数学全真模拟卷（4）-2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 数学 全真模拟卷（4） 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．某车间有70名工人，其中会操作机器C的有45人，会操作机器D的有35人，两种机器都不会操作的有10人.问至少会操作一种机器的工人有多少人（    ）. A．50 B．60 C．70 D．80 2．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的值（    ） A． B． C． D． 5．直线与之间的距离是，则实数的值是（   ） A． B．或3 C． D．或10 6．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（   ） A． B． C．或 D． 7．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 8．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 9．椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（ ） A． B． C． D． 10．临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望．某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（   ） A． B． C． D． 11．已知直线m，n，平面，，则下列说法中，正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，且，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 12．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．若函数为奇函数，则实数 . 14．在的展开式中，第7项的二项式系数是 . 15．已知两点和到直线的距离相等，则的值为 . 16．在中，，，，则的面积等于 . 17．已知二次函数且， . 18．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．在中，，，所对的三边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若的面积为，且，求的值． 20．在平面直角坐标系中，点，，. (1)求以线段，为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实现满足，求的值. 21．已知每项都是正数的等比数列中，，，求： (1)数列的通项公式； (2)已知数列中，，，求数列的前4项和. 22．某广告公司为客户制作一块周长为16m的矩形广告牌，制作费用为每平方米500元，已知该矩形一条边的长为，面积为． (1)写出关于的函数关系式； (2)若该广告公司想要获得最大收益，将矩形广告牌的长、宽制作为多少米时，制作费用最高，最高的制作费用为多少元？ 23．如图所示，在正四棱锥中，已知，，求： (1)与底面所成角的余弦值； (2)二面角的正弦值. 24．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点． (1)若点为的中点，求动点的轨迹的方程； (2)过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 数学 全真模拟卷（4） 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．某车间有70名工人，其中会操作机器C的有45人，会操作机器D的有35人，两种机器都不会操作的有10人.问至少会操作一种机器的工人有多少人（    ）. A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】根据集合的应用即可求解. 【详解】因为某车间有70名工人，两种机器都不会操作的有10人， 所以至少会操作一种机器的工人有多少人人. 故选：B. 2．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先将不等式化为，再根据一元二次不等式以及绝对值的概念求解即可. 【详解】不等式可化为，即， 解得不等式解集为. 故选：B. 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的值域，即可求解. 【详解】因为指数函数，其值域为， 所以函数的值域为. 故选：B. 4．已知，且，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求角即可. 【详解】已知， 所以为第一或第四象限角， 由，可得当为第一象限角时，， 由，得， 当为第四象限角时，，，得， 所以， 故选：B. 5．直线与之间的距离是，则实数的值是（   ） A． B．或3 C． D．或10 【答案】B 【分析】先将两条直线化为同系数形式，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】直线可化为， 则直线与直线的距离为， 显然两直线满足平行的条件，即， 解得或， 故选：B. 6．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，先求出，结合等比数列的通项公式和等比中项的性质，求出的值，代入即可求解. 【详解】因为数列成等差数列，设公比为， 所以， 因为成等比数列，设公比为， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 7．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直关系的向量表示和向量的模的性质即可求解. 【详解】因为，所以. 因为，, 所以， 所以. 故选：C. 8．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算，结合复数的定义得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为， 又的实部与虚部相等，则，所以． 故选：A． 9．椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义易得答案. 【详解】因为椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点， 所以， 所以， 所以的周长. 故选：A. 10．临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望．某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先算出恰有1、2、3、4、5位同学摸到自己写的祝福卡片的可能总数，再利用古典概型计算出至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率即可求解. 【详解】由题意，已知有同学拿到自己写的祝福卡， 恰有1位同学拿到自己写的祝福卡有种， 恰有2位同学拿到自己写的祝福卡有种， 恰有3位同学拿到自己写的祝福卡有种， 恰有4位（5位）同学拿到自己写的祝福卡有1种， 因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为（个）， 至少有3位同学摸到自己写的祝福卡的事件有个基本事件， 所以至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率. 故选：C. 11．已知直线m，n，平面，，则下列说法中，正确的是（   ） A．若，，且，则 B．若，，且，则 C．若，，且，则 D．若，，且，则 【答案】A 【分析】根据直线与平面的平行、垂直关系进行求解. 【详解】A选项，由，且，得或，内必有一直线使得， ∵，∴，即，得到，A正确； B选项，若，，且，则与平行或相交，B错误； C选项，若，，且，则与平行或相交，C错误； D选项，若，，且，则，D错误. 故选：A. 12．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一次函数与二次函数的图象与性质，分类讨论，数形结合可得答案. 【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调． 当时，函数，其图象如图所示，满足题意；    当时，函数图象的对称轴， 则函数的图象如图所示，满足题意；    当时，函数图象的对称轴，函数的图象如图所示，    由题意，需满足，解得，即． 综上，． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．若函数为奇函数，则实数 . 【答案】-1 【分析】根据奇函数的定义可得列方程求解即可. 【详解】已知函数为奇函数， 则有，即， 所以， 故答案为：-1. 14．在的展开式中，第7项的二项式系数是 . 【答案】210 【分析】先求出二项展开式的第7项，即可求解第7项的二项式系数. 【详解】的展开式中， 第7项为， 第7项的二项式系数是. 故答案为:210. 15．已知两点和到直线的距离相等，则的值为 . 【答案】或 【分析】分别求解点和点到直线的距离，再根据点和到直线的距离相等建立等式求解即可． 【详解】点到直线的距离， 点到直线的距离， 点和到直线的距离相等， ，即，， ， ，或. 故答案为：或． 16．在中，，，，则的面积等于 . 【答案】 【分析】先利用正弦定理、余弦定理求出边，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得 ，解得，故， 所以的面积为. 故答案为：. 17．已知二次函数且， . 【答案】 【分析】利用已知条件得到关于的方程，进而求得的解析式，再代入即可得解. 【详解】因为，， 所以， 整理得，解得， 所以，则. 故答案为：. 18．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则 ． 【答案】 【分析】过点作垂直于准线，交准线于点，再由抛物线定义得结合题意即可得出结果. 【详解】过点作垂直于准线，交准线于点， 由抛物线定义得， 所以在中，， 且满足， 所以， 由在中，， 所以，. 故答案为：.    三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．在中，，，所对的三边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若的面积为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理求解角A的值即可. （2）根据三角形面积的计算以及余弦定理求解的值即可. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得：，即：， ∴， ∵， ∴. （2）∵， ∴， ∵， ∴即：， ∴， ∴. 20．在平面直角坐标系中，点，，. (1)求以线段，为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实现满足，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意根据向量的坐标运算及向量模的公式计算； （2）根据向量内积的运算法则与坐标公式即可得解. 【详解】（1）由题设以线段，为邻边的平行四边形的对角线为，， 由题意知，，，， 则， ，. （2），， 又，， . 21．已知每项都是正数的等比数列中，，，求： (1)数列的通项公式； (2)已知数列中，，，求数列的前4项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式求解即可. （2）首先根据（1）求出，证明数列为等差数列，再根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）由等比数列的定义得. 又等比数列的每项都是正数，则，所以. 则数列的通项公式为：. （2）由（1）知：. 又，即：.    则数列是以首项为3，公差为的等差数列. 则数列中前4项和. 22．某广告公司为客户制作一块周长为16m的矩形广告牌，制作费用为每平方米500元，已知该矩形一条边的长为，面积为． (1)写出关于的函数关系式； (2)若该广告公司想要获得最大收益，将矩形广告牌的长、宽制作为多少米时，制作费用最高，最高的制作费用为多少元？ 【答案】(1) (2)当广告牌的长和宽都为4m时，制作费用最高，最高费用为8000元． 【分析】（1）根据二次函数模型列出函数易得答案； （2）求二次函数最值易得答案. 【详解】（1）因为矩形一条边的长为， 由题意矩形的另一边的长为． 矩形的面积. （2）因为 当时，矩形的面积最大， 此时广告制作费用为（元） 因此，当广告牌的长和宽都为4m时，制作费用最高，最高费用为8000元． 23．如图所示，在正四棱锥中，已知，，求： (1)与底面所成角的余弦值； (2)二面角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先连接AC，BD，AC与BD相交于点O，并连接PO，根据正四棱锥的几何特征得到与底面所成的角为，再根据勾股定理求出边长，利用直角三角形中的余弦的定义求值即可. （2）由正四棱锥的几何特征结合线面垂直的判定定理证明出平面，再由线面垂直的定义得出，由此可得为二面角为的一个平面角.，再由勾股定理求出各边长，利用直角三角形中的正弦的定义求值即可. 【详解】（1）如图所示，连接AC，BD，AC与BD相交于点O，连接PO. ∵是正四棱锥，底面为正方形， ∴底面，与底面所成的角为. ， ， 又∵， ∴， ∴PA与底面ABCD所成角的余弦值为. （2）如图所示，取的中点E，连接. ∵是正四棱锥，底面为正方形， 为的中点， 在中， （三角形中位线）， ， ∴，即 又∵底面，平面， ∴，即， 为平面中两条相交直线， ∴平面，平面， ∴. ∴为二面角为的一个平面角. 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴二面角的正弦值为. 24．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点． (1)若点为的中点，求动点的轨迹的方程； (2)过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由圆的方程确定圆心和半径，由动点的轨迹为点为圆心，长为半径的圆，并由圆心和半径写出圆的方程即可. （2）根据弦长得出圆心到直线的距离，再分别讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，设直线的方程为，并由点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】（1）由， 得圆， 所以圆心为，， 因为点为的中点，所以， 故动点的轨迹的方程为． （2）因为直线被曲线截得的弦长为， 且的方程为，半径， 所以圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 故，解得，故， 综上，直线的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $