专题3.6-3.7 圆内接四边形与正多边形（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题3.6-3.7 圆内接四边形与正多边形 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆内接四边形 1 知识点梳理02：圆内接四边形性质定理 1 知识点梳理03：正多边形的相关概念 2 知识点梳理04：正多边形的性质 2 知识点梳理05：正多边形的画法 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：已知圆内接四边形求角度 4 考点2：求四边形外接圆的直径 5 考点3：求正多边形的中心角 6 考点4：已知正多边形的中心角求边数 6 考点5：正多边形和圆的综合 7 考点6：尺规作图——正多边形 8 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 13 知识点梳理01：圆内接四边形 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 知识点梳理02：圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点梳理03：正多边形的相关概念 　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关要素 　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点梳理04：正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点梳理05：正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　①正四、八边形. 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. ②正六、三、十二边形的作法. 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……. 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1：已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，等边的顶点A在上，边、与分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接、，则的度数为 【变式训练01】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则 ． 【变式训练02】（25-26九年级上·全国·周测）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD．若，，则的周长是（    ）    A． B．4 C．6 D．8 考点2：求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（2024·浙江宁波·一模）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 【变式训练01】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则 ． 【变式训练02】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 考点3：求正多边形的中心角 【典例精讲】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【变式训练01】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）正边形的边数变为原来的倍时，它的每个内角增加 ，每个中心角减少 ． 【变式训练02】（2024·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 考点4：已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·阶段练习）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【变式训练01】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，是内接正n边形的一条边，点C是上一点，连接，，则n的值为 ． 【变式训练02】（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 考点5：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ． 【变式训练02】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ． 考点6：尺规作图——正多边形 【典例精讲】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）作图题： (1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 【变式训练01】（2024·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【变式训练02】（2024·陕西·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 1．（2024·全国·中考真题）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）下列命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤每条边都相等的圆内接多边形是正多边形．其中正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·北京·中考真题）如图，是正八边形的外接圆．有下列四个结论：①所对圆心角的度数为；②；③为等边三角形；④．其中正确的是 （填序号）． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为 ． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．点是第一象限抛物线上一动点，轴于点，交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)过点、、的圆上有一点，请直接写出的度数为___________； (3)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (4)当时，抛物线的最大值为3，请直接写出的值为___________． 基础夯实 1．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列说法正确的是（    ） A．任意三点可以确定一个圆 B．圆内接四边形对角互补 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为 ． 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，四边形是的内接正方形．若正方形的面积等于16，则的面积等于 ． 6．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C三点都在上，，则 ． 7．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，点A是外一点，连接并延长交于点D，若，则 ． 8．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，是的直径，是弦，D是上一点，P是延长线上一点，连接．求证：（请用两种证法解答） 9．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，是的内接四边形的一个外角，如果，请求出的度数． 10．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 培优拔高 11．（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 12．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知正五边形ABCDE内接于，连接OB，OE，BE，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，在等腰直角三角形中，，，点为斜边的中点，是上一动点，过点作垂直于交于点，连接，则的最小值是 ． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为 ． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 17．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正八边形的两条对角线、相交于点，的度数为 ． 18．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 19．（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：，，请计算这块规划用地的最大面积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6-3.7 圆内接四边形与正多边形 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆内接四边形 1 知识点梳理02：圆内接四边形性质定理 2 知识点梳理03：正多边形的相关概念 2 知识点梳理04：正多边形的性质 3 知识点梳理05：正多边形的画法 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：已知圆内接四边形求角度 4 考点2：求四边形外接圆的直径 6 考点3：求正多边形的中心角 9 考点4：已知正多边形的中心角求边数 11 考点5：正多边形和圆的综合 13 考点6：尺规作图——正多边形 15 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 25 基础夯实 25 培优拔高 32 知识点梳理01：圆内接四边形 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 知识点梳理02：圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点梳理03：正多边形的相关概念 　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关要素 　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点梳理04：正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点梳理05：正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　①正四、八边形. 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. ②正六、三、十二边形的作法. 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……. 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1：已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，等边的顶点A在上，边、与分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接、，则的度数为 【答案】120 【思路点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质．直接根据等边三角形的性质、圆内接四边形对角互补计算即可． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵A、D、E、F均在上， ∴， 故答案为：． 【变式训练01】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则 ． 【答案】122 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由为直径可知，进而可得，再利用圆内接四边形对角互补即可得解． 【规范解答】解：是直径， ， ， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 故答案为：122． 【变式训练02】（25-26九年级上·全国·周测）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD．若，，则的周长是（    ）    A． B．4 C．6 D．8 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆内接四边形，等边三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据四边形内接于得出，再证明是等边三角形，可求周长． 【规范解答】解：∵四边形内接于 是等边三角形， ∴的周长 故选：C． 考点2：求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（2024·浙江宁波·一模）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】过点O作于点H，作于点I，连接，证明点P运动的轨迹是线段，作点A关于直线的对称点，当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：过点O作于点H，作于点I，连接，， ∵点O为正方形的中心， ∴，， ∴四边形为正方形，为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴E、I、O、P四点共圆， ∴， ∵， ∴点P运动的轨迹是线段， 作点A关于直线的对称点，   当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长， 过点作交延长线于点Q， 同理得四边形为正方形，且边长为4， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式训练01】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则 ． 【答案】 【思路点拨】首先根据题意得到四点共圆，且为直径，然后设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E，，然后根据勾股定理列方程求出，进而可得出的值． 【规范解答】∵ ∴ ∴四点共圆，且为直径， 如图所示，设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E， 则 ∵ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， 即，解得 ∴， ∵点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【变式训练02】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 考点3：求正多边形的中心角 【典例精讲】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【答案】D 【思路点拨】本题考查正多边形的相关概念，包括外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角．本题主要考查了正多边形的外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角的概念，熟练掌握这些概念的定义是解题的关键．依据各概念的定义判断选项正误即可． 【规范解答】解：正多边形的中心是外接圆和内切圆的共同圆心，故A正确，不符合题意． 正多边形的半径定义为外接圆的半径，故B正确，不符合题意． 正多边形的边心距是中心到边的距离，等于内切圆的半径，故C正确，不符合题意． 外接圆的圆心角是圆中任意的圆心角，正多边形的中心角是相邻顶点与圆心形成的角（），两者不等价，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式训练01】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）正边形的边数变为原来的倍时，它的每个内角增加 ，每个中心角减少 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正多边形外角、内角及中心角的计算方法，关键是知识的熟练应用． 分别计算出两个正多边形每个内角及中心角的度数，然后作差即可求得. 【规范解答】∵正边形的每个外角为， ∴每个内角为， ∵正边形的每个外角为， ∴正边形的每个内角为， ∴ ∵正边形的每个中心角为， 正边形的每个中心角为， ∴ 故答案是：，． 【变式训练02】（2024·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【规范解答】解：正六边形的中心角等于； 故答案为：． 考点4：已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·阶段练习）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【思路点拨】本题考查圆与正多边形，根据正n边形的中心角为计算即可． 【规范解答】解：设这个正多边形的边数为n，则 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴这个多边形是正五边形． 故答案为：C． 【变式训练01】（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，是内接正n边形的一条边，点C是上一点，连接，，则n的值为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正多的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式训练02】（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【思路点拨】本题考查圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到，于是得到结论． 【规范解答】解：如图，连接， ， ， 该正多边形的边数为， 故选C． 考点5：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 【答案】1/ 【思路点拨】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【规范解答】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ． 【答案】 【思路点拨】先求出正五边形每个内角的度数，再求，最后用除以的度数即可． 【规范解答】解：正五边形每个内角为：， ∴， ∴正五边形的个数是． 故答案为：． 【变式训练02】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ． 【答案】/126度 【思路点拨】此题考查了圆周角定理，正多边形和圆的性质，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，，，，，首先根据多边形和圆的性质得到，然后根据圆周角定理得到，，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】如图所示，连接，，，， ∵正五边形内接， ∴ ∵点F是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 考点6：尺规作图——正多边形 【典例精讲】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）作图题： (1)尺规作图：如图，已知线段．求作线段的垂直平分线l，交于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）分别以、为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可． （2）连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，即可得出图形． 【规范解答】（1） （2）解：连接并延长到F，使得，连接BO并延长到E，使得，连接，，， 如图，六边形即为所求． 【变式训练01】（2024·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【思路点拨】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【规范解答】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【变式训练02】（2024·陕西·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【规范解答】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 1．（2024·全国·中考真题）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理得到，即可求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵为的外接圆，且是的直径，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）下列命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤每条边都相等的圆内接多边形是正多边形．其中正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】根据圆的基本性质、确定圆的条件、三角形的外心性质、等弧的定义以及正多边形的判定，逐个分析判断，即可解题． 【规范解答】解：①直径是弦，正确； ②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故②错误； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确； ④半径相等的两个半圆是等弧，正确； ⑤在圆内接多边形中， 每条边都相等， 各边所对的圆心角也相等，结合等腰三角形性质可推出圆内接多边形各角相等． 每条边都相等的圆内接多边形是正多边形， 故⑤正确． 综上所述，正确结论的个数为4个， 故选：D． 3．（2024·北京·中考真题）如图，是正八边形的外接圆．有下列四个结论：①所对圆心角的度数为；②；③为等边三角形；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④ 【思路点拨】分别对四个结论进行分析，利用正八边形的性质、圆心角的计算、勾股定理及面积公式判断对错． 【规范解答】解：如图，连接． ， ， 即所对的圆心角的度数为， 结论①错误； ， ． ， 结论②正确； ， 不是等边三角形， 结论③错误； ， ， 结论④正确． 综上所述，正确的结论是②④． 故答案为：②④． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为 ． 【答案】160 【思路点拨】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构造内接四边形是解题的关键． 连接，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得． 【规范解答】解：如图，连接， ∵为， ∴， ∵点B、C、D、E在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：160． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．点是第一象限抛物线上一动点，轴于点，交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)过点、、的圆上有一点，请直接写出的度数为___________； (3)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (4)当时，抛物线的最大值为3，请直接写出的值为___________． 【答案】(1)抛物线解析式为；直线解析式为 (2) (3) (4)3或 【思路点拨】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、分类讨论思想等及圆内接四边形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）由题意知，四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得，即可求解； （3）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （4）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出m的值． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：、， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由题意知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵轴，点P的横坐标为， ∴、， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （4）解：抛物线，其对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： ①当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ②当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③当，即时，当时，y有最大值， 故这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 故答案为：3或． 基础夯实 1．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径所对的角为直角求解即可． 【规范解答】解：四边形内接于， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列说法正确的是（    ） A．任意三点可以确定一个圆 B．圆内接四边形对角互补 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 【答案】B 【思路点拨】本题考查了确定圆的条件、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识是解题关键．根据确定圆的条件、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理的推论逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，则此项错误，不符合题意； B、圆内接四边形对角互补，则此项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则此项错误，不符合题意； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论． 【规范解答】点O 为正六边形的 中心， ， ， 为等边三角形， ， 过点作， ， ， ， ． 故选． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了正多边形和圆的综合，正六边形的外接圆半径等于其边长． 【规范解答】解：正六边形的中心与各顶点相连，将正六边形分成六个全等的等边三角形，每个等边三角形的边长均为6，因此外接圆的半径为6． 故答案为：6． 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，四边形是的内接正方形．若正方形的面积等于16，则的面积等于 ． 【答案】 【思路点拨】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解． 【规范解答】解：正方形的边长， 则半径是， 则面积是． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C三点都在上，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形的性质可以求出． 【规范解答】解：如下图所示， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 7．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，是的直径，点A是外一点，连接并延长交于点D，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解答本题的关键．连接、，由圆周角定理可得，再结合可得，进而得到；再根据圆的内接四边形的性质可得，进而得到，最后根据圆周角定理即可解答． 【规范解答】解：如图，连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，是的直径，是弦，D是上一点，P是延长线上一点，连接．求证：（请用两种证法解答） 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．证法一：连接，则，根据是的直径，可得，即可解答；证法二：连接，根据圆内接四边形的性质可得，再由是的直径，可得，即可解答． 【规范解答】证法一：如图①，连接，则． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 证法二：如图②，连接． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，是的内接四边形的一个外角，如果，请求出的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理和圆的内接四边形的性质，根据圆周角定理可求出，根据圆的内接四边形的性质和邻补角的性质可求出，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴． 10．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的性质与判定，圆的定义； （1）取的中点，作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而结合已知证明，得出，即可得证 （2）根据正边形的定义可得，对称中心到所有顶点的距离相等，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，取的中点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形有外接圆； （2）解：∵正边形是各边长度相等、各内角相等的多边形，其对称中心到所有顶点的距离相等； ∴正边形的所有顶点共圆，外接圆存在． 培优拔高 11．（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【思路点拨】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题． 通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到． 【规范解答】解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ∴ ①②可行，③不可行， 故选：B． 12．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知正五边形ABCDE内接于，连接OB，OE，BE，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】先求出正五边形的中心角，来确定的度数，然后利用等腰三角形的性质进行求解． 【规范解答】解：如图，连接OA， 正五边形内接于， ， ． ， ． 故选：C 13．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【规范解答】解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，在等腰直角三角形中，，，点为斜边的中点，是上一动点，过点作垂直于交于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，垂线段最短等知识，先由已知得和互补，则有、、、四点共圆，为直径，连接，根据等腰直角三角形的性质得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据等腰三角形三线合一的性质得，则当为直径时，圆最小，也最小，根据垂线段最短可得答案． 【规范解答】解：如图， 可知和互补， 所以、、、四点共圆，为直径， 连接， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵点为斜边的中点， ∴，， ∴当为直径时，圆最小，也最小， ∴的最小值为． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 连接、、、、、，根据四边形是正方形得到，根据正五边形内接于，得到，进而得到、的度数，据此求解的度数即可． 【规范解答】如图，连接、、、、、， 四边形是正方形， ， 过圆心， ，， 正五边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 4 【思路点拨】（1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径； （2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问． 【规范解答】解：（1）的面积为， ， 的直径长为， 故答案为：； （2）如图，连接，，以、为边作，连接， 四边形为正方形， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 当、、共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：4． 17．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正八边形的两条对角线、相交于点，的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正多边形的内角问题，三角形的内角和定理，等边对等角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据正多边形的一个内角的度数的计算方法，求出的度数，等边对等角，求出的度数，根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，即可得出结果． 【规范解答】解：∵正八边形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 18．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 【规范解答】（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴， ， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 19．（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】本题考查作图复杂作图正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上任意取一点，以为圆心，为半径把六等分可得正六边形； （2）连接，，过点作于点证明是等边三角形，进而求出，根据勾股定理即可求出，问题得解． 【规范解答】（1）解：如图，六边形即为所求； 证明：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）解：连接，，过点作于点． ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：，，请计算这块规划用地的最大面积． 【答案】四边形的最大面积为． 【思路点拨】延长，过点A作于点E，连接，过点D作于点F．由，得，可得，，得．当时，最大，此时的面积最大，四边形的面积最大．是等边三角形．，，．即得四边形的最大面积为． 【规范解答】解：∵四边形中，， ∴A、B、C、D四点共圆， 如图，延长，过点A作于点E，连接，过点D作于点F． ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 当时，最大，的面积最大四边形的面积最大，此时是等边三角形． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴四边形的最大面积为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $