数学全真模拟卷（2）-2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 数学 全真模拟卷（2） 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．设集合，且，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．若不等式与不等式同解，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 5．设，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知数列的前项和为，且，，则满足的的最小值为（ ） A． B． C． D．. 7．直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若复数z满足，则的模等于（   ） A．1 B． C．2 D．3 9．已知抛物线的准线方程为,则的值为（    ） A． B． C． D． 10．两个平行平面之间的距离是，一条直线和它们相交成角，那么这条直线夹在两个平面之间的线段长是（    ） A． B． C． D． 11．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（素数就是质数）的和”，如，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．从2，3，5，7，11，13这六个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是（    ） A． B． C． D． 12．若双曲线的离心率，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．在中,,求 ． 14．函数的定义域为 ． 15．若直线始终平分圆的周长，则a的值为 . 16．在的二项展开式中，的系数为10，那么 . 17．若椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成一个等边三角形，则该椭圆的离心率 . 18．若，则a的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． (1)求的长度； (2)求的余弦值． 20．已知向是，且． (1)求与； (2)若，求向量的夹角的大小． 21．如图所示，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值. 22．已知为等差数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 23．已知函数，且的解集为．设． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 24．已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为． (1)若，求切线所在的直线方程； (2)若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区普通高等学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 数学 全真模拟卷（2） 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．设集合，且，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的概念即可求解. 【详解】因为集合，且， 所以， 则，解得. 故选：D. 2．若不等式与不等式同解，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据含有绝对值的不等式的求解方法求出的解集为，再由一元二次不等式解集的概念，得的解为，将代入方程中即可求出的值. 【详解】由不等式，可得， 解得， 所以不等式的解集， 所以的解为， 当时，，解得. 故选：C. 3．设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇函数性质和解指数不等式易得答案. 【详解】因为定义在上的函数是奇函数， 所以，所以， 所以， 因为， 所以， 因为令是指数函数在定义域上是增函数， 所以， 所以实数的取值范围. 故选：D. 4．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积，结合共线即可求解. 【详解】∵与的夹角为钝角，∴，即． 当时，，解得， 当时，，此时反向共线， ∴的取值范围是． 故选：D 5．设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】指数函数在定义域上单调递增， 不等式可化为， 即， 故选：B. 6．已知数列的前项和为，且，，则满足的的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由得，即，又，所以 ，即，所以，即 ,,令，则，函数 的对称轴为，又的可能值为，所以 ，， ，这时，所以从第四项起以后各项均满足，故选A. 考点：1.与的关系；2.等比数列的定义与性质；3.数列与不等式. 【名师点睛】本题考查与的关系、等比数列的定义与性质、数列与不等式，属难题；数列与不等式恒成立问题，通常通过构造函数，通过函数的单调性、极值等解决问题；数列与不等式证明问题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等. 7．直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率公式求出斜率，再利用斜率求出倾斜角范围即可. 【详解】直线 的斜率， 因为，则，则， 则， 设倾斜角为，则， 因为，则 故选：D. 8．若复数z满足，则的模等于（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先由复数的除法求出z，再由共轭复数的概念得出，再根据复数的几何性质即可解答. 【详解】已知复数z满足， 则， 所以，所以， 故选：A. 9．已知抛物线的准线方程为,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的准线方程即可得解. 【详解】因为抛物线. 所以准线方程为. 解得. 故选:. 10．两个平行平面之间的距离是，一条直线和它们相交成角，那么这条直线夹在两个平面之间的线段长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行平面的距离和直线与平面夹角，即可求解. 【详解】    如图所示，，直线与分别交于. 过点作的垂线，交于点，连接. 题目已知，两个平行平面之间的距离是，一条直线和它们相交成角. 即，，且. 而，，故. 故选：. 11．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（素数就是质数）的和”，如，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．从2，3，5，7，11，13这六个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题意可知为古典概型，求出任选两个素数以及和不是合数的方法数即可. 【详解】由六个素数中任取两个素数可知，有种取法， 其和不是合数的有共3种， 所以任取两个素数，其和不是合数的概率为． 故选:B. 12．若双曲线的离心率，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求双曲线的离心率求解，再由双曲线中的关系求解渐近线方程即可. 【详解】双曲线的离心率是，可知，即， 所以， 所以渐近线方程为. 故选：A. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．在中,,求 ． 【答案】 【分析】由正弦定理即可得解. 【详解】由正弦定理可知. 解得. 故答案为:. 14．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据0和负数无对数，偶次根式被开方数大于等于0，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则需，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 15．若直线始终平分圆的周长，则a的值为 . 【答案】 【分析】求出给定圆的圆心坐标，利用点在直线上求出a的值. 【详解】圆的圆心坐标为， 由直线始终平分圆的周长，得此直线必过圆心， 因此，解得， 所以a的值为. 故答案为： 16．在的二项展开式中，的系数为10，那么 . 【答案】5 【分析】先写出二项展开式的通项，再根据的系数为10，进行求解. 【详解】的二项展开式的通项为，. 的系数为10，令，得到. 此时，的系数为. 即，，整理得. 得到. 故答案为：5. 17．若椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成一个等边三角形，则该椭圆的离心率 . 【答案】/ 【分析】根据题意结合椭圆的定义可得，再根据离心率公式即可求出离心率. 【详解】已知椭圆的两个焦点和短轴的一个端点构成一个等边三角形， 则等边三角形的边长为，则根据椭圆的定义可知， 即，，则该椭圆的离心率. 故答案为：. 18．若，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的值域,得,解不等式即可. 【详解】, . ,解得. 的取值范围是. 故答案为: 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． (1)求的长度； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到为等边三角形，结合中位线，由三角形相似得到； （2）先由余弦定理求出，得到，由相似知识求出，在中，由余弦定理求出，从而得到答案. 【详解】（1）连接，则是的中位线， 故，且， 在中，，又， 故是等边三角形， 所以， 因为∽，所以， 所以； （2）在中，由余弦定理得， 解得，则， 因为，所以， 在中，由勾股定理得， 因为∽，所以，解得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以的余弦值为. 20．已知向是，且． (1)求与； (2)若，求向量的夹角的大小． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据向量垂直与平行的坐标表示求、. （2）根据向量的内积求夹角. 【详解】（1）因为， 所以， 解得； 因为， 所以， 解得， 所以． （2）因为， ， 所以， 设向量的夹角为， 所以，且， 所以， 所以向量的夹角为． 21．如图所示，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将异面直线所成的角化为三角形中的角即可解得. （2）将线面角化为平面角，根据已知求得三角形边长进行计算即可解得. 【详解】（1）由题，为正方体， 则， 则即为异面直线与所成的角， 又知为正方形，为正方形对角线， 则， 即所求异面直线与所成角为. （2）由题，为正方体， 则平面，平面， 故，又， 则为与平面所成的角， 由题可知， 则，， 在直角三角形中，， 故所求线面角的正切值为. 22．已知为等差数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的性质，可求出的值，继而求出首项和公差，即可求解； （2）根据题意，结合等差数列和等比数列的前n项和公式，利用分组（并项）求和法，即可求解. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为d，又， 可得，所以， 所以，所以，， 所以； （2）因为， 前n项和 ． 23．已知函数，且的解集为．设． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得到对应方程的根与系数关系即可求解. （2）根据题干条件得到复合函数的解析式，再利用换元法求解二次函数最值即可. 【详解】（1）∵的解集为， ∴，2为方程的两根， ∴解得：， ∴. （2）∵， ∴， ∵在上恒成立， 即：在上恒成立， ， 令，则， 令， 当时，0， ∴. 24．已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为． (1)若，求切线所在的直线方程； (2)若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设切线方程为，再由圆的方程确定圆心与半径，根据圆心到切线的距离等于半径列方程求出，写出直线方程即可. （2）设切线方程为，再根据圆心到切线的距离等于半径列方程，然后有韦达定理得，再令得，设，由此得出，再由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】（1）圆，得圆心为，半径为， 若，则，所以过点引圆的两条切线斜率存在， 设切线方程为，即， 所以圆心到切线的距离， 得，解得或， 故所求切线方程为或. （2）设切线方程为，即， 设的斜率为，且圆心为， 所以圆心到切线的距离，整理得， 所以， 设与轴分别交于两点， 则当时，， 所以，， 则 ， 令，则当时，有最小值，最小值为， 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $