28.2.2应用举例（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025－2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 28.2.2应用举例（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1、 仰角、俯角的实际问题： 在视线与水平线所成的角中规定：1)视线在水平线上方的叫做仰角，2)视线在水平线下方的叫做俯角. 题型1单一测量点 例1．某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为，已知两楼的间距为50米，教学楼高为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度．（参考数据） 【变式1-1】．如图，某飞机于空中处测得目标，此时垂直高度米，从飞机上看到指挥所的俯角为，求飞机与指挥所之间的距离的长． 【变式1-2】．如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？ 【变式1-3】．【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 题型2不可到达问题 例2．“生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观．如图②，由于“生命之树”主体底部不可直接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点处竖直上升到达点处，在点处测得“生命之树”主体的顶点处的俯角为，然后操控无人机向主体的方向水平飞行至点处，在点处测得顶点处的俯角为，点在同一水平线上，，图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【变式2-1】．小华计划用阳光下的影子来测量道路交通标志杆的高度（标志杆底部不可到达）．如图，小华站在E处用高度为米的测倾器（即米）测得标志杆顶端A处的仰角为，然后沿着地面方向行走米到达G处，此时标志杆的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合于点C，已知小华身高米，米，，各点均在同一平面内．请根据以上数据信息，计算标志杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：） 【变式2-2】．飞来石（图①），位于安徽省黄山风景区平天矼的一块平坦岩石上．图②为其侧面示意图，某科技小组使用无人机测量飞来石的高度（飞来石的底部不可到达）．无人机从C点竖直上升到D点，测得的长为，飞来石顶部A的仰角为．接着无人机沿着与水平线成角的方向继续飞行到点E，此时无人机正好在A的正上方，测得的长为．求“飞来石”的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【变式2-3】．某数学兴趣小组想使用皮尺和自制的测角仪，利用所学的数学知识测量一座底部不可到达的雕塑的高度．如图所示，他们在水平地面上架设测角仪，测得此时雕塑最高点的仰角，然后沿方向前进到达点处，测得此时雕塑最高点的仰角（点，，在一条直线上），测角仪的高度为，请利用同学们的以上测量数据求雕塑最高点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 知识点2 方向角问题 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 题型3 . 单一测量点与距离判断 例3．如图,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数, =2.449, =1.732, =1.414) 【变式3-1】．某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过．如图，一辆汽车在该段道路上由西向东行驶，距离路边处有一车速检测仪，测得该车从北偏西的点行驶到北偏东的点（点，，在同一水平面内）所用时间为．试求该车从点到点的平均速度，并说明该车是否超速．（参考数据：，，） 【变式3-2】．如图，在码头C正北方向距离28海里处有一灯塔A，在灯塔A处观测到一艘轮船在码头C的正西方向由西向东行驶，当船行驶到B处时，测得轮船在灯塔A的南偏西方向上．求轮船与码头之间的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：） 【变式3-3】．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离灯塔有多远？（结果取整，）        题型4两个观测点与不可达点问题 例4．数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）    【变式4-1】．如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东60°的方向上. (1)求BP的距离； (2)已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险. 【变式4-2】．如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：，，） (1)求货船到A的距离（结果精确到1米）； (2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？ 请说明理由． 【变式4-3】．一艘游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在处看到灯塔在游艇北偏东方向上，航行1小时到达处，此时看到灯塔在游艇北偏西方向上．求灯塔到航线的最短距离（结果保留根号）． 题型5航行安全与触礁风险判断 例5．如图，某快艇由西向东航行，在处测得灯塔的方位是北偏东，又继续航行10海里，在处测得灯塔的方位是北偏东， (1)此时快艇与灯塔的距离是多少海里． (2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点方圆海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． ． 【变式5-1】．如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．（参考数据：，，．）    (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由． 【变式5-2】．如图，海中有一个小岛，该岛四周 海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向东航行，到达 处时它在小岛南偏西 的方向上，再往东行驶 海里后到达小岛的南偏西 方向上的 处．如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？ 【变式5-3】．如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：，，，，，） 知识点3 、 坡度问题： 坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可写作：i=tan坡角）】 题型6 已知坡度求坡角，或已知铅直高度和水平宽度求坡度 例6．如图，有一斜坡长，坡顶离地面的高度为，求该斜坡的坡度． 【变式6-1】．如图，在一旗杆AB的顶端A上系一活动旗帜，在某一时刻，旗杆的影子落在平地BD和一坡度为1：的斜坡DF上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡顶点D处，若测得旗高BC=8m，影长BD=16m，影长DE=12m，（假设旗杆AB与地面垂直，B、D、G三点共线，AB、BG、DF在同一平面内）． （1）求坡角∠FDG的度数； （2）求旗杆AB的高度．（注：≈1.73，结果精确到0.1m） 【变式6-2】．小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，求他下降的高度 【变式6-3】．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比 题型7 梯形断面问题 例7．已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡度，，求和的长． 【变式7-1】．南水北调工程九年间共输送700 亿立方米水源，相当于黄河一年半的流量，北京七成用水由此保障．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量南水北调某段大堤的坡度．他们把一根长的竹竿斜靠在大堤旁，量出杆长处的D点离地面的高度，又量得杆底与堤脚的距离， ，请帮他们求出这段大堤的坡度． 【变式7-2】．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米， (1)求大坝横截面的面积； (2)求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值） 【变式7-3】．如图，长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽，坝高，斜坡的坡比，斜坡的坡比，    (1)求坝底宽的长 (2)修筑这个堤坝需要土方多少立方米？ 题型8坡度比较与方案设计 例8．如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽米，加固后背水坡的坡度：．求加固后坝底增加的宽度． 【变式8-1】．滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题． 【方案设计】如图，将滑梯顶端拓宽为（），使，并将原来的滑梯改为（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 【测量数据】滑梯的高，滑梯的坡度为，滑梯的坡角． 【解决问题】 (1)求滑梯的长度； (2)调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （注：，，） 【变式8-2】．在阳光明媚的一天，某“综合实践”小组开展了测量物体高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．如图，高楼的旁边有一座小山丘．某一时刻，高楼AB的影子顶端恰好落在小山丘的山顶处，测得高楼落在平地上的影长米．落在斜坡上的影长米，坡角为（即），小山丘的高为，它的背坡的坡度．在小山丘的山顶处有一棵高为4米的小树，此时，小树的顶端的影子恰好落在地面处，并测得米．已知，点B，C，E，F，H在同一条直线上，点G，D，E也在同一条直线上，求楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【变式8-3】．小明和同学开展“测量旗杆高度”的实践活动，他们按照拟定的测量方案进行实地测量，并得到如下测量报告： 课题 测量旗杆的高度 测量工具 测角仪和卷尺 数学模型及说明 说明：为水平地面，旗杆垂直于地面，斜坡的坡度，在斜坡点处测得旗杆顶端的仰角为． 测量数据 ，， 参考数据 ，， 根据小明测量报告中的信息，求旗杆的高度．（结果精确到） 题型9俯角、仰角综合与创新题型 例9．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼AB和楼之间的距离BC为100米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：____________°，______________； (2)求楼的高度（结果保留根号）． 【变式9-1】．某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【变式9-2】．如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【变式9-3】．阅读下列材料，回答问题． 【实践任务】利用浮球测量一个玻璃栈道的高 【实地考察】玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上． 【可用工具】如图2，一把皮尺（测量长度小于）一台测角仪一架无人机． 【工具说明】皮尺能直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪能测量俯角的大小．例如：如图3，测角仪可测得的度数，测角仪的高度忽略不计． 【实践过程】 测量过程：如图4，任选栈道上一点M，桥边（与桥高度相同）释放无人机，竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机下降速度为，下降时间为． 求解过程：由题可得： 四边形为① ，② ． (1)补全小明求解过程中所缺的内容． (2)小明求得用到的几何知识是 ． (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用）要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数不超过4次，才能得满分，否则多测量一次扣一分，封顶扣四分）． 题型10 方位角与实际情境的方案选择 例10．美丽的西双湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段．数学综合实践小组利用课余时间对的长进行测量，采取如下方案：在岸边取一点，观察发现点在点的正北方．小组成员小丽从点处向正东方走了米达到处，此时测得点在北偏西方向上，点在北偏西方向上． (1)，两点间的距离为______米； (2)求的长．（参考数据：（，，，） 【变式10-1】．新考法·项目式学习探究 某数学兴趣小组在“测量池塘的宽度”的实践活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量池塘的宽度 测量方案示意图 测得数据 已知，点，，，都是池塘岸边上的点，点位于点正南方向，点位于点南偏西方向，点，在点的正东方向，点位于点南偏东方向，已知是草坪休息区域，．测得米，米． 说明 点，，，，位于同一平面内． 参考数据 ，． 问：池塘的宽度的长约为多少？ 【变式10-2】．森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中去．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点A的北偏东方向的B处发生火灾，防火员从卡点A去火灾处救援有两种方案． 方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800 m到达离B点最近的C处再跑步到B点救援； 方案2：防火员从卡点A直接跑步前往B处救援．若防火员的跑步速度，骑车的速度为． (1)的长约为_____m（结果保留根号）； (2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由． 【变式10-3】．某中学组织学生到重庆植物园进行植树，一志愿者团队在点集合，计划前往位于其正北方向的点植树，但由于段损毁严重，道路不能通行，于是该志愿者团队根据现场情况拟定了两种方案： 方案一：从点沿着路线步行前进，其中点在点的正东方向，点在点的西北方向，志愿者在段步行过程中清除路障需花10分钟； 方案二：从点沿着路线步行前进，其中点在的延长线上，点在点的北偏西方向，点为和的交点，全程道路畅通，已知，米，志愿者步行速度为80米/分钟． (1)求的长；（结果保留整数） (2)哪种方案到达点所花时间更短？请说明理由．（参考数据：） 题型11坡角、坡度中的综合问题 例11．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【变式11-1】．【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【变式11-2】．为了给广大游客提供干净文明、方便舒适的游览环境，某景区工作人员在景区门口设置了一块如图所示的游客攻略宣传栏，图是它的左视图（忽略厚度），经测量，宣传栏高米，支架米，顶盖玻璃圆弧跨度米，到顶盖的高为米． (1)求弧跨度所对圆心角的度数； (2)若大雨天的雨水与地面的倾斜角为，试判断雨水是否会淋湿宣传版面，请说明理由．（参考数据：，，，） 【变式11-3】．如图是一个游乐场中的击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点O，，是一个斜坡，斜坡的坡比为，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若击球手在A处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点A的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误； (3)在斜坡的三等分点D处（靠近坡脚），有一球洞，若这次击球，不改变抛物线的形状和大小，使球恰好进入洞内，击球手需在平台上后退几米？直接写出结果． 例12．综合与实践 【新知阅读】在学习了解锐角三角函数以后，在锐角中（图1），如果，，的对边长分别为，，，那么就可以得到．这是锐角三角函数的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题呈现】黄河三角洲湿地是世界少有的河口湿地生态系统，位于山东省东北部的渤海之滨．某数学兴趣小组要绘制一幅黄河三角洲湿地局部平面示意图，现需要知道黄河三角洲湿地中，两地间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【问题解决】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图2，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题拓展】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两地间的距离．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【回顾应用】（2）设计其他方案计算，两地间的距离．要求：选用【问题解决】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【变式12-1】．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【变式12-2】．数学王老师在网课期间给学生上直播课，用到一个直播仪器，如图是它的示意图，折线固定不动，垂直水平桌面于点A，伸缩杆可绕点C自由转动，支架始终垂直于水平桌面，经测量：，当平行于桌面时，求支架的端点E到水平桌面的距离．（结果精确到，） 【变式12-3】．周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 3．某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 6．如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．25米 D．28米 7．如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 8．光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为 ．（参考数据：） 10．如图所示，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，秋千摆至最高位置时与竖直方向的夹角为，且两边的摆动角度相同，那么秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为 米．（结果保留根号） 11．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，） 12．如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是 ． 13．如图，给出了一种机器零件的示意图，其中米，米，则 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 15．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 16．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 17．图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 18．某海域有，，三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向，两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向． (1)求的度数； (2)船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到小时．参考数据：，． 19．【情境】河北省吴桥县是我国著名的杂技之乡，高空走钢丝是群众喜欢的项目之一，演员在运动过程中钢丝绳的总长保持不变． 如图1，，均垂直于地面且高度相同，杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时； 如图2，当杂技演员走至钢丝绳中点时，恰好． 【探究】（1）求图1中的长； （2）求杂技演员从点走到点下降的竖直高度； 【拓展】（3）在从走向的过程中，杂技演员在钢丝绳上的位置记为点，当时，直接写出的长． （参考数据：取，取，取） 20．如图1是某学校门口安装的一款体温测量门，当学生从校门外进入学校时，体温门的显示屏上会出现该学生的体温．如图2，当小明从校外走到点处时，测量门的显示屏上开始显示额头温度，此时，在额头处测得门顶端的仰角；当小明向前行进到点处时，测量门停止显示额头温度，此时在额头处测得门顶端的仰角．已知测量门顶端距离地面的高度为，小明的身高为，请求出小明的有效测温区间的长．（额头到地面的距离以身高计，结果精确到．，，，， 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 28.2.2应用举例（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1、 仰角、俯角的实际问题： 在视线与水平线所成的角中规定：1)视线在水平线上方的叫做仰角，2)视线在水平线下方的叫做俯角. 题型1单一测量点 例1．某校数学兴趣小组的同学在教学楼顶端B处测得实验楼顶部点A的仰角为，已知两楼的间距为50米，教学楼高为16米（图中所有点均在同一平面内），求实验楼的高度．（参考数据） 【答案】实验楼的高度为25米． 【分析】利用正切函数的定义求得的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：实验楼的高度为25米． 【点睛】本题考查解直角三角形－仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式1-1】．如图，某飞机于空中处测得目标，此时垂直高度米，从飞机上看到指挥所的俯角为，求飞机与指挥所之间的距离的长． 【答案】 【分析】根据俯角的概念、直角三角形的性质解答． 【详解】解：在中，， ， 答：机与指挥所之间的距离为2400米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、直角三角形的性质是解题的关键． 【变式1-2】．如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？ 【答案】C点距离雷达站D是km． 【分析】先通过cos∠BDA求出AD的长,再通过cos∠CDA求出CD的长即可． 【详解】在Rt△ABD中,cos∠BDA＝, ∴AD＝4×＝ (km)； 在Rt△ACD中,cos∠CDA＝, ∴CD＝＝ (km)． ∴C点距离雷达站D是km． 【点睛】本题考查解直角三角形和三角函数应用,关键在于通过图象结合． 【变式1-3】．【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 题型2不可到达问题 例2．“生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观．如图②，由于“生命之树”主体底部不可直接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点处竖直上升到达点处，在点处测得“生命之树”主体的顶点处的俯角为，然后操控无人机向主体的方向水平飞行至点处，在点处测得顶点处的俯角为，点在同一水平线上，，图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质和判定，过点A作，交的延长线于点F，得到四边形为矩形，求出，设，则，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点F， ∵点B，D在同一水平线上，， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意知，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：“生命之树”主体的高度约为． 【变式2-1】．小华计划用阳光下的影子来测量道路交通标志杆的高度（标志杆底部不可到达）．如图，小华站在E处用高度为米的测倾器（即米）测得标志杆顶端A处的仰角为，然后沿着地面方向行走米到达G处，此时标志杆的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合于点C，已知小华身高米，米，，各点均在同一平面内．请根据以上数据信息，计算标志杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D作于H，则四边形是矩形，得到，设，解得到，证明得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， 解得， ∴， 答：标志杆的高度约为． 【变式2-2】．飞来石（图①），位于安徽省黄山风景区平天矼的一块平坦岩石上．图②为其侧面示意图，某科技小组使用无人机测量飞来石的高度（飞来石的底部不可到达）．无人机从C点竖直上升到D点，测得的长为，飞来石顶部A的仰角为．接着无人机沿着与水平线成角的方向继续飞行到点E，此时无人机正好在A的正上方，测得的长为．求“飞来石”的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】“飞来石”的高度约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角、俯角的意义是解题的关键； 过作，得矩形，则．设，在中，；在中，， 由，得，解出．，则，代入数据计算得． 【详解】解：如图，过点D作于点H，可得四边形为矩形， ． 设， 在中，． ． 在中，， ． ， ， ， ， ． 答：“飞来石”的高度约为． 【变式2-3】．某数学兴趣小组想使用皮尺和自制的测角仪，利用所学的数学知识测量一座底部不可到达的雕塑的高度．如图所示，他们在水平地面上架设测角仪，测得此时雕塑最高点的仰角，然后沿方向前进到达点处，测得此时雕塑最高点的仰角（点，，在一条直线上），测角仪的高度为，请利用同学们的以上测量数据求雕塑最高点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】雕塑最高点距离地面的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，延长交于，则四边形、为矩形，得出，，设，则，，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， 则四边形、为矩形， ∴，， 设， 在中，，则， ∴， 在中，， 解得：， ∴， 故雕塑最高点距离地面的高度为． 知识点2 方向角问题 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 题型3 . 单一测量点与距离判断 例3．如图,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数, =2.449, =1.732, =1.414) 【答案】46海里/时 【分析】设OA的长为x，由于点C在点A的北偏西45°的方向上，可得OC=OA=x，根据经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，可知BC=24海里，由tan∠OBA= = tan30°可得关于x的方程，解方程求出x的值，根据勾股定理可求出AC，得到该艇的速度． 【详解】解：设OA的长为x，由于点C在点A的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得 tan30°= . AC2=x2+x2 AC=, ∴AC≈46（海里）. 答：该艇的速度是46海里/时. 故答案为46海里/时. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解本题的关键是根据解直角三角形的相关知识先求出OA的值. 【变式3-1】．某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过．如图，一辆汽车在该段道路上由西向东行驶，距离路边处有一车速检测仪，测得该车从北偏西的点行驶到北偏东的点（点，，在同一水平面内）所用时间为．试求该车从点到点的平均速度，并说明该车是否超速．（参考数据：，，） 【答案】该车从点到点的平均速度为，该车超速 【分析】本题考查了解直角三角形，利用了锐角三角函数，直角三角形的性质，画出直角三角形得出的长是解题关键．过作于点，根据等腰直角三角形得出，进而利用三角函数解答即可． 【详解】解：如图，过作于点， 由题意得：， 在中，， ， （）， 在中，， （m）， （）， （）， ， 超速了． 答：该车从点到点的平均速度为，该车超速． 【变式3-2】．如图，在码头C正北方向距离28海里处有一灯塔A，在灯塔A处观测到一艘轮船在码头C的正西方向由西向东行驶，当船行驶到B处时，测得轮船在灯塔A的南偏西方向上．求轮船与码头之间的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：） 【答案】轮船距离码头约为36海里 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得海里，，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：根据题意，得海里． 在中，，， ， ∴， ∴（海里）； 答：轮船距离码头约为36海里． 【变式3-3】．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离灯塔有多远？（结果取整，）        【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于，根据余弦的定义求出，再根据余弦的定义求出即可． 【详解】解：作于， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， 答：处距离灯塔有． 题型4两个观测点与不可达点问题 例4．数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）    【答案】米 【分析】过作于，设米，则在中得到，在中，得到，则，解得分，即可得到答案． 【详解】解：过作于，设米，    在中， 即， ， 在中， ， 即， ， 解得分， （米）． 答：河宽大约为72.6米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键． 【变式4-1】．如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东60°的方向上. (1)求BP的距离； (2)已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险. 【答案】(1)40海里 (2)若轮船仍向前航行有触礁的危险，理由见解析 【分析】（1）通过计算得到，得到，从而得解； （2）作于点，解得进而判定即可； 【详解】（1），， 又， ， （海里） （2）作于点. 在直角中，. 答：若轮船仍向前航行有触礁的危险 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，掌握直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键． 【变式4-2】．如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：，，） (1)求货船到A的距离（结果精确到1米）； (2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？ 请说明理由． 【答案】(1)货船到A的距离为58米 (2)货船能行驶到码头所在线段上 【分析】（1）过点C作于M，在Rt△ACM中，根据sin45°解得CM的长，则AM=CM，在Rt△CPM中，∠CPM=∠PCB∠A=30°，根据tan30°求出PM的长，再根据AP=AM+PM即可得到答案； （2）设货船从P出发沿南偏西方向行驶到Q点，过P作于N，利用三角函数求出AN和NQ，再根据AQ=AN+NQ求出AQ的长，与AB作比较即可． 【详解】（1）过C作于M， 由题可得：，，， 在中，， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴AP=AM+MP=（米）， 答：货船到A的距离为58米； （2）设货船从P出发沿南偏西方向行驶到Q点，过P作于N， 在中，， ， ∴， ∴AN=， 在中．， ， ∴， ∴， ∴货船能行驶到码头所在线段上． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式4-3】．一艘游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在处看到灯塔在游艇北偏东方向上，航行1小时到达处，此时看到灯塔在游艇北偏西方向上．求灯塔到航线的最短距离（结果保留根号）． 【答案】灯塔A到航线的最短距离为千米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形求解是解答的关键． 过A作于C，根据垂线段最短得知的长即为灯塔A到航线OB的最短距离，利用特殊角的三角函数求解即可． 【详解】解：过A作于C，则的长即为灯塔A到航线OB的最短距离， 根据题意，，千米， ∴， ， ∴，， ∴， 解得：（千米）， 故灯塔A到航线的最短距离为千米． 题型5航行安全与触礁风险判断 例5．如图，某快艇由西向东航行，在处测得灯塔的方位是北偏东，又继续航行10海里，在处测得灯塔的方位是北偏东， (1)此时快艇与灯塔的距离是多少海里． (2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点方圆海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】(1)（海里） (2)该快艇继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质定理，含的直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）过作于点，利用直角三角形的性质求得相关角的度数，利用三角形的外角性质求出，即可得出结果； （2）利用含的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：过作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（海里）； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴该快艇继续向东航行，没有触礁的危险． 【变式5-1】．如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．（参考数据：，，．）    (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由． 【答案】(1)有触礁危险 (2)没有触礁危险 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）过点作于，在中和在中利用解直角三角形进而可求解； （2）过点于，在中，利用解直角三角形即可求解； 熟练掌握直角三角形边角关系及构造直角三角形利用数形结合解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于，如图：   （海里）， 设， ，， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 答：渔船继续向东航行，有触礁危险． （2）过点于，如图：    由（2）得：（海里）， 在中，，，海里， ， 答：没有触礁危险． 【变式5-2】．如图，海中有一个小岛，该岛四周 海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向东航行，到达 处时它在小岛南偏西 的方向上，再往东行驶 海里后到达小岛的南偏西 方向上的 处．如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？ 【答案】没有触礁的危险 【分析】设，根据锐角三角形函数得到，，再利用海里即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 设，即， 同理，在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：(海里)； ∵， ∴货轮没有触礁的危险． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数是解题的关键． 【变式5-3】．如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：，，，，，） 【答案】渔船没有触礁的危险． 