4.4.3 探索三角形相似的条件之翻折 专项练习 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

动态翻折之相似三角形的存在性问题 考点精讲 1、翻折隐藏的条件： （1）翻折前后的图形是全等的，可以转化边和角，会有角平分线。 （2）翻折问题常常用勾股定理建立等量关系。 （3）翻折直角，隐藏“K形”相似。 （4）折痕垂直平分对应点的连线。 2、相似三角形的存在性问题的解题步骤： （1）观察已知三角形的定点，定边，定角，确定的边角关系，例如已知三角形是有特殊锐角的直角三角形，或者已知三边之比的三角形等。 （2）观察要探索的三角形是否有定点，定边，定角，确定的边角关系。 （3）观察两个三角形是否有对应顺序，如果没有就需要分类讨论，先从对应角开始，一般来说可以确定一组对应角，然后分两种情况分类讨论。 （4）通过对应角的两组邻边之比建立等量关系，或者三角形的自身边之比是确定值来建立等量关系，也可以通过对应角，探索出现的边角关系，再建立等量关系。 经典例题 例1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边BC、AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为 变式练习： 1、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，D、E分别是边AB、AC上两点，将△ADE沿着直线DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，当△CEF与△ABC相似时，求折痕DE的长 ． 2、将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝5，BC＝6．若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长是 例2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4． （1）如图①，在AB上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标； （2）在（1）的条件下，如图②，若OE上有一动点P（不与O，E重合），从点O出发，以每秒1个单位的速度沿OE方向向点E匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5），过点P作PM⊥OE交OD于点M，连接ME，求当t为何值时，以点P、M、E为顶点的三角形与△ODA相似？ 变式练习： 1、在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点A坐标为（0，10），点B坐标为（8，0），以OA和OB为边构造矩形AOBC，已知点D在边OB上，把矩形AOBC沿AD翻折，点O恰好落在边BC上的点E处，延长AE交x轴于点F。在y轴上是否存在一点P，使得△ADF与△ADP相似？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 2、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别取OB，OC的中点D，E，连接AE、AD、ED，已知OB＝4．将△AED沿ED翻折，使得A落在点F处，连接AF．若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，要使得以点A，P，Q，为顶点的三角形与△AEF相似，求点P的坐标；若不存在，试说明理由． 例3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，AB＝5，BC＝10，点E为边BC上任意一点（点E与点B不重合），点F在射线AD上，且∠CEF＝∠BAE，EF与CD相交于点G． （1）如果AD＝5，求边CD的长； （2）在（1）条件下，连接DE．如果△FDG与△FED相似，求CE的长． 变式练习： 1、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD，点P为对角线BD上异于点B、D的一个动点，联结A、P，将△APB沿AP所在的直线翻折，使得点B落在点E的位置，连接AE交BD于F，求当△EPF和△ABD相似时，线段BP的长． 2、已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是边AD上一点，将△ABP沿直线PB翻折，使点A落在点E处，联结DE，直线DE与射线CB相交于点F． （1）如图1，当F在边BC上，若PD＝BF时，求AP的长； （2）如图2，直线DE与边AB相交于点G，若△PDE与△BEG相似，求∠AEG的度数； 第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 动态翻折之相似三角形的存在性问题 考点精讲 1、翻折隐藏的条件： （1）翻折前后的图形是全等的，可以转化边和角，会有角平分线。 （2）翻折问题常常用勾股定理建立等量关系。 （3）翻折直角，隐藏“K形”相似。 （4）折痕垂直平分对应点的连线。 2、相似三角形的存在性问题的解题步骤： （1）观察已知三角形的定点，定边，定角，确定的边角关系，例如已知三角形是有特殊锐角的直角三角形，或者已知三边之比的三角形等。 （2）观察要探索的三角形是否有定点，定边，定角，确定的边角关系。 （3）观察两个三角形是否有对应顺序，如果没有就需要分类讨论，先从对应角开始，一般来说可以确定一组对应角，然后分两种情况分类讨论。 （4）通过对应角的两组邻边之比建立等量关系，或者三角形的自身边之比是确定值来建立等量关系，也可以通过对应角，探索出现的边角关系，再建立等量关系。 经典例题 例1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边BC、AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为 【思路】观察已知三角形的定点，定边，定角，确定的边角关系，例如已知三角形三边之比为3:4:5的 直角三角形，要探索的△CDE，有确定的直角，需要讨论的是两个直角边CD：CE=3:4或CD：CE=4:3， 因为翻折，DE=EB，因此CE：DE=3:5或CE：DE=4:5 【解答】解：由题意可得， 当△CDE∽△CBA时， 则， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处， ∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4﹣CE， ∴， 解得CE； 当△CDE∽△CAB时， 则， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处， ∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4﹣CE， ∴， 解得CE； 由上可得，CE的长为或， 变式练习： 1、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，D、E分别是边AB、AC上两点，将△ADE沿着直线DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，当△CEF与△ABC相似时，求折痕DE的长 ． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°， ∴当△CEF与△ABC相似时，分两种情况讨论： ①如图，当△CEF与△ABC相似时，∠CFE＝90°， ∵将△ADE沿着直线DE翻折， ∴BF＝AB＝3， ∵BC＝5， ∴CF＝BC﹣BF＝2，AC＝4， 设AE＝x，则EF＝x，CE＝4﹣x， ∴x2+22＝（4﹣x）2， ∴x， ∴DE＝BE； ②如图，当△CEF与△CAB相似时，∠CFE＝90°， ∵∠DFE＝∠A＝90°， ∴四边形ADEF为正方形， 设AE＝EF＝x，CE＝4﹣x， ∵EF∥AB， ∴，即， ∴x， ∴DE， 故折痕DE的长为或． 2、将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝5，BC＝6．若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长是 【解答】解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合， ∴BF＝B′F， 设BF＝x，则CF＝10﹣x， ∵当△B′FC∽△ABC， ∴， ∵AB＝5，BC＝6， ∴， 解得：x， 即：BF， 当△FB′C∽△ABC，， ， 解得：x＝3， 故BF＝3或， 例2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4． （1）如图①，在AB上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标； （2）在（1）的条件下，如图②，若OE上有一动点P（不与O，E重合），从点O出发，以每秒1个单位的速度沿OE方向向点E匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5），过点P作PM⊥OE交OD于点M，连接ME，求当t为何值时，以点P、M、E为顶点的三角形与△ODA相似？ 【思路】（1）由翻折的性质可知OE＝5，然后利用勾股定理可求得CE＝3，从而求得点E的坐标，然后在三角形EDB中，利用翻折的性质和勾股定理可求得AD的长，从而可求得点D的坐标； （2）已知△ODA是直角三角形，OA：OD=2:1，再观察△PME有定角∠EPM＝90°，然后再讨论PE：PM=2:1或PE：PM=1:2也可以讨论∠PEM＝∠DOA或∠PME＝∠DOA．． 【解答】解：（1）由翻折的性质可知：OE＝OA＝5． 在Rt△OCE中，CE3． ∴点E的坐标为（3，4）． ∴EB＝CB﹣CE＝5﹣3＝2． 设AD＝x，则BD＝4﹣x． 由翻折的性质可知：ED＝AD＝x． 在Rt△BED中，EB2+BD2＝ED2，即22+（4﹣x）2＝x2． 解得：x＝2.5． ∴AD＝2.5． ∴点D的坐标为（5，2.5）． （2）由翻折的性质可知：∠OED＝∠DAO＝90°，∠DOE＝∠DOA． ∵PM⊥EO， ∴∠MPE＝90°． ∴∠MPE＝∠DAO． 当点P、M、E为顶点的三角形与△ODA相似时，有△PEM∽△AOD或△PME∽△AOD， ∴∠PEM＝∠DOA或∠PME＝∠DOA． ①当∠PEM＝∠DOA时，在△OPM和△EPM中，， ∴△OPM≌△EPM， ∴PE＝PO． ∴t＝2.5； ②当∠PME＝∠DOA时，OP＝t，则PE＝5﹣t． ∵∠DOE＝∠DOA， ∴tan∠DOE＝tan∠DOA， ∴． ∴PMt． ∵∠PME＝∠DOA ∴tan∠PME＝tan∠DOA， ∴．即． 解得：t＝4． 综上所述，当t＝2.5或4时，以点P、M、E为顶点的三角形与△ODA相似． 变式练习： 1、在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点A坐标为（0，10），点B坐标为（8，0），以OA和OB为边构造矩形AOBC，已知点D在边OB上，把矩形AOBC沿AD翻折，点O恰好落在边BC上的点E处，延长AE交x轴于点F。在y轴上是否存在一点P，使得△ADF与△ADP相似？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵点A坐标为（0，10），点B坐标为（8，0）， ∴OA＝10＝BC，OB＝AC＝8， ∵把矩形AOBC沿AD翻折，点O恰好落在边BC上的点E处， ∴AO＝AE＝10， ∴CE6， ∴BE＝4， ∴点E坐标为（6，4）， ∵BC∥AO， ∴△BEF∽△OAF， ∴， ∴， ∴AF； （2）∵把矩形AOBC沿AD翻折，点O恰好落在边BC上的点E处， ∴∠OAD＝∠DAE，OD＝DE， ∵DE2＝BE2+DB2， ∴DE2＝16+（8﹣DE）2， ∴DE＝5， ∴DO＝5， 如图，当∠APD＝∠AFD＝90°时，△ADF∽△ADP， ∵∠DAP＝∠DAF，∠APD＝∠AFD，AD＝AD， ∴△ADP≌△ADF（AAS）， ∴AF＝AP， ∴OP＝AP﹣AO， ∴点P（0，）， 当∠ADP'＝∠AFD时，△ADF∽△AP'D， ∵∠ADO＝∠DAF+∠AFD＝∠ADP'+∠ODP'， ∴∠ODP'＝∠DAF＝∠OAD， 又∵∠DOP'＝∠AOD＝90°， ∴△AOD∽△DOP'， ∴， ∴， ∴OP'， ∴点P'（0，）， 综上所述：点P（0，）或（0，）． 2、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别取OB，OC的中点D，E，连接AE、AD、ED，已知OB＝4．将△AED沿ED翻折，使得A落在点F处，连接AF．若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，要使得以点A，P，Q，为顶点的三角形与△AEF相似，求点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【解答】解：将△AED沿ED翻折，使得A落在点F处，如图，设AF交DE于K， ∵AE＝AD， ∴DE垂直平分AF， ∵OE＝OD＝2， ∴O在ED的垂直平分线上，即O在AF上且∠EOK＝∠DOK＝45°， ∴， ∵， ∴， ∴AK＝3DK， ①点Q在x轴的上方时，如图，过点A作AH⊥PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M， 设AM＝t． ∵△AEF∽△APQ， ∴PH＝3AH， ∵HN∥OQ，QH＝HP， ∴ON＝NP， ∴HN是△PQO的中位线， ∴ON＝PN＝4﹣t， ∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°， ∴△HMA∽△PNH， ∴， ∴HN＝3AM＝3t， ∴MH＝MN﹣NH＝4﹣3t， ∵PN＝3MH， ∴4﹣t＝3（4﹣3t）， ∴t＝1， ∴OP＝2ON＝2（4﹣t）＝6， ∴P（6，0）； 如图中，过点H作HI⊥y轴于I，过点P作PN⊥x轴交IH于N，延长BA交IN于M． 同法可证：△AMH∽△HNP， ∴， 设MH＝t， ∴PN＝3MH＝3t， ∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣4， ∵HI是△OPQ的中位线， ∴OP＝2IH， ∴HI＝HN，HN＝3AM， ∴4+t＝9t﹣12， ∴t＝2， ∴OP＝2HI＝2（4+t）＝12， ∴P（12，0）； ②点Q在x轴的下方时，如图，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH于N． ∵MH是△QAC的中位线， ∴， 同法可得：△HPN∽△QHM， ∴， ∴， ∴， 设HN＝t，则MQ＝3t， ∵MQ＝MC， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 如图，QH＝3PH，过点H作HM⊥x轴于M交AC于I，过点Q作QN⊥HM于N． ∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝3， 同法可得：△PMH∽△HNQ， ∴，则， 设PM＝t，则HN＝3t， ∵HN＝HI， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的点P的坐标为（6，0）或（12，0）或或． 例3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，AB＝5，BC＝10，点E为边BC上任意一点（点E与点B不重合），点F在射线AD上，且∠CEF＝∠BAE，EF与CD相交于点G． （1）如果AD＝5，求边CD的长； （2）在（1）条件下，连接DE．如果△FDG与△FED相似，求CE的长． 【思路】（1）过点D作DH⊥BC于点H，可得四边形ABHD是矩形，可得DH＝HC＝5，再由勾股定理即可求解； （2）通过观察△FDG与△FED有共同的角∠DFG，且∠FDG=45°，那么∠DEF=45°。△FDG与△FED相似时，只能是∠FDC＝∠DEF＝45°。已知“k形”相似，转化出∠AEF=90°，进而求出∠AED=45°，又因为∠ABD=45°，因此A、B、E、D四点共圆，根据圆内接四边形对角互补，所以∠ADE＝90°，从而得出四边形ABED是矩形，由于对面相等，从而求出BE和CE。 【解答】解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC于点H， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B＝90°， ∴∠BAD＝∠B＝∠DHB＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴DH＝AB＝5，AD＝BH＝5， ∴HC＝BC﹣BH＝10﹣5＝5， ∴DH＝HC＝5， ∴∠C＝45°， 由勾股定理可得：； （2）如图2，连接AE 图2 由（1）知：∠C＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠FDC＝∠C＝45°， ∵∠FGD＞∠DEA， ∴△FDG与△FED相似时，∠FDC＝∠DEF＝45°， ∵∠CEF＝∠BAE ∴∠AEF＝90°， ∴∠AED＝45°， ∵AB＝AD＝5，∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝45°， ∴∠ABD＝∠AED， ∴A、B、E、D四点共圆 ∴∠ADE＝90° ∴四边形ABED是矩形， ∴BE＝AD＝5， ∴CE＝10﹣5＝5． 变式练习： 1、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD，点P为对角线BD上异于点B、D的一个动点，联结A、P，将△APB沿AP所在的直线翻折，使得点B落在点E的位置，连接AE交BD于F，求当△EPF和△ABD相似时，线段BP的长． 【解答】如图作PM⊥AB于M，在AM截取一点N，使得AN＝PN． ∵∠E＝∠ABC＝30°， ∴当∠EPF＝∠DAB＝90°时，△EPF∽△BAD， ∴∠EFP＝∠AFD＝∠ADF＝60°， ∴∠DAF＝60°，∠EAB＝30°， ∴∠PAB＝∠PAE＝15°， ∵AN＝PN， ∴∠NAP＝∠NPA＝15°， ∴∠PNM＝30°， 设PM＝m，则PN＝PB＝2x，MN＝BMx， ∴2x+2x＝3， ∴x（1）， ∴PB＝2x（1）． 2、已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是边AD上一点，将△ABP沿直线PB翻折，使点A落在点E处，联结DE，直线DE与射线CB相交于点F． （1）如图1，当F在边BC上，若PD＝BF时，求AP的长； （2）如图2，直线DE与边AB相交于点G，若△PDE与△BEG相似，求∠AEG的度数； 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴PD∥BF， ∵PD＝BF， ∴四边形PBFD是平行四边形， ∴BP∥FD， ∴∠APB＝∠ADF，∠BPE＝∠PED， 由折叠可知，∠APB＝∠BPE，AP＝PE， ∴∠ADF＝∠PED， ∴PD＝PE， ∴AP＝PD， ∵BC＝8， ∴AD＝8， ∴AP＝4； （2）设∠ADG＝α， ∵当△PDE∽△BEG时，∠GEB＝∠PDE＝α， ∴∠BGE＝90°+α， ∴∠GBE＝90°﹣2α， 由折叠可知，∠ABP＝∠PBE＝45°﹣α， ∵PB⊥AE， ∴∠AEB＝90°﹣∠PBE＝45°+α， ∴∠AEG＝∠AEB﹣∠GEB＝45°； 当△PDE∽△EBG时，∠PDE＝∠GBE＝α， ∴∠ABP＝∠PBEα， ∴∠APB＝∠BPE＝90°α， ∴∠DPE＝α， ∴∠GEB＝∠DPE＝α， ∵∠BGE＝90°+∠ADE＝90°+α， 在△PDE中，90°+3α＝180°， ∴α＝30°， ∴∠AEG＝∠AEB﹣∠GEB＝90°α﹣α＝45°； 综上所述：∠AEG＝45°； 第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $