专题17.1 用提公因式法分解因式（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练

专题17.1 用提公因式法分解因式 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：因式分解 1 知识点梳理02：用提公因式法分解因式 2 易错点拨 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断是否是因式分解 3 考点2：已知因式分解的结果求参数 3 考点3：公因式 3 考点4：提公因式法分解因式 4 中考真题 实战演练 4 难度分层 拔尖冲刺 4 基础夯实 4 培优拔高 6 知识点梳理01：因式分解 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式． 可以看出，因式分解和整式乘法是方向相反的变形． （1）因式分解的对象：一个多项式． （2）因式分解的结果：几个整式的积． （3）因式分解的程度：每一个因式都不能再分解． （4）因式分解的本质：一种恒等变形，即只变形，不变值． 知识点梳理02：用提公因式法分解因式 1．公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式． 2．公因式的确定： （1）定系数：取各项系数的最大公因数． （2）定字母：取各项中的相同字母． （3）定指数：取相同字母的最低指数． 3．提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 4．提公因式法分解因式的一般步骤： （1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； （2）提取公因式：依据为乘法分配律 （3）确定另一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因数； （4）写成乘积的形式：相同因式的乘积写成幂的形式． 易错点拨 1．因式分解 （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 2．提公因式法 （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 考点1：判断是否是因式分解 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练01】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练02】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式从左边到右边的变形中①，②，③，④，是因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2：已知因式分解的结果求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南娄底·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为 ． 【变式训练01】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若能分解为两个一次因式的乘积，则的一个可能值是 【变式训练02】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 考点3：公因式 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练01】（25-26八年级上·甘肃天水·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】（25-26八年级上·北京·期中）与的最大公因式是 ． 考点4：提公因式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练01】（25-26八年级上·北京丰台·期中）分解因式： ． 【变式训练02】（25-26八年级上·广西北海·阶段练习）因式分解： ． 1．（2024·福建泉州·中考真题）若，则的和为 ． 2．（2024·全国·中考真题）已知，且a、b、c互不相等，则 ． 3．（2024·广东深圳·中考真题）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·中考真题）若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·贵州贵阳·中考真题）计算下列各题： (1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (2)因式分解：． 基础夯实 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）与的最大公因式是 . 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 6．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）已知，，则 ． 7．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）因式分解 ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）对下列多项式进行因式分解： (1)． (2)． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）先分解因式，再求值： (1)，其中，，． (2)，其中． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 培优拔高 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·月考）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级下·贵州毕节·期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）下面是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·北京·期中）若多项式有一个因式是，则的值为 ． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，则 ． 17．（2023七年级上·全国·竞赛）已知，则 ． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述因式分解的方法是______，共应用了______次． (2)分解因式：（n为正整数）． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，用含a，b的式子表示的值． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______法，共应用了______次． (2)若分解因式，则需要应用上述的方法______次，分解因式后的结果是______． (3)请用以上方法分解因式：（为正整数）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.1 用提公因式法分解因式 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：因式分解 1 知识点梳理02：用提公因式法分解因式 2 易错点拨 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断是否是因式分解 3 考点2：已知因式分解的结果求参数 4 考点3：公因式 5 考点4：提公因式法分解因式 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 13 知识点梳理01：因式分解 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式． 可以看出，因式分解和整式乘法是方向相反的变形． （1）因式分解的对象：一个多项式． （2）因式分解的结果：几个整式的积． （3）因式分解的程度：每一个因式都不能再分解． （4）因式分解的本质：一种恒等变形，即只变形，不变值． 知识点梳理02：用提公因式法分解因式 1．公因式：一个多项式各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式． 2．公因式的确定： （1）定系数：取各项系数的最大公因数． （2）定字母：取各项中的相同字母． （3）定指数：取相同字母的最低指数． 3．提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 4．提公因式法分解因式的一般步骤： （1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； （2）提取公因式：依据为乘法分配律 （3）确定另一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因数； （4）写成乘积的形式：相同因式的乘积写成幂的形式． 易错点拨 1．因式分解 （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 2．提公因式法 （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 考点1：判断是否是因式分解 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查因式分解的定义，解题的关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 根据因式分解的定义，逐一分析每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式． 【规范解答】解：A、是整式乘法，是把两个整式的积化为一个多项式，不是因式分解； B、，右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解； C、，将多项式化为了两个整式和的积的形式，符合因式分解的定义； D、，右边的是分式，不是整式，不是因式分解． 故选：C． 【变式训练01】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式即可． 【规范解答】解：A：，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B：，右边不是积的形式，故本选项不符合题意； C：，右边不是整式，故本选项不符合题意； D：，右边是整式的积，符合因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练02】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式从左边到右边的变形中①，②，③，④，是因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可． 【规范解答】解：①是整式乘法，不是因式分解； ② 的右边不是积的形式，不是因式分解； ③ 是因式分解； ④ 是因式分解． ∴是因式分解的有③和④，共2个， 故选：B． 考点2：已知因式分解的结果求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南娄底·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 根据是的一个因式，可得当时，代数式，把代入，求解即可． 【规范解答】∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练01】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若能分解为两个一次因式的乘积，则的一个可能值是 【答案】2（答案不唯一） 【思路点拨】此题主要考查了因式分解，正确得出等式是解题关键． 设，可得，从而得到，，即可求解． 【规范解答】解：设， ∴， ∴，， 当，时， ． 此时，能分解为两个一次因式的乘积． 故答案为：2（答案不唯一） 【变式训练02】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 【答案】1 【思路点拨】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用多项式乘多项式运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 故，， 则． 故答案为：1． 考点3：公因式 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了提公因式，解题的关键在于理解公因式的概念． 确定公因式需考虑系数和字母部分：系数取最大公约数，字母取最低次数，并注意首项符号． 【规范解答】解：多项式的各项系数为、16、12，最大公约数为4， 首项为负，故系数取； 字母的最低次幂为， 公因式为． 故选D． 【变式训练01】（25-26八年级上·甘肃天水·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查公因式的确定，确定公因式需考虑系数、字母及指数：系数取各项系数的最大公因数（带符号），字母取各项共有字母，指数取各字母的最小指数． 【规范解答】解：∵ 多项式各项系数为、、12，最大公因数为 ， 各项共有字母为a和b， a的最小指数为2，b的最小指数为2， ∴ 公因式为． 故选：D． 【变式训练02】（25-26八年级上·北京·期中）与的最大公因式是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取最小的． 根据公因式的定义进行解答． 【规范解答】解：与的公因式是． 故答案为：． 考点4：提公因式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查因式分解中提取公因式的方法，解题的关键是确定各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂． 需要分别分析系数和相同字母的幂次，确定公因式． 【规范解答】解：∵系数6和3的最大公因数为3，字母部分和中，x的最低次幂为1，y的最低次幂为1， ∴公因式为． 故选：A． 【变式训练01】（25-26八年级上·北京丰台·期中）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【规范解答】解：； 故答案为：． 【变式训练02】（25-26八年级上·广西北海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解即可，解题的关键是掌握常用的因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘、分组分解． 【规范解答】解：， 故答案为：． 1．（2024·福建泉州·中考真题）若，则的和为 ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分组，再提取公因式，最后代入即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：0 ． 2．（2024·全国·中考真题）已知，且a、b、c互不相等，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到是解题关键． 通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（2024·广东深圳·中考真题）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【规范解答】解：选项A，，是对单项式的拆分，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项B，，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项C，，是因式分解，故该选项符合题意； 选项D，，不是整式，原变形不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．（2024·北京·中考真题）若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【规范解答】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 5．（2024·贵州贵阳·中考真题）计算下列各题： (1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (2)因式分解：． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了不等式组的解法以及因式分解； （1）分别解出两个不等式，求出解集后用数轴表示即可； （2）提取公因式，即可求解． 【规范解答】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 该解集在数轴上表示为： （2）解： ． 基础夯实 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查因式分解的理解．根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的乘积的形式”，由此即可求解． 【规范解答】解：、，是因式分解，该选项符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·北京·期中）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式化为整式积的形式即可． 【规范解答】解： 选项A：变形结果不是整式的积，不符合因式分解的定义； 选项B：左边多项式 化为 ，是整式积的形式，符合因式分解的定义； 选项C：右边是 ，是和的形式，不符合因式分解的定义； 选项D：左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的定义． 故选：B． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义，并确保变形正确是解题的关键，根据因式分解的定义判断各选项即可得到答案． 【规范解答】解：A．右边为和的形式，不是积，此项错误； B．右边为和的形式，不是积，此项错误；； C．左边为多项式，右边为整式的积，且等式成立，此项错误； D．，此项错误； 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）与的最大公因式是 . 【答案】 【思路点拨】本题考查的是确定几个单项式的公因式，掌握“确定公因式的方法”是解本题的关键． 先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【规范解答】解：与的最大公因式是， 故答案为：. 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查提公因式法的应用，将代数式进行因式分解后，利用整体代入法求值． 【规范解答】∵ ，， ∴ 故答案为：． 6．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）已知，，则 ． 【答案】120 【思路点拨】本题主要考查了因式分解，代数式求值，通过因式分解，将所求表达式提取公因式，化为，然后利用整体代入法求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）因式分解 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了因式分解，观察多项式，两项均有公因式，直接提取公因式即可． 【规范解答】解：． 故答案为 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）对下列多项式进行因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先观察多项式各项，找到公因式，提取公因式后再看剩余部分是否能继续分解； （2）先将式子中的变形为，然后观察式子，找到公因式，提取公因式进行因式分解． 【规范解答】（1）解：原式， ． （2）解：原式， ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）先分解因式，再求值： (1)，其中，，． (2)，其中． 【答案】(1)，-3 (2)，35 【思路点拨】本题考查提取公因式法、公式法分解因式．根据式子特点选择合适的方法是解题关键． （1）（2）先提取公因式，再求解． 【规范解答】（1）解：原式． 当，，时， 原式． （2）解：原式 ． 当时，原式． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了因式分解的应用与代数式的化简求值，正确提取公因式是解决本题的关键． 先提取公因式，再将代入求解即可． 【规范解答】解：， ∴ ． 培优拔高 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·月考）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断即可，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【规范解答】解：A、不是因式分解，故选项不符合题意； B、是因式分解，故选项符合题意； C、不是因式分解，故选项不符合题意； D、不是因式分解，故选项不符合题意； 故选：B． 12．（22-23八年级下·贵州毕节·期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A.该选项不是因式分解，不符合题意； B. 该选项不是因式分解，不符合题意； C. 该选项是因式分解，符合题意； D. 该选项不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 13．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）下面是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【规范解答】解：A、符合因式分解的定义，故此选项符合题意， B、是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意， C、，分解错误，故此选项不符合题意， D、，分解错误，故此选项不符合题意， 故选：A． 14．（25-26八年级上·北京·期中）若多项式有一个因式是，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了用待定系数法求整式中的系数，解题的关键是正确设另一个因式． 由于是多项式的一个因式，根据因式定理，当时，多项式的值为零． 【规范解答】解：将代入多项式，得 ， 计算得 ， ， ， 解得． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了因式分解，通过变形将式子化为具有公因式的形式是解题的关键．先将题中的变形为，然后提取公因式，最后对括号内的式子进行化简即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．先对所求式子进行因式分解，再将已知条件代入计算． 【规范解答】解： ， 把，代入得： 原式 ， 故答案为：． 17．（2023七年级上·全国·竞赛）已知，则 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了已知式子的值求代数式的值，解题的关键是将原式通过提取公因式构建出．先将已知变形为，然后将原式通过提取公因式构建出，进行代入计算即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：4． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述因式分解的方法是______，共应用了______次． (2)分解因式：（n为正整数）． 【答案】(1)提公因式法  2 (2) 【思路点拨】（1）根据已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【规范解答】（1）解：提公因式法 ， 2 （2）解：原式 … ． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，用含a，b的式子表示的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了因式分解中的提取公因式法以及代数式的变形与代入求值的知识点，掌握因式分解中的提取公因式最关键． 本题将变形为，利用因式分解中的提取公因式法对原式进行整理，再将两式相加，与整理结果形式相符后，即可代入解决问题． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， ∴两式相加，得， ∴原式． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是______法，共应用了______次． (2)若分解因式，则需要应用上述的方法______次，分解因式后的结果是______． (3)请用以上方法分解因式：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式 2 (2)2024   (3) 【思路点拨】（1）把看作整体，提取公因式，观察得出提取公因式的次数； （2）根据（1）得出提取公因式的次数及结果； （3）根据（1）（2）算式最后一项的次数，得出提取公因式的次数及结果的次数． 【规范解答】（1）解：由因式分解的过程可知，因式分解的方法是提公因式法，提取了次， 故答案为：提公因式，． （2）解：根据（1）的算式最后一项的次数为，结果的次数为， 故分解因式，需要提公因式次，结果为， 故答案为：，； （3）解：原式 … ． 学科网（北京）股份有限公司 $