专题04 函数与方程四类综合问题（压轴题专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题04函数与方程四类综合题型 目录 典例详解 类型一、确定函数零点或方程实根个数 类型二、确定函数零点或方程实根所在区间 类型三、由函数零点或方程实根满足条件求参数范围 压轴专练 类型一、确定函数零点或方程实根个数 1.函数的零点 对于函数y＝f (x)(x∈D),把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标,函数的零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数时,函数值为零. 2.函数有零点的几个等价关系 方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点． 3.确定函数零点个数的方法 (1)利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几个零点. (2)利用函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数,从而判定零点的个数. (3)结合函数的单调性.若函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,利用f(a)·f(b)<0,结合单调性可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题. 【例1】已知函数,关于轴对称,且当时,,则方程解的个数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【解析】依题意,是偶函数,定义域为,时,； 当时,,；当时,,；当时,,； 当,,,,,以此类推可知当时,． 由此画出在区间间上的图象,如图所示： 由图可知,与的图象在上有个交点,又因为函数为偶函数, 所以与的图象在上也有个交点,所以与的图象在上有个交点,所以方程解的个数为．故选A． 【变式1-1】已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,, 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（    ）. A．有4 个零点,其中只有一个零点在区间上 B．有4 个零点,其中两个零点在区间上,另外两个零点在区间上 C．有5 个零点,两个正零点中一个在区间上,一个在区间 上 D．有5 个零点,都不在上 【答案】D 【解析】由于函数是定义在R上的奇函数,故,即0是函数的一个零点； 当时,,此时函数在上单调递减,在上单调递增,且,即此时函数在和内各有一个零点,在上无零点,又函数是定义在R上的奇函数,故函数在和也内各有一个零点, 综合上述可知函数有5 个零点,都不在上故选D 类型二、确定函数零点或方程实根所在区间 1.函数的零点存在性定理 如果函数y＝f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a)·f (b)<0,那么,函数y＝f (x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f (c)＝0,这个c也就是方程f (x)＝0的根． 2.理解函数零点存在定理要注意三点： (1)“函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可．如图①仅满足前者,图②仅满足后者,两函数均无零点． 　　　　 图①图② (2)定理不可逆,就是说满足了(1)中的两个条件的函数一定有零点,但是一个函数有零点,不一定需要具备这两个条件．如图③f(a)f(b)＞0,但函数有零点． 　　　　 图③图④ (3)该定理只能判断出零点的存在性,而不能判断出零点的个数．至少存在一个零点,就是说满足了(1)中的两个条件的函数一定至少有一个零点,但不一定只有一个零点,可能有其他更多的零点,如图④.但若该函数是单调函数,则有唯一零点． 3.判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断. (3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点. 【例2】函数,其中是一个常数,计算知,则方程的根所在的区间是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】由得,又函数的图象是连续不断的,且单调递增根据零点存在性定理可知,函数f(x)的一个零点,且唯一,即方程的根所在的区间是,故选B. 【变式2-1】设,用二分法求方程的近似解的过程中,有,,,则该方程的根所在的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】因为,根据函数解析式可分析得函数为单调递增的连续函数,由已知,,所以,根据零点存在定理定理可知,方程的根所在区间为,故选B 类型三、由函数零点或方程实根满足条件求参数或代数式范围 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解． 【例3】已知函数,若函数有三个零点,则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】易知为的零点,当时,令,得,令,可得到,作出的图像,如下图,依题意,只需与有两个交点即可.由图可得.    【变式3-1】设常数,,设,若函数恰有三个零点,则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题设,又函数恰有三个零点, 所以与有三个交点,而的大致图象如下, 由图及已知,,即参数取值范围为. 【例4】已知函数若方程有且仅有5个不同实数根,则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意作出函数的图像, 由,令,有,即,化简得,解得或,若方程有且仅有5个不同实数根,所以或,解得或, 即,所以 【变式4-1】设函数,若关于的函数恰好有六个零点,则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作出函数的图象如下： 令,则可化为,依题意,要使函数恰好有六个零点,则方程在内有两个不同的实数根,解得：,解得．实数的取值范围为． 【例5】设,若实数满足：,则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作出的图象,如图所示, 令,由图可知：, 且,解得,则, 因为,则,可得,所以的取值范围是. 【变式5-1】已知函数,若方程有四个不同的解,且,的取值范围是 . 【答案】 【解析】作函数的图象如下图所示： 由图象可知,方程有四个不同的解,且, 需满足,则由二次函数的对称性可知,, 由对数函数的图象及性质可知,,,, 则,,∴,, 而函数在递减,在上递增, 当时,,当或4时,,故其取值范围为. 一、填空题 1．已知函数,若存在实数,使得方程无解,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数在定义域上单调递增,函数在上单调递减,在上单调递增,若存在实数,使得方程无解,可知函数的值域不为, 当时,在上单调递增,在上单调递增,则,解得； 当时,在上的最小值为,则,解得；综上所述：实数的取值范围是. 22．已知函数,则函数有 个零点． 【答案】7 【解析】令,则,设,则方程化为, 函数的零点个数即为方程解的个数, 二次函数的图象开口向上,过点,对称轴为,最小值为, 作出函数的图象,如图, 由图知有3个根,当时,,解得； 当时,,解得, 在方程中,当时,有1个解,有2个解,共3个解； 当时,有1个解,有2个解,共3个解； 当时,有1个解,无解,共1个解, 所以函数有7个零点. 3．已知函数．若 只有2个零点,则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时,,当时,, 所以只有一个零点,即,若 只有2个零点,显然,故也是的一个零点,若,则函数没有零点,此时 只有1个零点,故不符合题意,所以,当时,,若要满足题意的话,则有一个不同于的零点,所以,解得,综上所述,的取值范围是. 4．若常数,则关于的方程的实数根的个数是 . 【答案】1 【解析】由题设,令,,,由幂函数、指数函数的性质易知在R上单调递增,在R上单调递减, 且,趋向于,趋向于；,趋向于,趋向于0； 所以与有且仅有一个交点,即原方程实数根个数为1. 5．已知定义在正实数集上的函数,设是互不相同的实数,满足,则的取值范围为 . 【答案】 【解析】,令,解得；令,解得； 令,则；由,则在上单调递减,在单调递增,在单调递减.画出的图象如下图所示, 由题意是互不相同的实数,满足,不妨设. 则由图可知,.则由, 可得,解得.结合图象可知, 所以的取值范围是. 6．设,已知关于x的方程存在四个实数根,且,则 【答案】4 【解析】记,则问题转化为：已知关于的方程,且,求的值.由得, 或,不妨设前者的两根为,后者的两根为, 则由韦达定理得,, 所以,即,解得, 所以. 7．已知,,若有两零点、,且,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由可得,等式两边同除以,可得. 令,可得,即,设, ①当时,作出函数与函数的图象如下图所示, 若使得两个函数的图象有两个交点,则,解得,且, 由,解得,由,解得, ,不合乎题意； ②当时,作出函数与函数的图象如下图所示, ,此时两个函数图象没有交点,不合乎题意； ③当时,则, 两个函数图象没有交点,不合乎题意； ④当时,作出函数与函数的图象如下图所示, 此时,两个函数的图象有两个交点,且, （i）若,即时, 由,解得,由,解得, ,合乎题意； （ii）若时,则,则,不合乎题意； （iii）当,即时, 由,可得,由,可得, 此时,不合乎题意.综上所述,的取值范围是. 二、选择题 8．已知函数,若方程的实数解恰有两个,则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当时,函数在上单调递减,函数值集合为, 在上单调递增,函数值集合为； 当时,在上递增,函数值集合为R, 在直角坐标系内作出函数的图象与直线,    由图象知,当或时,直线与函数的图象有两个交点, 即方程有两个实数解.故选C. 9．已知函数,若存在不相等的实数,满足,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象对称轴,, 函数在上单调递增,函数值集合为,在上单调递减,函数值集合为, 在单调递减,函数值集合为,在上单调递增,函数值集合为, 令,则函数的图象与直线有4个交点, 在同一坐标系内作出函数的图象与直线, 观察图象,得,,由,得, 由,得,则, 函数在上单调递减,,因此, 所以的取值范围为.故选C 10．已知存在实数满足,则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为,所以当时, 则在上单调递增,在上单调递减,当时,所以在上单调递增,所以的图象如下所示,又,,,∵存在,满足, 函数图象可知,,, 所以, ∴,即,,的取值范围是.故选B． 三、解答题 11．已知函数的定义域为的偶函数．对于正实数a,定义集合．且对任意,均有．若,证明：对任意实数c,函数在上至多有9个零点． 【解析】在,的解析式不确定,但可以证明在这两个区间都是单射, 任取,若, 则, 所以,进而有, 所以, 所以,所以． 类似可知在也是单射,根据偶函数得在也是单射, 可知在,,,,0,,,2,部分最多各有一个零点, 所以对任意实数c,函数在上至多有9个零点． 12．已知,； (1)当时,解方程； (2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求实数的值； (3)若对任意,函数在区间上总有意义,且最大值与最小值的差不小于2,求的取值范围； 【解析】（1）当a＝1时,不等式化为, ∴,且, ∴,解得或（舍去）； （2）由,得, 即,所以, 当时,则,解得,经过验证此时满足题意； 当时,①若,则,此时解得．经过验证满足题意； ②若时,方程有两不等实根, 设为,显然, 由,得,因为,所以, 即 所以都满足,所以此时不满足题意. 综上可得或； （3）因为对任意,函数在区间上总有意义, 所以对恒成立, 因为在上为减函数,故只需对任意恒成立, 所以只要,故,解得 对任意,函数在区间上单调递减, 所以函数在区间上最大值为,最小值为, 所以,所以, 即任意恒成立, 令 当时,, 当时,,矛盾； 当时,在上单调递增, 所以时,取得最大值,且最大值为, 所以当时不满足. 当时,对任意恒成立, 有以下三种情况： ①,解得,结合得. ②,由得 ,而,故此情况无解. ③,解得,此时无解. 所以实数的取值范围是． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04函数与方程四类综合题型 目录 典例详解 类型一、确定函数零点或方程实根个数 类型二、确定函数零点或方程实根所在区间 类型三、由函数零点或方程实根满足条件求参数范围 压轴专练 类型一、确定函数零点或方程实根个数 1.函数的零点 对于函数y＝f (x)(x∈D),把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标,函数的零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数时,函数值为零. 2.函数有零点的几个等价关系 方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点． 3.确定函数零点个数的方法 (1)利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几个零点. (2)利用函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数,从而判定零点的个数. (3)结合函数的单调性.若函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,利用f(a)·f(b)<0,结合单调性可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题. 【例1】已知函数,关于轴对称,且当时,,则方程解的个数为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【解析】依题意,是偶函数,定义域为,时,； 当时,,；当时,,；当时,,； 当,,,,,以此类推可知当时,． 由此画出在区间间上的图象,如图所示： 由图可知,与的图象在上有个交点,又因为函数为偶函数, 所以与的图象在上也有个交点,所以与的图象在上有个交点,所以方程解的个数为．故选A． 【变式1-1】已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,, 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（    ）. A．有4 个零点,其中只有一个零点在区间上 B．有4 个零点,其中两个零点在区间上,另外两个零点在区间上 C．有5 个零点,两个正零点中一个在区间上,一个在区间 上 D．有5 个零点,都不在上 类型二、确定函数零点或方程实根所在区间 1.函数的零点存在性定理 如果函数y＝f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a)·f (b)<0,那么,函数y＝f (x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f (c)＝0,这个c也就是方程f (x)＝0的根． 2.理解函数零点存在定理要注意三点： (1)“函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可．如图①仅满足前者,图②仅满足后者,两函数均无零点． 　　　　 图①图② (2)定理不可逆,就是说满足了(1)中的两个条件的函数一定有零点,但是一个函数有零点,不一定需要具备这两个条件．如图③f(a)f(b)＞0,但函数有零点． 　　　　 图③图④ (3)该定理只能判断出零点的存在性,而不能判断出零点的个数．至少存在一个零点,就是说满足了(1)中的两个条件的函数一定至少有一个零点,但不一定只有一个零点,可能有其他更多的零点,如图④.但若该函数是单调函数,则有唯一零点． 3.判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断. (3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点. 【例2】函数,其中是一个常数,计算知,则方程的根所在的区间是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】由得,又函数的图象是连续不断的,且单调递增根据零点存在性定理可知,函数f(x)的一个零点,且唯一,即方程的根所在的区间是,故选B. 【变式2-1】设,用二分法求方程的近似解的过程中,有,,,则该方程的根所在的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 类型三、由函数零点或方程实根满足条件求参数或代数式范围 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解． 【例3】已知函数,若函数有三个零点,则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】易知为的零点,当时,令,得,令,可得到,作出的图像,如下图,依题意,只需与有两个交点即可.由图可得.    【变式3-1】设常数,,设,若函数恰有三个零点,则的取值范围是 ． 【例4】已知函数若方程有且仅有5个不同实数根,则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意作出函数的图像, 由,令,有,即,化简得,解得或,若方程有且仅有5个不同实数根,所以或,解得或, 即,所以 【变式4-1】设函数,若关于的函数恰好有六个零点,则实数的取值范围是 ． 【例5】设,若实数满足：,则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作出的图象,如图所示, 令,由图可知：, 且,解得,则, 因为,则,可得,所以的取值范围是. 【变式5-1】已知函数,若方程有四个不同的解,且,的取值范围是 . 一、填空题 1．已知函数,若存在实数,使得方程无解,则实数的取值范围是 . 2．已知函数,则函数有 个零点． 3．已知函数．若 只有2个零点,则的取值范围是 ． 4．若常数,则关于的方程的实数根的个数是 . 5．已知定义在正实数集上的函数,设是互不相同的实数,满足,则的取值范围为 . 6．设,已知关于x的方程存在四个实数根,且,则 7．已知,,若有两零点、,且,则的取值范围是 . 二、选择题 8．已知函数,若方程的实数解恰有两个,则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 9．已知函数,若存在不相等的实数,满足,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知存在实数满足,则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 三、解答题 11．已知函数的定义域为的偶函数．对于正实数a,定义集合．且对任意,均有．若,证明：对任意实数c,函数在上至多有9个零点． 12．已知,； (1)当时,解方程； (2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求实数的值； (3)若对任意,函数在区间上总有意义,且最大值与最小值的差不小于2,求的取值范围 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $