4.3.1等比数列的概念第2,3课时 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念第2-3课时（3课时）P31-P34 陶新军 1（1） 学习目标 核心素养 1.探究等比数列的下标与项的性质。 逻辑推理 2.如何构造新的数列，会证明是等比数列。 逻辑推理 3.应用探究（1）求等比数列求基本量。 （2）等比数列前n项积最值。 （3）判断证明是等比数列。 （4）利用等差或等比巧设未知量。 （4）数列实际应用题。 数学运算 1分钟（读） 1（2） 一.新课引入：复习定义、通项公式 3（5） 二.概念形成：探究等比数列的下标与项的性质 问题1 等比数列若m＋n＝s＋t(m，n，s，t∈N*)， ， ， 所以am·an＝as·at. 求证：am·an＝as·at. A 三.应用探究：1求等比数列基本量 解法2： ))=) 3+2（10） 三.应用探究：1求等比数列基本量 4+1（15） 三.应用探究：2求等比数列前n项积最值 5（20） 三.应用探究：2求等比数列前n项积最值 5（20） 三.应用探究：2求等比数列前n项积最值 3+2（25） 练习3（课本5）.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值. 三.应用探究：2求等比数列前n项积最值 课本P34 3+2（30） 三.应用探究：3判断是否是等比数列 课本P32 例3 5（35） 思考 已知b>0且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列 是否一定是等比数列? 如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列? 三.应用探究：3判断是否是等比数列 5（40） 三.应用探究：3判断是否是等比数列 5（40） 三.应用探究：3判断是否是等比数列 3+2（45） 三.应用探究：3判断是否是等比数列 3+2（45） 练习5.（课本5）已知数列{an}是等比数列. (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么? 当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗? 三.应用探究：3判断是否是等比数列 课本P31 2+1（48） 练习6.（课本2）设数列{an}, {bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列，若是，证明结论；若不是，请说明理由. 三.应用探究：3判断是否是等比数列 课本P34 2+1（51） 练习7（课本1）.求满足下列条件的数: (1) 在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列; (2) 在160与－5中间插入4个数，使这6个数成等比数列. 三.应用探究：3判断是否是等比数列 课本P34 2+1（54） 三.应用探究：3判断是否是等比数列 1（55） 例4 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 三.应用探究：4巧设未知量 5（60） 三.应用探究：4巧设未知量 0（60） 练习8 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数． 三.应用探究：4巧设未知量 3+1（64） 例5 用10000元购买某个理财产品一年. (1) 若以月利率0. 400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到1元)? (2) 若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)? 三.应用探究：5数列实际应用题 课本P31 3+3（70） 3+3（76） 三.应用探究：5数列实际应用题 课本P33 例6 （课本例6）某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%。从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内? 练习9（课本3）. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017 年全年生产新能源汽车5000辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆(精确到1)? 练习10（课本4）.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240. 这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少(精确到0.01)? 三.应用探究：5数列实际应用题 课本P34 2+2（80） 四、总结归纳 知识点： 题型： 方法： 作业：学科网搜4.3.1等比数列的概念第2-3课时 同步练习 1（80） 1等比数列性质 （1）求等比数列求基本量。 （2）等比数列前n项积最值。 （3）判断证明是等比数列。 （4）利用等差或等比巧设未知量。 （4）数列实际应用题。 （1）定义法 （2）方程法性质法。 （3）性质法。 板书设计 (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. (2)对有穷等比数列，与首、末两项“等距离”的两项之积等于首、末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 例1 等比数列{an}的各项均为正数，且a6a7＋a5a8＝18， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝(　　) A．12 B．10 C．8 D．6 解法1：根据等比数列性质，可得a6a7＝a5a8＝9， log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝log3(a1a2…a12)＝log3(a6a7)6＝log3312＝12. 解：由题意得a＝a3a7＝2a，∴q＝， 又∵a3＝1，∴a2＝＝. 练习1 (1) 若数列{an}是递增的等比数列，a2a5＝20，a1＋a6＝9，则a11＝(　　) A．5　　　　 B． C． D． (2)已知各项都为正数的等比数列{an}满足a3a7＝2a，a3＝1，则a2＝(　　) A． B． C． D．2 解：由题意得a1a6＝a2a5＝20，a1＋a6＝9，a1<a6. ∴a1, a6是一元二次方程x2－9x＋20＝0的两个根， ∴a1＝4，a6＝5，∴q5＝，a11＝a1q10＝4×＝. ∴an＝27×＝34-n. 当1≤n≤4时，an≥1； 当n≥5时，0<an<1. 故a1·a2·…·an的最大值为a1·a2·a3·a4＝33+2+1+0＝36＝729. 此时n=3或4 解：设公比为q，∵a1＋a3＝30，a2＋a4＝10， ∴q＝＝，∴a1(1＋)＝30，解得a1＝27. 例2若等比数列{an}(n∈N*)满足a1＋a3＝30，a2＋a4＝10，则a1·a2·…·an的最大值为________,此时n= 解：设公比为q，∵a1＋a3＝30，a2＋a4＝10， ∴q＝＝，∴a1(1＋)＝30，解得a1＝27. ∴an＝27×＝34-n. 当1≤n≤4时，an≥1； 当n≥5时，0<an<1. 故a1·a2·…·an的最大值为a1·a2·a3·a4＝33+2+1+0＝36＝729. 例2若等比数列{an}(n∈N*)满足a1＋a3＝30，a2＋a4＝10，则a1·a2·…·an的最大值为________． 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．　 练习4 设数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，其中a1＝1.求证：是等比数列． 证明：令,(n∈N*)， ∴/()＝/() ＝/()＝＝2， ∴是首项为＝＝2，公比为2的等比数列． 练习4 设数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，其中a1＝1.求证：是等比数列． 证明：令,(n∈N*)， ∴()/()＝/() ＝/()＝/()＝2， ∴是首项为＝＝2，公比为2的等比数列． 由等比数列衍生的新数列 (1)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列． (2)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为______和________． (3)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是________________． 解：由题意设这四个数分别为，b，bq，a， 则有解得或 所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. $