数学全真模拟卷（9）-2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 数学 全真模拟卷（9） 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．某校高一（4）班学生47人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，三项都参加的人数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．函数在区间上的最大值和最小值的和为3，则函数在区间上的最大值是（   ） A．6 B．1 C．5 D． 3．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正角为（    ） A． B． C． D． 4．到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程为（   ） A． B．或 C． D．或 5．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．3 6．已知二次函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．若是关于的方程的一个根，则等于（   ） A．26 B．5 C．13 D．6 9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如:.在不大于11的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 10．已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上任意一点（非长轴端点），则的最大值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 12．已知关于的一元二次不等式的解集为则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．定义新运算“*”：，若是奇函数，是偶函数，则的奇偶性是 ． 14．已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式中的常数项为 . 15．已知点到直线的距离等于，则的值为 . 16．在中，角的对边分别为，若，则的值为 . 17．已知是一次函数，且，则的解析式 . 18．已知点A是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则 . 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求角B的大小． 20．已知，，与的夹角是. (1)计算：； (2)当为何值时，. 21．已知数列满足.等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 22．某贸易公司代理一种商品，商品的进口成本单价 （元）与进口数量 （件）成反比例函数关系，当 件时， 元.该商品在国内的销售单价 （元）与销售数量 （件）满足一次函数关系 . (1)求商品的进口成本单价 与进口数量 函数关系 (2)已知销售利润等于销售总价减去进口总价，若要获得最大销售利润，求此时的销售数量及最大利润各是多少？ 23．在120°的二面角α－－β的两个面内分别有点A，B，A∈α，B∈β，A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，且线段AB＝10. (1)求C，D间的距离； (2)求直线AB与平面β所成角的正弦值． 24．已知圆心在轴上的圆C与轴分别交于点，. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线与C交于，两点. 当取得最小值时，求四边形的面积.     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 数学 全真模拟卷（9） 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．某校高一（4）班学生47人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，三项都参加的人数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合，则 ，， 设三项都参加的人数为，则， 因为 所以由， 得，解得， 即三项都参加的人数为5人， 故选：D 2．函数在区间上的最大值和最小值的和为3，则函数在区间上的最大值是（   ） A．6 B．1 C．5 D． 【答案】C 【分析】分别讨论和两种情况，再由指数函数的单调性确定最值，列方程求出的值，再由一次函数的单调性确定其最值即可. 【详解】当时，函数在上为单调减函数， 所以函数在上的最大值与最小值分别为和， 又因为函数在上的最大值与最小值和为， 所以，解得不符合舍去， 当时，函数在上为单调增函数， 所以函数在上的最大值与最小值分别为和， 因为函数在上的最大值与最小值和为， 所以，解得， 所以函数，在上为增函数， 所以其最大值是. 故选：C. 3．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的三角函数可求出角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求角即可. 【详解】因为角的终边上一点的坐标为， ， 所以，且角为第四象限角， 所以角的最小正角为. 故选：D. 4．到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先根据直线的平行，设出方程，再根据平行直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可设所求直线方程为， 由两平行直线距离公式得或. 则直线方程为或. 故选：D. 5．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质与对数的运算求解即可. 【详解】由等差数列的性质，可得，解得， 所以. 故选：B. 6．已知二次函数在上为增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性列出不等式即可求解. 【详解】因为二次函数， 所以的图像开口向上，对称轴为. 因为在上单调递增， 所以，即. 故选：A. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数量积运算即可解得. 【详解】由得．因为，， 所以，所以． 故选：B 8．若是关于的方程的一个根，则等于（   ） A．26 B．5 C．13 D．6 【答案】A 【分析】由题意，另一根为，利用韦达定理求即可. 【详解】由于实系数一元二次方程的虚根成对出现，且互为共轭复数， ∵是关于的方程的一个根， ∴另一根为， ∴，解得. 故选：A. 9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如:.在不大于11的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合古典概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不大于11的质数有共5个数， 随机选取两个不同的数有共10种情况， 其中其和为偶数的有共6种情况， 根据古典概率计算公式可知，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为. 故选：B. 10．已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线线、线面、面面位置关系逐项判断，即可求解. 【详解】对A：若，，，则m与n没有公共点，那么m与n可能平行或异面，故A错误； 对B：若，则存在直线，使，又因为，根据直线与平面垂直的性质， 则，又因为，所以，故B项正确； 对C：若，，则、m与n相交或m与n异面，故C项错误； 对D：若，，则或，故D项错误. 故选：B. 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上任意一点（非长轴端点），则的最大值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质可知，当为椭圆短轴的一个端点时，的面积最大，求解即可. 【详解】由题意，可得离心率，即， 则，，从而， 当为椭圆短轴的一个端点时，的面积最大，的最大值为. 故选：A. 12．已知关于的一元二次不等式的解集为则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式与方程得关系及根与系数关系即可求解. 【详解】由解集为，所以为方程的两根， 由根与系数关系可知，所以， 所以. 故选：C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．定义新运算“*”：，若是奇函数，是偶函数，则的奇偶性是 ． 【答案】非奇非偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义，求解即可． 【详解】因为，所以； 令，其定义域为，关于原点对称， 又， 故是非奇非偶函数． 故答案为：非奇非偶函数. 14．已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式中的常数项为 . 【答案】 【分析】根据二项式系数的和为，求出的值，再由二项展开式的通项公式列方程求解即可. 【详解】所有二项式系数的和为256， ，， 则的展开式的通项公式为， 令可得， 展开式的常数项为. 故答案为：. 15．已知点到直线的距离等于，则的值为 . 【答案】10或 【分析】由点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】因为点到直线的距离等于， 所以，解得或. 故答案为：10或. 16．在中，角的对边分别为，若，则的值为 . 【答案】 【分析】根据余弦定理的变形公式求解即可. 【详解】由， 得． 而， 所以． 故答案为：. 17．已知是一次函数，且，则的解析式 . 【答案】或. 【解析】根据题意，设函数，利用待定系数法求出、的值，即可得出的解析式. 【详解】解：设函数，其中， 又，即， ，解得：，或，， 函数或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数的解析式，是基础题. 18．已知点A是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则 . 【答案】21 【分析】根据椭圆与双曲线的定义即可求解. 【详解】因为点A是椭圆与双曲线的一个交点， 由椭圆与双曲线的方程可得，，故二者的焦点相同，都是点， 且椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 不妨设点A是椭圆与双曲线在第一象限的交点， 则，解得, 故. 故答案为：21. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求角B的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式将函数化余弦型函数，根据余弦函数的增区间，解不等式可求解； （2）由，可得，再利用正弦定理可求解. 【详解】（1）因为， 令，， 解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）由，得， 因为A为锐角，所以，即． 在中，由正弦定理， 得，则， 因为，所以． 20．已知，，与的夹角是. (1)计算：； (2)当为何值时，. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由向量内积的定义直接计算； （2）由向量垂直的坐标表示，列出式子计算得到答案. 【详解】（1）由向量内积的定义，可得. （2）要使，则，即， 故， 所以， 得. 21．已知数列满足.等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）有题意可知是等比数列，根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）由题设，得数列成等比数列且公比为， 又因为，故数列的通项公式为. （2）由（1），得，， 数列的公差为且，所以， 故数列的前n项和. 22．某贸易公司代理一种商品，商品的进口成本单价 （元）与进口数量 （件）成反比例函数关系，当 件时， 元.该商品在国内的销售单价 （元）与销售数量 （件）满足一次函数关系 . (1)求商品的进口成本单价 与进口数量 函数关系 (2)已知销售利润等于销售总价减去进口总价，若要获得最大销售利润，求此时的销售数量及最大利润各是多少？ 【答案】(1) (2)销售数量为300时，最大利润是13000元 【分析】（1）根据题意，可设函数关系式为，将，代入，求得k的值，继而求解. （2）根据题意，结合等量关系“销售利润等于销售总价减去进口总价”，表示出利润和销售数量的函数关系式，结合二次函数求最值，利用配方法，即可求解. 【详解】（1）因为商品的进口成本单价 与进口数量 成反比例函数关系，设 ， 已知当 ，， 所以 ， 所以函数关系式为 . （2）设销售利润为 元，销售总价为 ，进口总价为 . 因为 ，，且 （销售数量与进口数量相同）， 则 ，， 所以 ， 所以当销售数量时，最大利润是13000元. 23．在120°的二面角α－－β的两个面内分别有点A，B，A∈α，B∈β，A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，且线段AB＝10. (1)求C，D间的距离； (2)求直线AB与平面β所成角的正弦值． 【答案】(1)6  (2) 【分析】（1）要求CD长，应将CD放在三角形中，过点C作BD的平行线，取CE＝BD＝4，根据余弦定理可求出AE的长，最后在直角三角形AEB求出BE长，而四边形BECD为矩形，即可求出所求； （2）在△ACE所在的平面内，作AO⊥CE交CE的反向延长线于点O，利用面面垂直的性质即可证明AO⊥平面β，从而得到∠ABO是直线AB和平面β所成的角． 【详解】（1）过点C作BD的平行线，取CE＝BD＝4， ∵AC⊥l，而CE⊥l，则∠ACE＝120° 根据余弦定理可知cos∠ACE 解得：AE 而三角形AEB为直角三角形，则BE＝6 即CD＝6 （2）在△ACE所在的平面内，作AO⊥CE交CE的反向延长线于点O． ∵平面ACE⊥平面β，∴AO⊥平面β． 在△ACO中，∠ACO＝60°，AC＝2，∴AO． 连接OB，于是∠ABO是AB和平面β所成的角， 在△ABO为直角三角形， ∴． 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解. 24．已知圆心在轴上的圆C与轴分别交于点，. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线与C交于，两点. 当取得最小值时，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干条件及中点坐标公式求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程； （2）根据圆的弦长性质得出取得最小值时，，写出直线的方程，再将四边形分成和，结合弦长公式与点到距离公式分别计算面积即可. 【详解】（1）圆心在轴上的圆C与轴分别交于点，， 所以圆C的圆心为的中点， 可得圆心坐标为，即，半径为， 所以圆C的标准方程为. （2）过点的直线与圆于，两点， 由圆的弦长性质可得，当时，取得最小值， ，则，， 所以直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，半径， ， 联立直线与圆方程， ，可得， 解得， 因为，，， 所以，如图两点都在轴上方， 点到直线的距离， 所以 .      原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $