阶段练习）不等式的解集为 . 变式1．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数，则不等式的解集 . 变式2．（25-26高三上·浙江·开学考试）不等式的解集为 . 考点八 以对数函数为背景的奇偶性问题 【知识点解析】 1. 奇偶性的定义 （1）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数． （1）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数． 2. 具有奇偶性的函数的图像特征 （1）若函数是偶函数，则函数的图像关于轴对称. （2）若函数是奇函数，则函数的图像关于原点对称. 3. 判断奇偶性的步骤 （1）证明函数的定义域的对称性. （2）求的解析式，与进行比较，进而下结论. 4. 利用奇偶性求解析式 已知函数为定义在上的偶(奇)函数，当时，函数，当时，求解析式. （1）设，则. （2）将代入时的解析式，得. （3）若函数为偶函数，则当时，. 若函数为奇函数，则当时，. 5. 利用奇偶性求参数 （1）若已知函数为上的偶函数，则令，解方程可求参数. （2）若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. （3）若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. （核心就是在定义域内进行赋值，并不一定得赋值“0”或“1”） 【例题分析】 例1．（2025高二下·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 例2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知为奇函数，则a的值为（    ） A． B． C．1 D． 例3．（2024·广东湛江·一模）若函数为奇函数，则 例4．（24-25高三上·广东梅州·阶段练习）设奇函数，则使的的取值范围是 ． 变式1．（24-25高二下·北京朝阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 变式2．（25-26高三上·北京房山·阶段练习）① ；②函数是奇函数，则 ． 变式3．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 . 变式4．（2025·上海虹口·模拟预测）设，若函数为奇函数，则 . 考点九 以对数函数为背景的定点问题 【知识点解析】 对数函数定点问题的处理思路：令真数为“1”. 【例题分析】 例1．（22-23高三上·江西九江·阶段练习）函数过定点（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数，且)的图象经过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·河南商丘·期末）若函数，且的图象过定点，则点的坐标是 ． 例4．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为 . 变式1．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数图象过定点 ． 变式2．（25-26高三上·河南·开学考试）对，且的图象过定点，则点的坐标为 . 变式3．（24-25高一上·天津河东·阶段练习）函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 考点十 对数函数的实际应用 【知识点解析】 1.函数实际应用问题的解题步骤 （1）审题：明确变量，判断函数类型 （2）建模：设函数解析式，代入数据求参数 （3）求解：利用确定的函数模型，解决具体问题 （4）验证：结合实际意义，判断结果合理性 2.实际应用的常见模型 （1）周长、面积、体积问题：核心表示出边长. （2）工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. （3）行程问题：核心表示出路程、速度、时间. （4）销售问题：核心表示出单价、数量、总价. （5）利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） （6）增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. 3.对数方程的求解 对于对数方程，则左右两边同时取的指数，得，化简可得方程得解.（核心是将对数转化为指数，进一步利用指数的运算法则进行求解） 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河北·月考）地震时释放出的能量（单位：尔格，1尔格焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若第一次地震的里氏震级比第二次高4级，则第一次地震释放出的能量是第二次的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 例2．（25-26高三上·北京·阶段练习）在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高三上·四川内江·阶段练习）某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型推导出函数关系为，k为正的常数，其中物体原来的温度和环境温度为、（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟）.现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，当时，则这壶开水冷却到40℃大约需要 分钟（参考数据：） 例4．（23-24高一上·上海奉贤·期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的 倍. 例5．（24-25高二下·浙江温州·期中）科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？ (2)若雄性候鸟的飞行速度为，雌性候鸟的飞行速度为，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 变式1．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）我们都处于有声世界之中.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，音量的定义是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则时的声音强度是时声音强度的（   ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 变式2．（25-26高三上·北京房山·开学考试）生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（   ） A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟 变式3．（2025高二下·湖南·学业考试）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则 ． 变式4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH来表示溶液的酸碱度pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔／升，则该溶液的pH约为 （结果保留2位小数，参考数据：） 变式5．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 考点十一 对数函数的综合应用 【例题分析】 例1．（25-26高一上·上海浦东·期中）已知函数的图象经过点和，幂函数过点. (1)求和的值及的解析式； (2)解关于的方程. 例2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 例3．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在上是严格增函数． (1)求的值； (2)设，求在上的最小值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 变式1．（25-26高一上·山东济南·阶段练习）已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 变式2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 变式3．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 课后提升训练 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西萍乡·期末）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·四川泸州·期末）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（24-25高二下·江西赣州·期末·多选）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 8．（24-25高一下·内蒙古·期末·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图象是轴对称图形 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 9．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知指数函数且经过点，则 10．（24-25高二下·江西九江·期末） ． 11．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数为奇函数不为偶函数，则实数的值是 12．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 13．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 14．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 15．（24-25高一下·湖南·期末）已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $