专题3.8 弧长及扇形面积（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题3.8 弧长及扇形面积 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：弧长公式 1 知识点梳理02：扇形面积公式 2 知识点梳理03：圆锥的侧面积和全面积 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求弧长 3 考点2：求扇形半径 4 考点3：求圆心角 6 考点4：求某点的弧形运动路径长度 7 考点5：求扇形面积 10 考点6：求弓形面积 12 考点7：求其他不规则图形的面积 15 考点8：求图形旋转后扫过的面积 20 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 28 基础夯实 28 培优拔高 36 知识点梳理01：弧长公式 半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点梳理02：扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 知识点梳理03：圆锥的侧面积和全面积 　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 　　圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 　　圆锥的侧面积， 圆锥的全面积. 要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 考点1：求弧长 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆弧所在圆的直径为12，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查弧长的计算，直接利用弧长公式求解即可． 【规范解答】∵圆的直径， ∴半径． ∵圆心角，弧长公式， ∴． 故选：B． 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，，分别与相切于点，，延长，交于点．若 ，的半径长为，则瞬间与空竹接触的细绳的长为 cm． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 连接，，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【规范解答】解：如图，连接，． ，分别与相切于点，， ． ， ， 的长， 瞬间与空竹接触的细绳的长为． 故答案为：． 【变式训练02】（2025九年级·全国·专题练习）在一个半径为6cm的圆中，有一条长度为6cm的弦，则这条弦所对的弧长为 cm． 【答案】或 【思路点拨】由弦长与半径相等，可知弦与半径构成等边三角形，圆心角为，再根据弧长公式计算劣弧长和优弧长． 【规范解答】解：连接圆心与弦的两个端点，得三角形，    其中，， 故为等边三角形，圆心角， 弦所对的劣弧长为：， 弦所对的优弧长为：， 故答案为： ． 考点2：求扇形半径 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法并求解是解决本题的关键． 先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案． 【规范解答】解：设扇形的半径为 cm， 由弧长公式 得：， 化简得 ， 解得 ， 再根据扇形面积公式 得：， 故答案为：． 【变式训练01】（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】18 【思路点拨】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的关系．解题的关键在于准确理解并运用弧长公式，通过代入已知的弧长和圆心角，进行正确的代数变换求得半径R的值．根据弧长公式，其中l为弧长，n为圆心角度数，R为半径．将已知数据代入公式即可求解半径R． 【规范解答】解：，， ， 解得， ， 故答案为：18． 【变式训练02】（25-26九年级上·全国·课后作业）一个圆锥的底面半径为5cm，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（   ） A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm 【答案】B 【思路点拨】设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可． 【规范解答】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得：， 解得．即圆锥的母线长为. 故选：B． 考点3：求圆心角 【典例精讲】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 【答案】/70度 【思路点拨】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【规范解答】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练01】（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了弧长的有关计算． 根据弧长公式，即可求解． 【规范解答】∵弧长 ，其中 ，， ∴ ， 两边除以：， 即， 简化得， ∴ ． 故此扇形的圆心角为． 故选：C． 【变式训练02】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【规范解答】解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 考点4：求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，扇形OAB从①处无滑动滚动到②处，再由②处无滑动滚动到③处．若，．求： (1)点O所经过的路径长． (2)点O所经过的路径与直线l所围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】首先分析三次旋转，每一次转动的圆心角和半径； 第一次转动的圆心角为，半径为；第二次运动的路径为一条线段；第三次转动的圆心角为，半径为；（1）（2）根据所得到的圆心角和半径，结合弧长和扇形面积的计算公式，求解即可. 【规范解答】（1）解：（1）如图所示． 由题意可知，点所经过的路径为线段，且四边形为矩形，则第一段路径的长为； 第二段路径的长为； 第三段路径的长为， 即点所经过的路径长为． （2）（2）由图可知: ， ， ， 即点所经过的路径与直线l所围成的图形的面积为． 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）如图，扇形从①处无滑动绕着点旋转到②处（），再从②处紧贴直线运动到③处．已知，（结果保留）． (1)求点运动的路径长． (2)求点走过的路径与直线围成的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）将点的运动路径分为三段，分别计算每段的弧长，再求和得到总路径长； （2）将围成的面积分为三部分，分别计算扇形面积和矩形面积，再求和得到总面积． 【规范解答】（1）解：第一段路径的长为， 第二段路径的长为， 第三段路径的长为， 点运动的路径长为． （2）解：围成的面积分成三部分：，，． 故点走过的路径与直线围成的面积． 【变式训练02】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键． 由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可． 【规范解答】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长， ， ∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈， ∵图形每旋转一圈圆心横坐标增加， ∴当图形旋转 506圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加， ∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是， 故选：A． 考点5：求扇形面积 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，边长为的正方形池塘的四周是草场，池塘围栏的M，N，P，Q处各有一根铁桩，．用长的绳子将一头牛拴在一根铁桩上．若要使牛的活动区域的面积最大，则绳子应拴在（    ） A．桩 B．桩 C．N桩 D．M桩 【答案】C 【思路点拨】本题考查了扇形面积的计算，找到扇形的半径和圆心角是解题关键． 依次求出绳子在时牛的活动区域的面积，比较大小即可． 【规范解答】解：绳子拴在桩时牛的活动区域的面积： ； 绳子拴在桩时牛的活动区域的面积：； 绳子拴在桩时牛的活动区域的面积：； 绳子拴在桩时牛的活动区域的面积与绳子拴在桩时牛的活动面积一样，是． ， 绳子应拴在桩． 故选：C ． 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）已知边长为6cm的等边三角形ABC，以AB为直径画半圆（如图），则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的对称性，等边三角形的性质以及扇形面积的计算方法，恰当的转化是解决本题的关键． 将阴影部分的面积转化为扇形的面积，依据扇形的面积公式计算结果即可． 【规范解答】解：如图，连接．根据等边三角形和圆的对称性可知，阴影部分的面积就是扇形的面积， 其中点为半圆的圆心．由题意，得扇形的半径为cm，圆心角的度数为， ． 故答案为：． 【变式训练02】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，为的中点，，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了扇形面积的计算，掌握勾股定理和扇形的面积公式是解题的关键． 根据已知条件求出，再由勾股定理求，发现，所以，同理可得，进而求出，最后根据扇形面积公式计算即可． 【规范解答】解：， ． 为的中点， ． 四边形为矩形， ， ， ∴， ． 同理，， ， ． 故选：B． 考点6：求弓形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，垂直弦的半径为，弓形的高为． (1)求的长． (2)求弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，含角的直角三角形性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理． （1）利用垂径定理得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）利用含角的直角三角形性质得出角的度数，然后利用扇形面积公式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示， 由垂径定理得，， 由勾股定理得， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积为：, ∴弓形的面积为． 【变式训练01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，如图，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【规范解答】解：如图，连接、． 由题意知， ∴， ∴点是半圆的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ． 故答案为：． 【变式训练02】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查圆周角定理，勾股定理，弓形的面积等，掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为90度可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）由勾股定理计算出，由圆周角定理得出，阴影部分的面积． 【规范解答】（1）解： 是的直径， ， 平分， ， 和都是所对的圆周角， ； （2）解： ，，， ， ， 如图，连接， 由（1）知， ， ， ， 阴影部分的面积． 考点7：求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及扇形面积，根据垂径定理和圆周角定理确定圆心是解题关键． 连接交于O，连接、，根据垂径定理可得圆心在所在直线上，根据圆周角定理可得为直径，即可得出点O为圆心，利用可证明，可得，进而可得，可得，根据等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，即可得的长，利用即可得答案． 【规范解答】如图，连接交于O，连接、， ，， 圆心在所在直线上， ，点M、P、H在圆上， 为直径， 点O为圆心， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练01】（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】过点作于点，连接，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得阴影部分的面积等于，利用扇形的面积公式计算即可得． 【规范解答】解：如图，过点作于点，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式训练02】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据圆周角，弦，弧的关系证明即可． （2）运用圆的内接四边形的性质，得到，结合，，继而得到，结合为的直径，得到，；根据，结合三角形的外角性质，计算即可． （3）连接，证明出是等边三角形，求出，根据，计算即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ； （2）解：连接，，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 扇形的面积，的面积， 阴影部分的面积扇形的面积的面积． 考点8：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）． (1)画出绕原点逆时针旋转得到的； (2)直接写出线段在（1）的旋转中扫过的面积为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了扇形面积公式，画旋转图形，正确画出旋转后的图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质确定点，再顺次连接即可； （2）根据扇形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：点到圆心的距离为， 点到圆心的距离为， 线段旋转扫过的面积为． 【变式训练01】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到（旋转角小于）使得点落在x轴正半轴上，画出； (2)在（1）的条件下，求线段所扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了作图-旋转变换，扇形的面积，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）绕点顺时针旋转得到 使得点落在x轴正半轴上，可得旋转角，根据旋转的性质即可画出； （2）根据旋转可知，线段所扫过的图形为圆心角为，半径为的扇形，根据扇形面积公式，可得答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：∵小正方形的边长均为1， ∴， ∵在（1）的条件下， ∴线段所扫过的部分是一个扇形， ∴. 【变式训练02】（2024·湖北·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点． (1)画出关于直线l对称的； (2)画出绕点A顺时针旋转的，并求出线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【思路点拨】本题考查利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）利用轴对称的性质画出图形即可； （2）利用旋转变换的性质画出图形，根据线段扫过的面积，由此计算即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ∵，， ∴线段扫过的面积． 1．（2024·北京·中考真题）如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 过点D作于点F，根据弧长公式可求出弧的长；根据等腰直角三角形的性质求得，从而求得，最后由结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可． 【规范解答】解：如图，过点D作于点F， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴弧的长为，，， ∴ ． 故答案为：； 2．（2024·全国·中考真题）如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，点经过的路径为，则涂色部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到是解题的关键． 先根据勾股定理得到，由旋转的性质得到，于是． 【规范解答】解：在中，，， 由勾股定理，得． 绕点按逆时针方向旋转后得到， ，， ， ． 故答案为：． 3．（2024·广西南宁·中考真题）如图，现有一块直径为10的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆周角定理由得为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解． 【规范解答】解：连接， ∵， 为的直径，即， ∵玉佩的形状是扇形， ∴， ， ， ． 故选：C． 4．（2024·湖南湘西·中考真题）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，根据正六边形内接于，可得：，又因为，可知是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一定理可得：，利用勾股定理求出的长度，再利用弧长公式求出的长度即可． 【规范解答】解：如下图所示，连接、，则， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 故选：B． 5．（2024·云南昆明·中考真题）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)请画出与关于原点对称的； (2)请画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标____； (3)求绕点逆时针旋转后，点所经过的路程． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3) 【思路点拨】本题考查坐标与旋转，求弧长，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据关于原点对称的点的特点，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）根据题意，得到点所经过的路程为以为半径，圆心角为的弧长，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 由图可知：； （3）由勾股定理，得：， 由题意可知，点所经过的路程为． 基础夯实 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．直接使用弧长公式计算即可． 【规范解答】解：根据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：． 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，长沙市某处位于北纬（即），东经，南沙群岛某处位于北纬（即），东经．设地球的半径为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（    ）千米 A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式，能根据纬度求出和两点对应的圆心角的度数是解题的关键． 由位于北纬，即，位于北纬，即 ，且和都在东经的经线圈上，得出它们的圆心角是，再根据弧长公式计算劣弧的长度即可． 【规范解答】解：∵位于北纬，即，位于北纬，即 ，且和都在东经的经线圈上， ∴， ∴点和点之间的劣弧长为：． 故选：． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图所示，当半径为的传动轮按顺时针方向转过角时，传送带上的物体A平移的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查弧长的计算，解题关键在于掌握弧长公式． 传送带上的物体A平移的距离为半径为的传动轮转过角的扇形的弧长，根据弧长公式可得． 【规范解答】解：， 即传送带上的物体A平移的距离为． 故选：D 4．（25-26九年级上·北京海淀·阶段练习）如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了扇形的面积计算，根据列式求解即可． 【规范解答】解：由题意得， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（取3.14） 【答案】 【思路点拨】本题考查不规则面积求法，涉及扇形面积公式、圆面积公式等知识，数形结合，准确表示不规则图形面积是解决问题的关键． 