专题03 函数的单调性的四类综合问题（压轴题专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题03函数的单调性四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用函数单调性求参数范围 类型二、抽象函数的单调性 类型三、函数单调性与函数其它性质的交汇 类型四、函数与不等式的交汇 压轴专练 类型一、利用函数单调性求参数范围 1.确定单调性定义域优先 单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则,单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接. 2．复合函数的单调性 若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数．函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 3.分段函数的单调性 分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值． 4.由单调性确定参数范围 利用单调性求参数,一般视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 【例1】已知函数是上的增函数,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为在R上是增函数,所以时,单调递增,则； 时,单调递增,则；且在处,左段函数值不大于右段函数值, 所以,解得,所以的取值范围是. 【变式1-1】已知在上满足,则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】若函数在区间上是严格减函数,则实数的取值范围是 . 【答案】． 【解析】因为,当时,时,单调递增,不合题意；当时,时,,函数在区间上是严格减函数,则,即；当时,时,,函数在区间上是严格减函数,则,即；当时,,,因此在是单调递增,不合题意；综上,的范围是． 【变式2-1】“”是“函数在上为严格增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件   类型二、抽象函数的单调性 1.抽象函数的单调性的判定 判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上任取,然后利用题中条件确定的大小. 2.抽象函数单调性的结论： 对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔f(x)在D上是增函数,f(x)在D是减函数．变 对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔f(x)在D上是增函数. 【例3】已知定义在上的的函数满足：,对于任意均有,则不等式的解集为 【答案】 【解析】设,则的定义域为,,,所以,为奇函数,且, 因为,当时,,所以,所以,即,所以在上单调递减, 当时,,所以,所以, 即,所以在上单调递减,综上,在上单调递减,又因为为定义在上的奇函数,所以在上单调递减,变形为, 即,所以,所以解集为. 【变式3-1】定义在上的奇函数满足:任意,且,若,则不等式的解集为 . 类型三、函数单调性与函数其它性质的交汇 1.函数单调性与奇偶性结合问题． 注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2.函数单调性与最值问题的交汇 此类问题通常是借助函数单调性来研究函数的最值,故要先确定函数单调性,对于一些含绝对值与参数的函数,在研究单调性时要注意讨论. 【例4】定义在上的奇函数在区间上单调递减,且,则不等式的解集为(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由上的奇函数在上单调递减,得在上单调递减,, 由,得,令,则不等式, 于是或,由,得,则,解得, 由,得或,则或,解得 或,因此或或,解得或或, 所以原不等式的解集为.故选D 【变式4-1】若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的,且,都有,则不等式的解集为 . 【例5】已知己函数的最大值为,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意,设,则,即函数在R上为奇函数, 又当时,,当且仅当时等号成立,由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增,在上单调递减,故设,则, 令,解得同一坐标系中画出和的图象如下：    由图可知,当时,,    当时,,    当时,,    综上,的取值范围是. 【变式5-1】已知函数的最小值为,则的取值范围为 类型四、函数的单调性与不等式的交汇 在求解与函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集. 【例6】已知是定义在上的偶函数,且,恒成立,若,则满足的实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】不妨设,由,得, 所以,令,则,所以函数在上单调递增,因为是定义在上的偶函数,所以,所以对任意的,所以,函数为上的偶函数,且,由,可得,即, 即,所以,解得．故选B 【变式6-1】已知函数,则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例7】若函数对任意的,都有成立,则称为上的“平缓”函数. (1)判断是否为上的“平缓”函数,请说明理由； (2)是否存在实数,使为上的“平缓”函数,若存在,求出的取值范围；若不存在,说明理由； (3)设是上的“平缓”函数（其中不是常值函数）,且,若对任意的都有,求的最小值. 【解析】（1）任取,可得 因为,所以,即, 则, 所以,则为上的“平缓”函数, （2）假设存在实数,使得为上的“平缓”函数, 则满足对任意实数,都有成立, 故 , 由于,当时,显然成立； 当时,由可得：, 由于,当且仅当,同号时取等号,,, 所以,由于,则, 故要使,则,解得：, 综上,存在实数,使为上的“平缓”函数,且的取值范围为 （3）不妨令,由“平缓”函数性质,有成立, 若时,则； 若, 综上,对任意,恒成立, 而对任意的,都成立,则 ∴,即的最小值为． 【变式7-1】新定义：对于定义域在上的函数,若对任意,恒有,且时,恒有,则称为“加函数”；对于定义域在上的函数,若对任意,恒有,且时,恒有,则称为“乘函数” (1)判断“加函数”的奇偶性并证明 (2)若加函数有,乘函数有,求：与的值 (3)在（2）的条件下,已知命题：对任意,恒成立.命题：对任意,恒成立.则：若命题和命题有且只有一个是真命题,求的取值范围 一、填空题 1．已知函数,则不等式的解集为 . 2．已知函数,若关于x的不等式的解集为,则实数a的取值范围为． 3．设函数的定义域为D,若存在实数,使得对于任意,都有,则称为“严格增函数”,对于“严格增函数”,有以下四个结论： ①“严格增函数”一定在D上严格增； ②“严格增函数”一定是“严格增函数”（其中,且） ③函数是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数） ④函数不是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数） 其中,所有正确的结论序号是 . 4．若是定义在上的奇函数,且．若对任意的两个正数,都有,则的解集为 5．在上非严格递增,满足,若存在符合上述要求的函数及实数,满足,则的取值范围是 . 二、选择题 6．已知函数,满足：对任意,当时,都有成立,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设、、是定义域为的三个函数,对于命题：①若、、均为严格增函数,则、、中至少有一个严格增函数；②若、、均是奇函数,则、、均是奇函数,下列判断正确的是（   ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题,②为假命题 D．①为假命题,②为真命题 8．设函数与均是定义在上的函数,有以下两个命题：①若是周期函数,且是上的减函数,则函数必为常值函数；②若对任意的a,,有成立,且是上的增函数,则是上的增函数．则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题,②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题,②是真命题 D．两个都是假命题 9．已知是定义域为R的函数,,若对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 10．设函数和的定义域均为,且对任意,,若,则. (1)若,且当时,,,求实数a的取值范围； (2)证明：若为上的严格增函数,则为上的严格减函数； (3)若是值域为的偶函数,判断并说明是否一定是偶函数. 11．对于定义在的两个函数和,若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零,则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”,并说明理由 ①,； ②,； (2)设常数,若和为“在上的函数对”,求的取值范围 (3)设常数,若和为“在上的函数对”,求证：的值有且仅有一个． 12．对于定义在上的函数,设区间是的一个子集,对于区间上任意给定的两个自变量的值、,如果总有,则称函数在区间上是“舒缓函数”. (1)判断函数、在上是否是“舒缓函数”,并说明理由； (2)若函数在上是“舒缓函数”,求实数的取值范围； (3)已知函数,的最大值是、最小值是,在上是“舒缓函数”,且,求证：. 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数的单调性四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用函数单调性求参数范围 类型二、抽象函数的单调性 类型三、函数单调性与函数其它性质的交汇 类型四、函数与不等式的交汇 压轴专练 类型一、利用函数单调性求参数范围 1.确定单调性定义域优先 单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则,单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接. 2．复合函数的单调性 若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数．函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 3.分段函数的单调性 分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值． 4.由单调性确定参数范围 利用单调性求参数,一般视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 【例1】已知函数是上的增函数,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为在R上是增函数,所以时,单调递增,则； 时,单调递增,则；且在处,左段函数值不大于右段函数值, 所以,解得,所以的取值范围是. 【变式1-1】已知在上满足,则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上满足,设,则,即在上为减函数,所以,解得,所以实数的取值范围为,故选B. 【例2】若函数在区间上是严格减函数,则实数的取值范围是 . 【答案】． 【解析】因为,当时,时,单调递增,不合题意；当时,时,,函数在区间上是严格减函数,则,即；当时,时,,函数在区间上是严格减函数,则,即；当时,,,因此在是单调递增,不合题意；综上,的范围是． 【变式2-1】“”是“函数在上为严格增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】的图象如图所示,要想函数在区间上为增函数,必须满足,因为是的真子集,所以“”是“函数在区间上为严格增函数”的充分不必要条件,故选A.    类型二、抽象函数的单调性 1.抽象函数的单调性的判定 判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上任取,然后利用题中条件确定的大小. 2.抽象函数单调性的结论： 对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔f(x)在D上是增函数,f(x)在D是减函数．变 对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔f(x)在D上是增函数. 【例3】已知定义在上的的函数满足：,对于任意均有,则不等式的解集为 【答案】 【解析】设,则的定义域为,,,所以,为奇函数,且, 因为,当时,,所以,所以,即,所以在上单调递减, 当时,,所以,所以, 即,所以在上单调递减,综上,在上单调递减,又因为为定义在上的奇函数,所以在上单调递减,变形为, 即,所以,所以解集为. 【变式3-1】定义在上的奇函数满足:任意,且,若,则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因,则,则在上单调递增, 因为奇函数,则,则,即为奇函数, 则在上单调递增,因,则,则的解集,即的解集为. 类型三、函数单调性与函数其它性质的交汇 1.函数单调性与奇偶性结合问题． 注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2.函数单调性与最值问题的交汇 此类问题通常是借助函数单调性来研究函数的最值,故要先确定函数单调性,对于一些含绝对值与参数的函数,在研究单调性时要注意讨论. 【例4】定义在上的奇函数在区间上单调递减,且,则不等式的解集为(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由上的奇函数在上单调递减,得在上单调递减,, 由,得,令,则不等式, 于是或,由,得,则,解得, 由,得或,则或,解得 或,因此或或,解得或或, 所以原不等式的解集为.故选D 【变式4-1】若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的,且,都有,则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因对任意的,且,都有,则在上单调递减,又为奇函数及,所以,则为偶函数,且,故在上单调递增,所以在上单调递增,在上单调递减.又,则,当时,,得,解得或,故；当时,,即,得或,解得或,综上,不等式的解集为. 【例5】已知己函数的最大值为,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意,设,则,即函数在R上为奇函数, 又当时,,当且仅当时等号成立,由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增,在上单调递减,故设,则, 令,解得同一坐标系中画出和的图象如下：    由图可知,当时,,    当时,,    当时,,    综上,的取值范围是. 【变式5-1】已知函数的最小值为,则的取值范围为 【答案】 【解析】因为,所以时,不能单调递减,所以,解得, 时,对称轴为,要使得在时取得最小值,所以, 所以,的取值范围为. 类型四、函数的单调性与不等式的交汇 在求解与函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集. 【例6】已知是定义在上的偶函数,且,恒成立,若,则满足的实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】不妨设,由,得, 所以,令,则,所以函数在上单调递增,因为是定义在上的偶函数,所以,所以对任意的,所以,函数为上的偶函数,且,由,可得,即, 即,所以,解得．故选B 【变式6-1】已知函数,则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为,关于原点对称, ,所以函数为偶函数, 易知,函数在上单调递增,当时,为增函数,且则当时,为减函数,且,所以当时,, 当时,,则不等式等价于或, 解得或,解得或或,故选C. 【例7】若函数对任意的,都有成立,则称为上的“平缓”函数. (1)判断是否为上的“平缓”函数,请说明理由； (2)是否存在实数,使为上的“平缓”函数,若存在,求出的取值范围；若不存在,说明理由； (3)设是上的“平缓”函数（其中不是常值函数）,且,若对任意的都有,求的最小值. 【解析】（1）任取,可得 因为,所以,即, 则, 所以,则为上的“平缓”函数, （2）假设存在实数,使得为上的“平缓”函数, 则满足对任意实数,都有成立, 故 , 由于,当时,显然成立； 当时,由可得：, 由于,当且仅当,同号时取等号,,, 所以,由于,则, 故要使,则,解得：, 综上,存在实数,使为上的“平缓”函数,且的取值范围为 （3）不妨令,由“平缓”函数性质,有成立, 若时,则； 若, 综上,对任意,恒成立, 而对任意的,都成立,则 ∴,即的最小值为． 【变式7-1】新定义：对于定义域在上的函数,若对任意,恒有,且时,恒有,则称为“加函数”；对于定义域在上的函数,若对任意,恒有,且时,恒有,则称为“乘函数” (1)判断“加函数”的奇偶性并证明 (2)若加函数有,乘函数有,求：与的值 (3)在（2）的条件下,已知命题：对任意,恒成立.命题：对任意,恒成立.则：若命题和命题有且只有一个是真命题,求的取值范围 【解析】（1）函数的定义域为. 令,得, 再令,则,即. 所以函数为奇函数. （2）由,所以,所以. 由,所以,又当时,恒有, 所以. （3）设,则. 因为,所以,所以.所以. 即函数在上单调递增. 由对恒成立. 设（）, 则（）. 因为“对勾函数”在上单调递增,所以当时,. 所以（）. 所以,所以. 所以或. 函数的定义域为. 令,则恒成立,所以. 设,则,因为, 因为,所以,所以. 综上,对任意,恒有. 设,则. 因为,所以,,又, 所以,即. 所以在上为增函数. 由. 所以恒成立. 所以. 所以当真假时,或,当假真时,. 所以命题和命题有且只有一个是真命题,. 一、填空题 1．已知函数,则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为,,函数是奇函数,而函数在上单调递减,函数在上单调递增,因此函数在上单调递减,不等式,则,解得,所以所求不等式的解集为. 2．已知函数,若关于x的不等式的解集为,则实数a的取值范围为． 【答案】 【解析】由题意当时,单调递增,且时,,当时,单调递增,所以函数在上单调递增,由题意在上恒成立,所以当且仅当,即恒成立,故只需,而的最小值为,所以实数a的取值范围为. 3．设函数的定义域为D,若存在实数,使得对于任意,都有,则称为“严格增函数”,对于“严格增函数”,有以下四个结论： ①“严格增函数”一定在D上严格增； ②“严格增函数”一定是“严格增函数”（其中,且） ③函数是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数） ④函数不是“严格增函数”（其中表示不大于x的最大整数） 其中,所有正确的结论序号是 . 【答案】②③④ 【解析】①,函数,定义域为,存在,对于任意,都有, 但在上不单调递增,所以①错误. ②,是“严格增函数”,则存在,使得对任意,都有, 因为,所以,故,即存在实数,使得对任意,都有,所以是“严格增函数”, ②正确. ③,,定义域为,当时,对任意的,都有,即, 所以函数是“严格增函数”. ④,对于函数,,所以是周期为的周期函数,,若,则,不符合题意.当且时,若,则,即（*）,其中,若,则总存在,使得,当时,若是正整数,则,（*）不成立,若不是正整数,不恒成立,所以函数不是“严格增函数”. 4．若是定义在上的奇函数,且．若对任意的两个正数,都有,则的解集为 【答案】 【解析】设,∵对任意的两个正数,都有,即,∴在上单调递减,又是定义在上的奇函数,∴是定义在上的偶函数,由得,即,∴,又,故的解集为. 5．在上非严格递增,满足,若存在符合上述要求的函数及实数,满足,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵,即,对,则 ,故对,则,∵,则有：1.当时,则,可得,不成立；2.当时,则,可得,则,若,解得,符合题意；特别的：例如,取,则,解得； 例如,取,则,解得； 故； 3.当时,则,可得,不成立； 4.当时,则,可得,则, 若,解得,符合题意；特别的：例如,取,则；例如,取,则；故； 5.当时,则,可得,不成立； 综上所述：的取值范围是. 二、选择题 6．已知函数,满足：对任意,当时,都有成立,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对任意,当时,都有成立, 所以函数在上单调递增,所以,解得, 所以实数的取值范围是. 7．设、、是定义域为的三个函数,对于命题：①若、、均为严格增函数,则、、中至少有一个严格增函数；②若、、均是奇函数,则、、均是奇函数,下列判断正确的是（   ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题,②为假命题 D．①为假命题,②为真命题 【答案】D 【解析】对于①,取,,均不是增函数, 而,,均为增函数,因此命题①是假命题； 对于②,,,均是奇函数, 为奇函数,同理,均是奇函数, 因此命题②是真命题,D正确.故选 8．设函数与均是定义在上的函数,有以下两个命题：①若是周期函数,且是上的减函数,则函数必为常值函数；②若对任意的a,,有成立,且是上的增函数,则是上的增函数．则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题,②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题,②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【解析】①若是周期函数,设是它的正周期,即, 假设函数不是常值函数,设,且,又恒成立,因此,取,其中是不大于的最大整数,则, 而,所以,这是是减函数矛盾,所以不成立,所以,即是常值函数,①是真命题； ②取,,则对任意的,,,满足,但是减函数,②是假命题．故选A． 9．已知是定义域为R的函数,,若对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对任意的,都有成立,所以,所以成立,构造,所以由上述过程可得在单调递增,（1）若,则对称轴,解得；（2）若,在单调递增,满足题意；（3）若,则对称轴恒成立；综上.故选D. 三、解答题 10．设函数和的定义域均为,且对任意,,若,则. (1)若,且当时,,,求实数a的取值范围； (2)证明：若为上的严格增函数,则为上的严格减函数； (3)若是值域为的偶函数,判断并说明是否一定是偶函数. 【解析】（1）对任意,且,, 即,从而, 结合可知,当时,, 当时,, 当时,,所以,解得, 故实数a的取值范围为. （2）对任意且,均有,进而由可得,, 又,故, 即为上的严格减函数. （3）一定是偶函数,证明如下：对任意,由函数为偶函数,得,且,若函数不为偶函数,则存在,使得,由函数的值域为,可知存在,使得,从而, ,从而一方面, 另一方面, 即,矛盾. 因此一定是偶函数. 11．对于定义在的两个函数和,若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零,则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”,并说明理由 ①,； ②,； (2)设常数,若和为“在上的函数对”,求的取值范围 (3)设常数,若和为“在上的函数对”,求证：的值有且仅有一个． 【解析】（1）①不是,②是,理由如下： 对于①,,取,则, 所以两个函数不是“在上的函数对”； 对于②,在上是严格减函数, 当时,,则,故此时的函数值恒大于零, 所以这两个函数是“在上的函数对”. （2）由题意函数在上是严格减函数,且在上恒成立, 故有在上恒成立, 当时,,因此,解得, 所以的取值范围为． （3）证明：当时, , 因为函数、在上是严格增函数, 所以函数在上是严格增函数, 得在上是严格减函数,且对任意恒成立. 当时, 在上恒成立, 取,得,不成立； 此时函数和不是“在上的函数对”． 当时,则, 当时,, 取,得, 所以函数在上不是减函数, 此时函数和不是“在上的函数对”． 综上,的值有且仅有一个. 12．对于定义在上的函数,设区间是的一个子集,对于区间上任意给定的两个自变量的值、,如果总有,则称函数在区间上是“舒缓函数”. (1)判断函数、在上是否是“舒缓函数”,并说明理由； (2)若函数在上是“舒缓函数”,求实数的取值范围； (3)已知函数,的最大值是、最小值是,在上是“舒缓函数”,且,求证：. 【解析】（1）令, 则, 故在上是“舒缓函数”； 令,则,取, 则,故在上不是“舒缓函数”； （2）因函数在上是“舒缓函数”, 则对, 不妨设,则有, ,则, 则,时, , 即. （3）设,不妨设. 若,因在上是“舒缓函数”, 则； 若,则 . 综上,. 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $