5.3.3 去括号与去分母 基础讲义 2025-2026学年 青岛版 数学七年级上册

2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第5章 一元一次方程 5.3 一元一次方程的解法 第3课时 去括号与去分母 导入新课 这节课,我们将继续学习如何解含有括号、分母的一元一次方程。 我们先来复习一下几个相关的基础知识: (1)去括号法则是什么? 括号前面是“+”号时,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号都不改变; 括号前面是“-”号时,把括号和它前面的“-”号去掉后,括号里各项的符号都改变。 (2)给下列各式去括号: ①x+(z-y)= 。 ②a-(b-c)= 。 a-b+c x+z-y ①x+(z-y)= 。 ②a-(b-c)= 。 (3)之前学过的解一元一次方程的步骤有哪些? 移项、合并同类项、系数化为1。 (4)解方程:2x+5=3x-1。 解：移项,得2x-3x=-1-5。 合并同类项,得-x=-6。 系数化为1,得x=6。 思考与交流 知识点一：解一元一次方程——去括号 （1）如何解方程5x-10=3(x+2)? 思考：这个方程是否能用之前学过的解方程的步骤来解决? 如果不能,该怎么解方程呢? 它和我们之前会解的方程有什么区别? 不能用我们之前学过的解方程步骤来解这个方程; 需要先把方程右边的括号去掉,那样就可以把它转化为我们会解的方程; 与我们之前会解的方程比较,这个方程多了括号。 那解这道题,第一步应该做什么? 其依据是什么? 第一步:将方程右边的括号去掉,转化为会解的方程; 其依据是:去括号法则(基于乘法分配律)。 解:去括号,得5x-10=3x+6。 移项,得5x-3x=6+10。 合并同类项,得2x=16。 系数化为1,得x=8。 练习 解下列方程: (1)3(x-2)=x; (2)3-(x+1)=-2(2+5x)。 易错提示：（1）去括号时，括号外的因数要乘括号内的每一项，不可漏乘任何一项。如题（1）中括号外的3既要乘括号内的x也要乘-2。（2）解方程中去括号的目的是将方程化简，如果括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应项的符号相反。如本题（2）中的“-(x+1)”去括号后应为“-x-1”。 解:(1)去括号,得3x-6=x。 移项,得3x-x=6。 合并同类项,得2x=6。 系数化为1,得x=3。 (2)去括号,得3-x-1=-4-10x。 移项,得10x-x=-4-3+1。 合并同类项,得9x=-6。 系数化为1,得x=-。 知识点二：解一元一次方程——去分母 （2）如何解方程x+x+2=1呢? 方法一:可以先通分,再计算; 方法二:先把分数系数化为整数系数,再求解。 方法二: 6×x+6×x+6×2=6×1, 2x+9x+12=6, 11x=-6, x=-。 解:方法一: x+x+2=1, x=1-2, x=-1, x=-。 两种方法的第一步分别采用了什么数学操作？两种方法中,优先推荐哪一种？请说明理由。 方法一:通过通分,把未知数的系数变成相同分母的分数,再合并同类项。 方法二:应用等式的基本性质(等式两边同乘同一个非零数),使未知数的系数由分数变成整数。 推荐方法二(应用等式性质)。 理由:通过等式两边同乘同一个非零数,将分数系数转化为整数系数,避免分数运算,降低计算复杂度。 方法二中,方程两边同时乘什么数? 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。 概括与表达 方程中含有分母,可以根据等式的基本性质2,两边都乘各分母的最小公倍数,就转化为没有分母的方程了,这个过程叫作去分母。 助记： 去分母，很重要，公倍数，找最小，两边都乘不能少，无分母，要小心，若是漏乘就糟糕。 （3）按照刚才的方法二,解方程:+2=。 解法2: 去分母,得5(-8)+20=2。 去括号,得5-40+20=2。 合并同类项,得5-20=2。 移项,得5-2=20。 合并同类项,得3=20。 系数化为1,得。 解法一： 去分母,得5(x-8)+20=2。 去括号,得5-40+20=2。 移项,得5-2=40-20。 合并同类项,得3=20。 系数化为1,得=。 思考：解法2的解题过程合理吗？为什么？ 解法2在移项前先合并了方程一侧的常数项,这一操作是合理的。 因为当方程同侧含多个常数项时,先合并可以简化结构。 注:解方程的步骤不是固定不变的,而是可以根据具体题型适当变通。解方程的本质是等价转化,核心在于把握“化归思想”而非机械步骤。 知识点二：解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的基本步骤有哪些? 概括与表达 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 步骤 依据 过程 注意事项 去分母 等式基本性质2 在方程的两边都乘所有分母的最小公倍数 ①不要漏乘不含分母的项；②若分子是一个多项式，需要加上括号 去括号 去括号法则 顺序①：先去小括号，再去中括号，最好去大括号； 顺序②：先去大括号，再去中括号，最后去小括号 ①不要漏乘括号里的项；②括号前是负号时不要弄错符号 移项 等式基本性质1 通常把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边 ①移项要变号； ②不要丢项 合并同类项 合并同类项法则 把方程逐步化为ax=b的形式（a,b为常数，a≠0） ①未知数及其次数不变，系数相加；②不要漏项 系数化为1 等式基本性质2 把方程化为x=（a,b为常数，a≠0）的形式 切忌分子、分母位置颠倒 例题讲解 例1 解下列方程: (1)7x-(2+x)=4(x-3); (2) - = 1。 解:（1）去括号，得 7x-2-x=4x-12。 移项，得 7x-x-4x=-12+2。 合并同类项，得 2x=-10。 系数化为1，得 x=-5。 （2）去分母，得 3（x-2）-4（2x-5）=12。 去括号，得 3x-6-8x+20=12。 移项，得 3x-8x=12+6-20。 合并同类项，得 -5x=-2 系数化为1，得 x=。 注意：①解一元一次方程的几个步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）不一定全用到，要注意根据方程的特点灵活选用解一元一次方程的步骤，也不一定非要按“一般步骤”的顺序，适合先去分母的要先去分母，适合先去括号的要先去括号。 ②去分母、去括号时，注意不要漏乘，尤其注意不要漏乘常数项，移项时要注意变号。 例2 解方程： （1） - = 1-； （2） （）=（）+0.1； （3） 〔（-）-8〕= 。 分析：题（1）按照解一元一次方程的一般步骤求解； （2）方程中既含有分母，又含有括号，根据方程的形式特点，还是先去分母比较方便； （3）先去括号再去分母比较方便。 解:（1）去分母，得 3（5x+1）-2（2x-1）=12-（3-x）。（不含分母的项不要漏乘各分母的最小公倍数） 去括号，得 15x+3-4x+2=12-3+x。 移项，得 15x-4x-x=12-3-3-2。 合并同类项，得 10x=4。 系数化为1，得 x=。 （2）去分母，得 65（）=37（）+10。 去括号，得 65=+10。 移项，得 65=+10+65。 合并同类项，得 =112。 系数化为1，得 =4。 （3）去括号，得 - 8=，这两步可省略 即 （ - ）- 6=， - - 6=。 去分母，得 2x-1-24=6。 移项，得 2x-6x=24+1。 合并同类项，得 -4x=25。 系数化为1，得 x=-。 素养点拨： 本题通过解一元一次方程，能快速掌握解一元一次方程的一般步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并掌握每一步的注意事项，培养运算意识，提高运算能力。 课堂巩固 1. 解方程 -（2x-3）= x，以下去括号正确的是（ ） A.-2x-3= x B. 2x-3= x C. -2x+3= x D. -2x+3= -x 解析：去括号，得 -2x+3= x。 答案： C。 2. 解方程 - =2错误的步骤是（ ） A.去分母：2（x+1）-3 （x-1）=24。 B. 去括号：2x+2-3x-3=24 C. 合并同类项：- x=19 D.系数化为1：x=-19 分析：B项错误。因为如果括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应项的符号相反。 答案：B。该步骤应为：去括号：2x+2-3x+3=24。 练习（p114） 1. 解下列方程： （1）6x-3（11-2x）=-1； （2） = 。 解：（1）去括号，得 6x-33+6x=-1。 移项，得 6x+6x=-1+33。 合并同类项，得 12x=32。 系数化为1，得 x=。 （2）去分母，得 3（x+5）=5（3-2x）。 去括号，得 3x+15=15-10x。 移项，得 3x+10x=15-15。 合并同类项，得 13x=0。 系数化为1，得 x=。 2. 解下列方程： （1）x +（20-x）= 8； 解：去分母，得2x+3（20-x）=48。 去括号，得 2x+60-3x=48。 移项，得 2x-3x=48-60。 合并同类项，得-x=-12。 系数化为1，得x=12。 （2） - = 。 解：去分母，得3（3x-1）- 2（5x-2） =6。 去括号，得 9x-3-10x+4=6。 移项，得 9x-10x=6-4+3。 合并同类项，得-x=5。 系数化为1，得x=-5。 重点内容总结 移项 一般情况下，把含有未知数的项都移到等号的左边，常数项都移到等号的右边 系数化为1在方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x=(a≠0） 合并同类项 把方程化成ax=b(a≠0）的形式 去括号 注意不要漏乘 解一元一次方程的一般步骤 去分母 每一项乘各分母的最小公倍数 1 学科网（北京）股份有限公司 $