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．过点作，分别解和，求出的长，即可得出结论． 【详解】解：过点作，由题意，得：，，， 设，    在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴渔船没有触礁的危险． 知识点3 、 坡度问题： 坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可写作：i=tan坡角）】 题型6 已知坡度求坡角，或已知铅直高度和水平宽度求坡度 例6．如图，有一斜坡长，坡顶离地面的高度为，求该斜坡的坡度． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据勾股定理求出，再根据坡度的定义求出即可． 【详解】解：在中，， ， 答：此斜坡的坡度为． 【变式6-1】．如图，在一旗杆AB的顶端A上系一活动旗帜，在某一时刻，旗杆的影子落在平地BD和一坡度为1：的斜坡DF上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡顶点D处，若测得旗高BC=8m，影长BD=16m，影长DE=12m，（假设旗杆AB与地面垂直，B、D、G三点共线，AB、BG、DF在同一平面内）． （1）求坡角∠FDG的度数； （2）求旗杆AB的高度．（注：≈1.73，结果精确到0.1m） 【答案】（1）∠FDG=30°；（2）19.2m． 【分析】（1）作EH⊥DG于H，根据坡度为1：，可得∠FDG=30°； （2）求出BG的值，根据BC=8m，影长BD=16m，可求得AB的值． 【详解】解：（1）作EH⊥DG于H， ∴tan∠FDG= ∴∠FDG=30°； （2）延长AE交BG于点M， ∵∠FDG=30°，DE=12m， ∴ 又∵BC=8m，影长BD=16m， ∴HM=2EH=12m， ∴ ∴ 答：旗杆AB的高度约为19.2m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是正确的构造直角三角形． 【变式6-2】．小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，求他下降的高度 【答案】50米 【详解】试题分析：根据坡比可设BC=x，AC=2.4x，根据勾股定理得出AB=2.6x，根据AB的长度得出x的值，从而得出BC的值，即下降的高度． 试题解析：∵坡比为1：2.4，  ∴BC：AC=1：2.4， 设BC=x，AC=2.4x， 则AB=  ∵AB=130米， ∴x=50， 则BC=x=50（米）． 点睛：本题主要考查的就是利用解直角三角形的方法求三角形的各边长，属于简单题型．在涉及坡比问题的时候，我们一定要明白坡比公式为：坡比=垂直高度：水平距离．在解答这种问题的时候，千万不能忘记直角三角形的勾股定理的应用，这个也是非常重要的． 【变式6-3】．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比 【答案】 【详解】试题分析：首先根据AB和AC的长度以及勾股定理得出BC的长度，最后根据坡比的计算法则得出答案． 试题解析：∵某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米， ∴水平距离BC= =6（m）， 则该斜坡的坡比是：． 题型7 梯形断面问题 例7．已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡度，，求和的长． 【答案】斜坡、的长分别是， 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． ，过D作DF⊥BC于F，得到，根据坡度和特殊角的三角函数值，解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：， 斜坡的坡比， ， ， ， 斜坡、的长分别是，． 【变式7-1】．南水北调工程九年间共输送700 亿立方米水源，相当于黄河一年半的流量，北京七成用水由此保障．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量南水北调某段大堤的坡度．他们把一根长的竹竿斜靠在大堤旁，量出杆长处的D点离地面的高度，又量得杆底与堤脚的距离， ，请帮他们求出这段大堤的坡度． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形应用−−坡度问题，解决本题的关键是掌握坡度定义．先过点C作于点F，得出，结合相似三角形的判定和性质可得，根据勾股定理可得的长，求出的长可得石坝的坡度． 【详解】解：如图，过点C作于点F， 由题意得：， ， 则， ∴， ，即 ， 解得， 在中， ∴， ∴这段大堤的坡度为  ． 【变式7-2】．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米， (1)求大坝横截面的面积； (2)求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值） 【答案】(1)2800 (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可； （2）首先根据勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】（1）∵迎水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米； ∵背水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米 ∴大坝横截面的面积为； （2）∵，米，米， ∴米 ∵，米，米 ∴米 ∴周长为米． 【变式7-3】．如图，长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽，坝高，斜坡的坡比，斜坡的坡比，    (1)求坝底宽的长 (2)修筑这个堤坝需要土方多少立方米？ 【答案】(1) (2)（立方米） 【分析】（1）根据题意可得：，，，，然后根据已知易得，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答； （2）先求出梯形的面积，然后再求出修筑这个堤坝需要的土方，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，， ∵斜坡的坡比，斜坡的坡比． ，， ，， ， ∴坝底宽的长为； （2），，， ∴梯形的面积， ∴修筑这个堤坝需要土方， ∴修筑这个堤坝需要土方立方米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型8坡度比较与方案设计 例8．如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽米，加固后背水坡的坡度：．求加固后坝底增加的宽度． 【答案】米 【分析】过点作于点，过点作于点．解，，得出，根据即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． 依题意：（米），（米） 在中，， （米） 在中， （米） （米） 答：加固后坝底增加的宽度为（）米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 【变式8-1】．滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题． 【方案设计】如图，将滑梯顶端拓宽为（），使，并将原来的滑梯改为（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 【测量数据】滑梯的高，滑梯的坡度为，滑梯的坡角． 【解决问题】 (1)求滑梯的长度； (2)调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （注：，，） 【答案】(1)滑梯的长度为； (2)调整后的滑梯会多占的地面． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用坡比得出， 然后代入求值即可； （）过点作直线的垂线，垂足为， 证明四边形为平行四边形，则有，，通过勾股定理得出，所以，求出，最后由线段和差即可求解． 【详解】（1）解：∵滑梯的坡度为， ∴，    ∵， ∴， 解得， ∴滑梯的长度为； （2）解：过点作直线的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，， 在中，，即， 解得， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的地面． 【变式8-2】．在阳光明媚的一天，某“综合实践”小组开展了测量物体高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．如图，高楼的旁边有一座小山丘．某一时刻，高楼AB的影子顶端恰好落在小山丘的山顶处，测得高楼落在平地上的影长米．落在斜坡上的影长米，坡角为（即），小山丘的高为，它的背坡的坡度．在小山丘的山顶处有一棵高为4米的小树，此时，小树的顶端的影子恰好落在地面处，并测得米．已知，点B，C，E，F，H在同一条直线上，点G，D，E也在同一条直线上，求楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】楼的高度为米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，过点作于点，求出，证明四边形为矩形，得到，再证明，得到，即，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由题意知， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：楼的高度为米． 【变式8-3】．小明和同学开展“测量旗杆高度”的实践活动，他们按照拟定的测量方案进行实地测量，并得到如下测量报告： 课题 测量旗杆的高度 测量工具 测角仪和卷尺 数学模型及说明 说明：为水平地面，旗杆垂直于地面，斜坡的坡度，在斜坡点处测得旗杆顶端的仰角为． 测量数据 ，， 参考数据 ，， 根据小明测量报告中的信息，求旗杆的高度．（结果精确到） 【答案】旗杆的高度约为16.3米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，证明四边形是矩形，得，由坡度的概念和勾股定理得米，米，则米，米，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，斜坡的坡度，米， 设米，则米， ∴（米）， ∴， ∴， ∴米，米， ∴（米），米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：旗杆的高度约为16.3米． 题型9俯角、仰角综合与创新题型 例9．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼AB和楼之间的距离BC为100米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：____________°，______________； (2)求楼的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)75；60 (2)米 【分析】本题考查了仰角俯角问题，三角函数的应用，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形内角和定理即可解题； （2）由题意可得米，米，在中，用特殊角的正切值即可解题． 【详解】（1）解：， ， 过点作于点， 则， ； （2）解：由题意可得米，米， 在中，， 解得：米， 米． 答：楼的高度为米． 【变式9-1】．某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为． 【变式9-2】．如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据在中，，，求出结论即可； （2）用待定系数法分别求出表达式即可； （3）首先得出当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，即，解出t的值，求出范围即可． 【详解】（1）解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 【变式9-3】．阅读下列材料，回答问题． 【实践任务】利用浮球测量一个玻璃栈道的高 【实地考察】玻璃栈道桥面为透明玻璃，可观测到玻璃栈道下方的物体．如图1，栈道建设在两山体之间，栈道下方为河面，玻璃栈道与河面平行，浮球A在玻璃栈道正下方的河面上． 【可用工具】如图2，一把皮尺（测量长度小于）一台测角仪一架无人机． 【工具说明】皮尺能直接测量任意可到达的两点间的距离，测角仪能测量俯角的大小．例如：如图3，测角仪可测得的度数，测角仪的高度忽略不计． 【实践过程】 测量过程：如图4，任选栈道上一点M，桥边（与桥高度相同）释放无人机，竖直匀速下降至水面N处停止下降，无人机下降速度为，下降时间为． 求解过程：由题可得： 四边形为① ，② ． (1)补全小明求解过程中所缺的内容． (2)小明求得用到的几何知识是 ． (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过在栈道上行走并测量长度、角度等几何量的方式，结合解直角三角形的知识，求玻璃栈道的高．写出你的测量及求解过程．（注：无法确定点B的具体位置，点B不能直接使用）要求：请在图5中画出相应图形，测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用…表示，测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数不超过4次，才能得满分，否则多测量一次扣一分，封顶扣四分）． 【答案】(1)①矩形 ②vt (2)矩形的对边相等 (3)a 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，结合物理知识，熟练运用矩形的判定与性质以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键． （1）根据矩形的判定和性质以及物理知识解答即可； （2）根据矩形的性质解答即可； （3）根据正切锐角的三角函数值的定义来解答即可． 【详解】（1）解：由题意知， 四边形为矩形， ． 故答案为：矩形，； （2）解：由（1）可知小明根据矩形的对边相等来设计方案； 故答案为：矩形的对边相等； （3）解：在的一侧取一点，用测角仪测量，再取一点，测量的长，以及，如图：     ， ，， ，， 又， ∴， ∴。 题型10 方位角与实际情境的方案选择 例10．美丽的西双湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段．数学综合实践小组利用课余时间对的长进行测量，采取如下方案：在岸边取一点，观察发现点在点的正北方．小组成员小丽从点处向正东方走了米达到处，此时测得点在北偏西方向上，点在北偏西方向上． (1)，两点间的距离为______米； (2)求的长．（参考数据：（，，，） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形： （1）根据，即可求解； （2）作于点，则，分别解和，即可得出结果． 【详解】（1）解： 依题意， ∴， 故答案为：； （2）解：作于点，则． 由题意知：，，． 则． 所以在中，． 即．所以． 在中，．即． 所以．所以． 答：的长为60米． 【变式10-1】．新考法·项目式学习探究 某数学兴趣小组在“测量池塘的宽度”的实践活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量池塘的宽度 测量方案示意图 测得数据 已知，点，，，都是池塘岸边上的点，点位于点正南方向，点位于点南偏西方向，点，在点的正东方向，点位于点南偏东方向，已知是草坪休息区域，．测得米，米． 说明 点，，，，位于同一平面内． 参考数据 ，． 问：池塘的宽度的长约为多少？ 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则四边形是矩形．解和分别求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，由题意可知 四边形是矩形． 米． 在中，， （米）． （米）． 在中，， （米）． 答：池塘的宽度的长约为米． 【变式10-2】．森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中去．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点A的北偏东方向的B处发生火灾，防火员从卡点A去火灾处救援有两种方案． 方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800 m到达离B点最近的C处再跑步到B点救援； 方案2：防火员从卡点A直接跑步前往B处救援．若防火员的跑步速度，骑车的速度为． (1)的长约为_____m（结果保留根号）； (2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)方案1，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，理解题意，熟练运用三角函数关系是解题的关键． （1）在中，直接根据正弦函数关系即可求出； （2）求出，再分别求出两种方案下所用时间较少，从而作出判断，并说明理由． 【详解】（1）解：如图： 由题意，知米，，， 在中， （米）， 故答案为：； （2）解：选择方案1更合理． 理由：在中， （米）， 方案一需要时间为：， 方案二需要时间为：， ∵， 选择方案1更合理． 【变式10-3】．某中学组织学生到重庆植物园进行植树，一志愿者团队在点集合，计划前往位于其正北方向的点植树，但由于段损毁严重，道路不能通行，于是该志愿者团队根据现场情况拟定了两种方案： 方案一：从点沿着路线步行前进，其中点在点的正东方向，点在点的西北方向，志愿者在段步行过程中清除路障需花10分钟； 方案二：从点沿着路线步行前进，其中点在的延长线上，点在点的北偏西方向，点为和的交点，全程道路畅通，已知，米，志愿者步行速度为80米/分钟． (1)求的长；（结果保留整数） (2)哪种方案到达点所花时间更短？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)方案一到达点所花时间更短 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）先证明，得到，，再中，根据，，求出，，最后根据中，，列方程求解即可； （2）由（1）可得，，，，再求出，，则，，最后分别求出两种方案所用时间，再比较大小即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得，，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 中，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵中， ， ∴， 解得， ∴； （2）解：方案一到达点所花时间更短，理由如下： 由（1）可得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴方案一：从点沿着路线步行前进，用时（分钟）； 方案二：从点沿着路线步行前进，用时（分钟）； ∴方案一到达点所花时间更短． 题型11坡角、坡度中的综合问题 例11．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10米 (2)25米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡度为 ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， ， 米，米， 坡顶到地面的距离为米； （2）解：延长交于点， 由题意得：， ∴四边形是矩形， 由（1）得米，米， 则米，， 设米，则米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， ， 解得：， （米）， 联通信号发射塔的高度约为米． 【变式11-1】．【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（）米；（） 【分析】（）过点作交于点，由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，得到，由坡度的定义可得米，解可得米，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：（）解：如图，连接，过点作交于点，则， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度相同， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 【变式11-2】．为了给广大游客提供干净文明、方便舒适的游览环境，某景区工作人员在景区门口设置了一块如图所示的游客攻略宣传栏，图是它的左视图（忽略厚度），经测量，宣传栏高米，支架米，顶盖玻璃圆弧跨度米，到顶盖的高为米． (1)求弧跨度所对圆心角的度数； (2)若大雨天的雨水与地面的倾斜角为，试判断雨水是否会淋湿宣传版面，请说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】(1)弧跨度所对圆心角的度数是 (2)不会．理由见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂径定理求出，设圆弧的半径为，根据勾股定理列出方程，求出半径，根据正切的定义求出所对圆心角的度数； （2）根据正切的定义求出，比较大小，证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，设弧跨度所在圆的圆心为，圆弧的半径为，连接，， 由题意得，则米，米， 在中，， 解得， （米）， 在中，， ， ， 弧跨度所对圆心角的度数是； （2）解：不会．理由如下： 如图所示，大雨天的雨水与地面的倾斜角为，可知， ， （米）． 宣传栏高米<米， 雨水不会淋湿宣传版面． 【变式11-3】．如图是一个游乐场中的击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点O，，是一个斜坡，斜坡的坡比为，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若击球手在A处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点A的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误； (3)在斜坡的三等分点D处（靠近坡脚），有一球洞，若这次击球，不改变抛物线的形状和大小，使球恰好进入洞内，击球手需在平台上后退几米？直接写出结果． 【答案】(1) (2)此次击球没有失误，理由见解析 (3)向后退2米正好经过点． 【分析】本题考查二次函数的应用、解直角三角形的应用、待定系数法求函数解析式，用待定系数法求得二次函数的解析式是解决本题的关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标，用顶点式设出抛物线解析式，进而把点A的坐标代入即可； （2）取抛物线解析式中的，求得合适的x的值，过B点作于点E，求出，进而求得长，将x值与的长度比较即可判断击球是否失误； （3）过D点作于点F，判断出点D的坐标，设后退m米球正好入洞，设出相应的函数解析式，把点D的坐标代入求得合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点A的坐标为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）此次击球没有失误． 理由：当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 过B点作于点E， 则四边形为矩形，， ，， 的坡比为， ， ， ， 此次击球没有失误； （3）过D点作于点F， 则， ， ， ， ， ，， ， 点D的坐标为， 设向后退m米正好经过点D， 正好经过点D的抛物线为：， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：向后退2米正好经过点． 例12．综合与实践 【新知阅读】在学习了解锐角三角函数以后，在锐角中（图1），如果，，的对边长分别为，，，那么就可以得到．这是锐角三角函数的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题呈现】黄河三角洲湿地是世界少有的河口湿地生态系统，位于山东省东北部的渤海之滨．某数学兴趣小组要绘制一幅黄河三角洲湿地局部平面示意图，现需要知道黄河三角洲湿地中，两地间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【问题解决】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图2，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题拓展】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两地间的距离．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【回顾应用】（2）设计其他方案计算，两地间的距离．要求：选用【问题解决】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 【变式12-1】．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出的长，再由余弦的定义可得，据此求解即可； （2）求出的长，延长交于点，则四边形是矩形，可求出的长，进而求出的长，再证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：在中，∵，即， ， 由（1）得， 延长交于点，则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 答：求线段的长度约为． 【变式12-2】．数学王老师在网课期间给学生上直播课，用到一个直播仪器，如图是它的示意图，折线固定不动，垂直水平桌面于点A，伸缩杆可绕点C自由转动，支架始终垂直于水平桌面，经测量：，当平行于桌面时，求支架的端点E到水平桌面的距离．（结果精确到，） 【答案】支架的端点E到水平桌面的距离为． 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交水平桌面于点F，过点B作于点G，过点C作于点H，证明四边形，四边形都是矩形，得到，，，再求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而得到的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：延长交水平桌面于点F，过点B作于点G，过点C作于点H， 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：支架的端点E到水平桌面的距离为． 【变式12-3】．周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)米 (2)小开先到达山顶处，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形——坡度，仰角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，延长交于点，则，则有四边形是矩形，所以，根据题意可得米，米，，然后通过坡度，解直角三角形即可求解； （）由（）得，米，米，米，求出米，则米，再求出（米），再通过“时间路程速度”，然后比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点，过作于点，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得米，米，， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴米； （2）解：小开先到达山顶处，理由， 由（）得，米，米，米， 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵为中点， ∴（米）， ∴小南先到达山顶处的时间为： （分）； 小开先到达山顶处的时间为： （分）， ∵， ∴小开先到达山顶处． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 【答案】C 【分析】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．应用含的式子表示出，．根据得方程即可求出山高． 【详解】解：设山高为x， 在中有：， 在中有：， 而， 解得米． 故选：C． 3．某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查了坡度和勾股定理的应用．根据坡度设铅直高度为x，则水平宽度为，利用勾股定理列方程并解方程即可． 【详解】解：由，设铅直高度为x，则水平宽度为， 据勾股定理得，， 解得（负值已舍去） 故选A． 4．如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴； 故选D． 5．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 6．如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．25米 D．28米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点B作于点D，根据题意可得，四边形是矩形，再根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点B作于点D， 根据题意可知： ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得． 所以建筑物的高度为25米． 故选：C． 7．如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、仰角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，延长交于，在中，，设，则，由勾股定理求得，则米，米，延长交于，过作于，交于，求出（米），（米），然后证明四边形是矩形，则米，米，所以（米），在中，，则，即有（米），然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米， 延长交于，过作于，交于， ∵， ∴， 在中，米，， ∴米，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， 故选：． 8．光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，勾股定理．过D作于G，则四边形是矩形，利用勾股定理求出，可得，，求解，；代入计算即可． 【详解】解：，，， ， 过D作于G，则四边形是矩形， ，， ， ， ； 折射率． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为 ．（参考数据：） 【答案】107 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴原直角三角形玻璃的面积， 故答案为：107． 10．如图所示，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，秋千摆至最高位置时与竖直方向的夹角为，且两边的摆动角度相同，那么秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查三角函数求线段长，数形结合是解决问题的关键． 在中，由三角函数列式求解得到，数形结合表示出秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差即可得到答案． 【详解】解：在中，，，，则， 秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为， 故答案为：． 11．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角的含义并熟练地运用三角函数解决问题是关键． 过点A作，垂足为E，则，求解，，从而可得答案． 【详解】解：过点A作，垂足为E， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴该建筑的高度约为． 故答案为：． 12．如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，圆周角与弦、弧之间的关系，解直角三角形，勾股定理，过点作于点，通过轴对称的性质，可证，，然后，不妨设，然后在利用勾股定理求得答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示：   上一点关于直线对称的点落在上， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 不妨设， ， ， ， （舍去）或， ． 故答案为：． 13．如图，给出了一种机器零件的示意图，其中米，米，则 ． 【答案】米 【分析】作于，利用三角函数求出，再根据得出的长即可． 本题主要考查解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：作于， 由图知，与水平方向成夹角，米， （米， 与水平方向呈夹角， 是等腰直角三角形， 米， 米， （米， 故答案为：米． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 15．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 16．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用–仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米． 17．图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 【答案】68cm 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】过点作于点，如下图： ∵， ∴， 在中，，， ∴(cm)， ∴， 答：车位锁的底盒长为68cm． 18．某海域有，，三艘船正在捕鱼作业，船突然出现故障，向，两船发出紧急求救信号，此时船位于船的北偏西方向，距船36海里的海域，船位于船的北偏东方向，同时又位于船的北偏东方向． (1)求的度数； (2)船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到小时．参考数据：，． 【答案】(1) (2)B船约小时能到达A船出事地点 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． （1）根据两直线平行，同旁内角互补，得到的度数，则即可求得； （2）作于点H，解直角，求出，解直角，求出，进而求得时间． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，作，垂足为H． 在中，． ∵， ∴在中， ， ∵在中，， ∴， 则B船到A船出事地点的时间是：（小时）． 答：B船约小时能到达A船出事地点． 19．【情境】河北省吴桥县是我国著名的杂技之乡，高空走钢丝是群众喜欢的项目之一，演员在运动过程中钢丝绳的总长保持不变． 如图1，，均垂直于地面且高度相同，杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时； 如图2，当杂技演员走至钢丝绳中点时，恰好． 【探究】（1）求图1中的长； （2）求杂技演员从点走到点下降的竖直高度； 【拓展】（3）在从走向的过程中，杂技演员在钢丝绳上的位置记为点，当时，直接写出的长． （参考数据：取，取，取） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，先利用（1）的结论和线段中点的定义可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）连接，设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：（1）在中，，， ∴． 即的长约为； （2）过点作，垂足为， 点为钢丝中点，，， ， ∵在中，， ∴ ∵在中，， ， 下降的高度约为； （3）连接， ∵在中，， ， 设，则， ， ，即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 20．如图1是某学校门口安装的一款体温测量门，当学生从校门外进入学校时，体温门的显示屏上会出现该学生的体温．如图2，当小明从校外走到点处时，测量门的显示屏上开始显示额头温度，此时，在额头处测得门顶端的仰角；当小明向前行进到点处时，测量门停止显示额头温度，此时在额头处测得门顶端的仰角．已知测量门顶端距离地面的高度为，小明的身高为，请求出小明的有效测温区间的长．（额头到地面的距离以身高计，结果精确到．，，，， 【答案】长约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：米，，，从而可得米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，则题目可解． 【详解】解：由题意得： 米，，， 米， （米， 在中，， （米， 在中，， （米， （米， 米， 小明的有效测温区间的长约为米． 学科网（北京）股份有限公司 $