如图所示，，，从而得到两个阴影部分的面积差是，再由代值求解即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示： ，， ，， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个扇形的圆心角为，半径为9，则该扇形的弧长为 （结果保留π）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了扇形的弧长公式，利用弧长公式计算扇形的弧长即可得到答案； 【规范解答】解：∵扇形的圆心角为，半径为9， ∴， 故答案为：． 7．（2025九年级·全国·专题练习）家具厂利用如图所示的直径为1m的圆形材料加工成一种扇形家具部件．已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】先确定扇形的半径，再根据扇形面积公式进行面积计算． 【规范解答】解：①首先确定扇形的半径： 已知圆形材料的直径为，连接， ∵， ∴是圆的直径，即． 在中，，根据勾股定理， ∴，解得：，即扇形半径． ②计算扇形的面积： 已知圆心角，根据扇形面积公式得： ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请解答下列问题： (1)在坐标系中画出绕点逆时针旋转后的并直接写出点的对应点的坐标________； (2)求旋转过程中线段扫过部分的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【思路点拨】本题考查了画旋转图形以及求图形旋转后扫过的面积，确定图形经过旋转变换后的对称点是作图关键； （1）确定绕点逆时针旋转后的对称点即可； （2）求出，即可进一步求出扇形的面积； 【规范解答】（1）解：如图所示： 由图可知：点的坐标为； （2）解：由图可知：， ∴线段扫过部分的面积为： 9．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，弦于点E，连结． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4π 【思路点拨】本题主要考查了求扇形面积、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论； （2）根据圆周角定理求出，进而可得，根据正弦的定义求出，利用扇形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵是的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径，弦， ∴， 在中，， ∴扇形（阴影部分）的面积， 答：阴影部分的面积为． 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，，， (1)画出右移2个单位，再上移2个单位后得到的； (2)画出绕O点顺时针旋转后得到的； (3)求出点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【思路点拨】本题考查平移作图，旋转作图，弧长公式，找出平移、旋转后对应点的位置是解题的关键． （1）将，，分别向右移2个单位，再上移2个单位，再顺次连接即可； （2）将，，分别绕O点顺时针旋转，再顺次连接即可； （3）利用弧长公式求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， 点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长： 培优拔高 11．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D ，E 分别在上，点 C 在上．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查的是扇形面积、30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，根据勾股定理求得的长是解题的关键． 连接，过点作，垂足为点．根据菱形性质可得，，在中，可求，，然后利用在中可求得，最后由阴影部分的面积扇形的面积求解即可． 【规范解答】解：连接，过点作，垂足为点． ∵在菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴，扇形的面积， ∴， ， ∵在菱形，， ∴，解得：， ∴， 阴影部分的面积扇形的面积 ． 故选：A． 12．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，是半圆的直径，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查圆的性质．设半圆的圆心为O，连接，求出圆心角，再利用圆的周长公式即可求解． 【规范解答】解：设半圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B． 13．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为；…；按此规律，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，余弦，扇形面积．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，，，，……均为等腰直角三角形，则，，，……，由，，，，……，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【规范解答】解：由题意知，，，，……，均为等腰直角三角形． ∴，，，……． ∴，， ，，……． ∴可推导一般性规律为． ∴当时， ∴． 故选：A． 14．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中，量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应划过的的长度是 ．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．连接、，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，即点在以为直径的圆上，再根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式计算即可． 【规范解答】解：连接、，如图， 为量角器的直径， 为直角三角形斜边上的中线， ，即点在以为直径的圆上， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，的顶点在半径为9的上，，边，分别与交于D，E两点，则劣弧的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是利用圆周角定理求出圆心角的度数，再结合弧长公式计算． 连接、，根据圆周角定理得出，再代入弧长公式（其中为圆心角度数，为半径）计算劣弧的长度． 连接、，得出，由弧长公式即可得出答案． 【规范解答】解：连接、，如图所示： ， ， ， ∴劣弧的长． 故答案为：． 16．（24-25九年级下·广东广州·自主招生）如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为2，，将纸片沿、折叠，交于点，图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【思路点拨】如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、，由折叠得 ，利用，求出 ， ，得到 ， ，同理： ，证明，推出，得到弓形与弓形的面积相等，利用阴影的面积代入数值计算即可． 【规范解答】解：如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、， 由折叠得， ， ，， ，， ， ， ， ， 同理： ， ， ，， ∴ ， ， ， 弓形与弓形的面积相等， 阴影的面积 ． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆，D为上一动点，过A作直线的垂线，垂足为E．在D从A沿运动到C的过程中，点E经过的路径长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识点，根据直径所对圆周角等于90度得到点E的轨迹是解题的关键．根据可推出点E在以为直径的圆上运动，当点D与点C重合时，连接，取的中点G，求得点E的最终位置，根据圆周角定理得出点E的旋转角，最后根据弧长公式求解即可． 【规范解答】解：∵，即， ∴点E在以为直径的圆上运动， 当点D与点C重合时，连接，取的中点G，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E旋转的度数为， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即， ∴点E经过的路径长为． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了扇形面积的计算、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． （1）先求出的度数，再由得出，最后利用外角性质即可得答案； （2）过点作于点，将阴影部分的面积转化为扇形与的面积之差即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的直径，点M，N均在上，，弦． (1)求直径的长； (2)求劣弧的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】该题考查了圆周角定理，弧长公式，直角三角形的性质． （1）根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质即可求解． （2）连接，求出，根据弧长公式即可求解． 【规范解答】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴的直径为； （2）解：如图，连接， 则， ∴的长为． 20．（22-23九年级上·福建福州·月考）如图，C，D是以为直径的半圆上的两点，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到，根据得到，进而得到结论； （2）连接，根据所求的阴影部分面积与扇形的面积及的关系即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接 交线段于点M． ∵°， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.8 弧长及扇形面积 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：弧长公式 1 知识点梳理02：扇形面积公式 2 知识点梳理03：圆锥的侧面积和全面积 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求弧长 3 考点2：求扇形半径 3 考点3：求圆心角 3 考点4：求某点的弧形运动路径长度 4 考点5：求扇形面积 5 考点6：求弓形面积 6 考点7：求其他不规则图形的面积 7 考点8：求图形旋转后扫过的面积 8 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 14 知识点梳理01：弧长公式 半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点梳理02：扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 知识点梳理03：圆锥的侧面积和全面积 　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 　　圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 　　圆锥的侧面积， 圆锥的全面积. 要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 考点1：求弧长 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆弧所在圆的直径为12，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，，分别与相切于点，，延长，交于点．若 ，的半径长为，则瞬间与空竹接触的细绳的长为 cm． 【变式训练02】（2025九年级·全国·专题练习）在一个半径为6cm的圆中，有一条长度为6cm的弦，则这条弦所对的弧长为 cm． 考点2：求扇形半径 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为 ． 【变式训练01】（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 【变式训练02】（25-26九年级上·全国·课后作业）一个圆锥的底面半径为5cm，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（   ） A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm 考点3：求圆心角 【典例精讲】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 【变式训练01】（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 考点4：求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，扇形OAB从①处无滑动滚动到②处，再由②处无滑动滚动到③处．若，．求： (1)点O所经过的路径长． (2)点O所经过的路径与直线l所围成的图形的面积． 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）如图，扇形从①处无滑动绕着点旋转到②处（），再从②处紧贴直线运动到③处．已知，（结果保留）． (1)求点运动的路径长． (2)求点走过的路径与直线围成的面积． 【变式训练02】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（    ） A． B． C． D． 考点5：求扇形面积 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，边长为的正方形池塘的四周是草场，池塘围栏的M，N，P，Q处各有一根铁桩，．用长的绳子将一头牛拴在一根铁桩上．若要使牛的活动区域的面积最大，则绳子应拴在（    ） A．桩 B．桩 C．N桩 D．M桩 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）已知边长为6cm的等边三角形ABC，以AB为直径画半圆（如图），则阴影部分的面积是 ． 【变式训练02】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，为的中点，，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 考点6：求弓形面积 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，垂直弦的半径为，弓形的高为． (1)求的长． (2)求弓形的面积． 【变式训练01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式训练02】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)求图中阴影部分的面积． 考点7：求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积 ． 【变式训练01】（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则阴影部分的面积为 ． 【变式训练02】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中阴影部分的面积． 考点8：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）． (1)画出绕原点逆时针旋转得到的； (2)直接写出线段在（1）的旋转中扫过的面积为多少？ 【变式训练01】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到（旋转角小于）使得点落在x轴正半轴上，画出； (2)在（1）的条件下，求线段所扫过的面积． 【变式训练02】（2024·湖北·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点． (1)画出关于直线l对称的； (2)画出绕点A顺时针旋转的，并求出线段扫过的面积． 1．（2024·北京·中考真题）如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 2．（2024·全国·中考真题）如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，点经过的路径为，则涂色部分的面积为 ． 3．（2024·广西南宁·中考真题）如图，现有一块直径为10的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南湘西·中考真题）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2024·云南昆明·中考真题）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)请画出与关于原点对称的； (2)请画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标____； (3)求绕点逆时针旋转后，点所经过的路程． 基础夯实 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，长沙市某处位于北纬（即），东经，南沙群岛某处位于北纬（即），东经．设地球的半径为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（    ）千米 A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图所示，当半径为的传动轮按顺时针方向转过角时，传送带上的物体A平移的距离为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京海淀·阶段练习）如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 5．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（取3.14） 6．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个扇形的圆心角为，半径为9，则该扇形的弧长为 （结果保留π）． 7．（2025九年级·全国·专题练习）家具厂利用如图所示的直径为1m的圆形材料加工成一种扇形家具部件．已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为 ． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请解答下列问题： (1)在坐标系中画出绕点逆时针旋转后的并直接写出点的对应点的坐标________； (2)求旋转过程中线段扫过部分的面积． 9．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，弦于点E，连结． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，，， (1)画出右移2个单位，再上移2个单位后得到的； (2)画出绕O点顺时针旋转后得到的； (3)求出点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长． 培优拔高 11．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D ，E 分别在上，点 C 在上．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，是半圆的直径，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为；…；按此规律，则为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中，量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应划过的的长度是 ．（结果保留） 15．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，的顶点在半径为9的上，，边，分别与交于D，E两点，则劣弧的长度为 ． 16．（24-25九年级下·广东广州·自主招生）如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为2，，将纸片沿、折叠，交于点，图中阴影部分面积为 ． 17．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆，D为上一动点，过A作直线的垂线，垂足为E．在D从A沿运动到C的过程中，点E经过的路径长为 ． 18．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 19．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的直径，点M，N均在上，，弦． (1)求直径的长； (2)求劣弧的长． 20．（22-23九年级上·福建福州·月考）如图，C，D是以为直径的半圆上的两点，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $