专题09 商的变化规律（期末专项训练）数学青岛版四年级上册

专题09 商的变化规律 （3种类型30道） 目录 题型一、判断商是几位数（除数是两位数） 1 题型二、商的变化规律及应用 2 题型三、商不变的规律及应用 3 题型一、判断商是几位数（除数是两位数） 1．（24-25四年级上·江苏淮安·期中）5□8÷54的商是一位数，那么□里有（    ）种填法。 A．4 B．3 C．2 2．（24-25四年级上·海南省直辖县级单位·期中）372除以45，商是（    ）位数；532除以53，商是（    ）位数。 A．一，两 B．两，三 C．三，两 3．（24-25四年级上·广西北海·期中）59÷49的商是两位数。被除数里的可以填的数有（    ）种情况。 A．4 B．5 C．6 4．（24-25四年级上·江苏盐城·期中）在45÷65中，如果商是一位数，里最大可以填( )；如果商是两位数，里最小可以填( )。 5．（25-26五年级上·河南濮阳·期中）三位数65□除以50的商是( )位数，4□8÷50的商是( )位数。 6．（24-25四年级上·江苏盐城·期中）要使□53÷65的商是一位数，□里最大可以填( )；要使商是两位数，□里最小可以填( )。 7．（25-26四年级上·山西临汾·阶段练习）318÷54的商是( )位数，试商时可以把54看作( )来试商，这时商可能会偏( )；378÷36的商是( )位数，试商时可以把36看作( )来试商。 8．（25-26四年级上·全国·课后作业）算式490÷40的被除数的前两位是( )，大于除数，所以490÷40的商是( )位数，商是( )，余数是( )。 9．（24-25四年级下·山西临汾·期末）如果□62÷26的商是一位数，□里只能填( )；如果商是二十多，□里最小填( )。 10． （24-25三年级下·上海青浦·期末）如果□880÷58的商是两位数，那么□里最大填( )；如果要使商是三位数，□里最小填( )。 题型二、商的变化规律及应用 1．（24-25四年级上·广西·期中）一种商品价钱降到原来的一半后，原来购买50件商品的钱，现在可以购买（    ）件。 A．25 B．50 C．100 2．（25-26四年级上·全国·课后作业）两数相除，商是30且没有余数。如果被除数乘3，除数不变，那么商是（    ）；如果被除数不变，除数乘3，那么商是（    ）。 A．10 B．30 C．90 3．（24-25四年级上·河北张家口·期中）两数相除的商是24，被除数不变，除数扩大到原来的2倍，商是（    ）。 A．24 B．48 C．12 4．（25-26四年级上·全国·课后作业）乐乐在计算一道除法算式时，漏看了除数末尾的一个“0”，结果得到的商是60。正确的商是（    ）。 A．6 B．60 C．600 5．（22-23四年级下·山东德州·期末）如果□÷△＝4，那么□÷（△÷2）＝( )。 6．（21-22四年级上·山东聊城·期末）根据612÷18＝34，直接写出下面各题的得数。 6120÷180＝( )        306÷9＝( )        340×18＝( ) 7．（2023四年级上·山东德州·期末）在没有余数的除法里，两数相除，商是28，如果被除数不变，除数除以7，那么商是( )。 8．（2023四年级上·山东德州·期末）在1440÷36＝40中，如果被除数和除数同时乘10，商是( )；如果被除数不变，除数除以2，商是( )；如果除数不变，被除数乘2，商是( )。 9．（23-24三年级下·上海嘉定·期中）要使897÷39的商增加5，被除数应增加( )（没有余数）；如果被除数减少78，商减少( )。 10.（24-25四年级上·江苏常州·期中）王老师原计划30天画完900幅漫画，她平均每天要画多少幅？如果她每天只能画计划的一半，那么她画完900幅漫画需要多少天？ 题型三、商不变的规律及应用 1．（25-26四年级上·广西防城港·阶段练习）210÷70结果相同的是（    ）。 A．2100÷70 B．21÷7 C．210÷7 2．（25-26四年级上·广西防城港·阶段练习）120÷30＝4，如果被除数和除数同时除以3，那么商是（    ）。 A．3 B．4 C．12 3．（25-26四年级上·江苏苏州·阶段练习）两个数相除，商是15，余数是10，如果被除数和除数同时除以5，那么商和余数分别是（    ）。 A．15，2 B．3，10 C．15，10 4．（25-26五年级上·吉林长春·期中）计算26÷1.3时，一般看成( )÷( )，商是( )。 5．（24-25四年级上·江苏盐城·期中）红红把一个容量为3升的水壶装满水后，向容量为400毫升的杯子里倒水。最多可以倒满 杯。 6．（25-26四年级上·广西防城港·阶段练习）两个数相除，如果被除数乘7，要使商不变，除数应( )。如果除数除以5，要使商不变，被除数应( )。 7．（24-25五年级上·广西玉林·期中）在小数除法中，被除数扩大到原来的10倍，除数扩大到原来的( )倍，商的大小不变。 8．（24-25四年级上·海南·期中）如果32÷8＝4，那么320÷80＝( )。 9．（24-25五年级上·广东·期中）两个数的商是6.8，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么商是( )。 10．（25-26四年级上·全国·单元测试）两数相除，商11余13，已知被除数、除数、商与余数的和是553，那么被除数和除数分别是多少？若将被除数和除数同时扩大到原来的2倍，扩大后被除数和除数得到的商和余数分别是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 商的变化规律 （3种类型30道） 目录 题型一、判断商是几位数（除数是两位数） 1 题型二、商的变化规律及应用 4 题型三、商不变的规律及应用 8 题型一、判断商是几位数（除数是两位数） 1．（24-25四年级上·江苏淮安·期中）5□8÷54的商是一位数，那么□里有（    ）种填法。 A．4 B．3 C．2 【答案】A 【分析】三位数除以两位数，如果被除数的前两位大于等于除数，则商是两位数，被除数的前两位小于除数，商是一位数；所以5□8÷54的商是一位数，说明5□＜54，□＜4，据此解题。 【详解】5□8÷54的商是一位数，所以5□＜54，□可以是0、1、2、3，那么□里有4种填法。 故答案为：A 2．（24-25四年级上·海南省直辖县级单位·期中）372除以45，商是（    ）位数；532除以53，商是（    ）位数。 A．一，两 B．两，三 C．三，两 【答案】A 【分析】判断除法中商的位数，可根据“被除数的前几位与除数的大小关系”来分析： 对于372÷45：被除数的前两位是37，37＜45，所以商是一位数。 对于532÷53：被除数的前两位是53，53＝53，所以商是两位数。 【详解】根据分析可知，372除以45，商是一位数；532除以53，商是两位数。 故答案为：A 3．（24-25四年级上·广西北海·期中）59÷49的商是两位数。被除数里的可以填的数有（    ）种情况。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】 三位数除以两位数，如果要使商是两位数，则三位数的前两位组成的数要大于两位数，说明5＞49，据此判断。 【详解】 5＞49，则可以填5、6、7、8、9，有5种情况。 故答案为：B 4．（24-25四年级上·江苏盐城·期中）在45÷65中，如果商是一位数，里最大可以填( )；如果商是两位数，里最小可以填( )。 【答案】 6 7 【分析】由题意可得，三位数除以两位数，要使商是一位数，那么除数只能比被除数的前两位大；要使商是两位数，那么除数只能等于或小于被除数的前两位；此题依此填空即可。 【详解】□45÷65，如果商是一位数，□里最大可以填6； 如果商是两位数，□里最小可以填7。 5．（25-26五年级上·河南濮阳·期中）三位数65□除以50的商是( )位数，4□8÷50的商是( )位数。 【答案】 两 一 【分析】判断65□除以50和4□8÷50的商是几位数，看被除数的前两位，如果大于除数，商就是两位数；如果被除数前两位小于除数，商就是一位数。据此解答。 【详解】65＞50，所以三位数65□除以50的商是两位数； 4□＜50，4□8÷50的商是一位数； 故三位数65□除以50的商是两位数，4□8÷50的商是一位数。 6．（24-25四年级上·江苏盐城·期中）要使□53÷65的商是一位数，□里最大可以填( )；要使商是两位数，□里最小可以填( )。 【答案】 5 6 【分析】根据题意，三位数除以两位数时，先看被除数的前两位，被除数的前两位大于或等于除数，则商是两位数；被除数的前两位小于除数，则商是一位数；据此解答。 【详解】要使□53÷65的商是一位数，□5＜65，则□＜6，□可以填5、4、3、2、1，□里最大可以填5；要使商是两位数，□5≥65，则□≥6，□可以填6、7、8、9，□里最小可以填6。 7．（25-26四年级上·山西临汾·阶段练习）318÷54的商是( )位数，试商时可以把54看作( )来试商，这时商可能会偏( )；378÷36的商是( )位数，试商时可以把36看作( )来试商。 【答案】 一 50 大 两 40 【分析】三位数除以两位数，如果被除数的前两位数大于或等于除数，商是两位数，被除数的前两位数小于除数，商是一位数；根据除数是两位数用接近整十数试商的方法，根据“四舍五入”法把除数看作是和它接近的整十数来试商，所以把54看成50来试商，把除数看小了，商就容易偏大，调商时要调小一点。把36看成40来试商，把除数看大了，商就容易偏小，调商时要调大一点，据此解答即可。 【详解】318÷54，31＜54，商是一位数，试商时可以把54看作50来试商；378÷36，37＞36，商是两位数，试商时可以把36看作40来试商，这时商可能会偏小。 318÷54的商是一位数，试商时可以把54看作50来试商，这时商可能会偏大；378÷36的商是两位数，试商时可以把36看作40来试商。 8．（25-26四年级上·全国·课后作业）算式490÷40的被除数的前两位是( )，大于除数，所以490÷40的商是( )位数，商是( )，余数是( )。 【答案】 49 两 12 10 【分析】490÷40这个算式中，490是被除数，前两位是49，三位数除以两位数，当三位数的前两位大于除数时，商是两位数，当三位数的前两位小于除数时，商是一位数；商是几余数是几直接计算出即可。 【详解】490÷40的被除数的前两位是49，大于除数，所以490÷40的商是两位数，商是12，余数是10。 9．（24-25四年级下·山西临汾·期末）如果□62÷26的商是一位数，□里只能填( )；如果商是二十多，□里最小填( )。 【答案】 1 5 【分析】（1）对于三位数除以两位数□62÷26，当被除数的前两位□6＜26时，商是一位数。因为此时被除数的前两位不够除26，需要用被除数的前三位去除以除数，商写在个位，所以商是一位数，由此确定□的取值范围。 （2）先根据商的范围（二十多），结合商×除数＝被除数（近似），算出26×20、26×30的值，那么被除数□62要满足26×20＜□62＜26×30，从而确定□的取值。 【详解】（1）要使□62÷26商是一位数，那么被除数的前两位□6＜26。 因此□只能填1。 所以如果□62÷26的商是一位数，□里只能填1。 （2）已知□62÷26商是二十多。 因为 因此被除数要大于520且小于780，即520＜□62＜780，□里可以填5、6、7，最小填5。 所以如果□62÷26的商是二十多，□里最小填5。 【点睛】商是一位数需理解三位数除以两位数，被除数前两位小于除数时商是一位数，对除法运算中商的位数与被除数前两位和除数大小关系的规则应用。商是二十多要结合商×除数估算被除数范围，涉及乘除法逆运算及数的大小比较，需先算26×20、26×30，再推导□62的取值。 10．（24-25三年级下·上海青浦·期末）如果□880÷58的商是两位数，那么□里最大填( )；如果要使商是三位数，□里最小填( )。 【答案】 4 5 【分析】四位数除以两位数，如果被除数前两位数大于或等于除数，商是三位数；如果被除数前两位数小于除数，商是两位数，据此即可解答。 【详解】□8＜58，□最大填4 □8≥58，□最小填5 如果□880÷58的商是两位数，那么□里最大填4；如果要使商是三位数，□里最小填5。 题型二、商的变化规律及应用 1．（24-25四年级上·广西·期中）一种商品价钱降到原来的一半后，原来购买50件商品的钱，现在可以购买（    ）件。 A．25 B．50 C．100 【答案】C 【分析】商的变化规律。被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。除数除以几（0除外），商就乘几。这里带的总钱数不变，是被除数。商品的价格是除数，降到原来的一半相当于除以2。购买的件数是商。商应该乘2，据此解答。 【详解】50×2＝100（件），所以原来购买50件商品的钱，现在可以购买100件。 故答案为：C 2．（25-26四年级上·全国·课后作业）两数相除，商是30且没有余数。如果被除数乘3，除数不变，那么商是（    ）；如果被除数不变，除数乘3，那么商是（    ）。 A．10 B．30 C．90 【答案】C 【分析】根据商的变化规律性质：当除数不变，被除数同时乘或除以相同的倍数（0除外），商也同时乘或除以相同的倍数（0除外）；当被除数不变，除数同时乘或除以相同的倍数（0除外），商也同时除以或乘相同的倍数（0除外）据此解答。 【详解】已知两数相除，商是30且没有余数。如果被除数乘3，除数不变，那么商也要乘3，即；如果被除数不变，除数乘3，那么商要除以3，即。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·河北张家口·期中）两数相除的商是24，被除数不变，除数扩大到原来的2倍，商是（    ）。 A．24 B．48 C．12 【答案】C 【分析】根据除法的基本性质：被除数不变时，除数乘几（不为0），商就除以相同的数；除数除以几（不为0），商就乘相同的数。据此可直接推导变化后的商。 【详解】已知原来商是24，且被除数不变；除数扩大到原来的2倍，根据除法性质，商需缩小到原来的； 计算变化后的商：24÷2＝12。 故答案为：C 4．（25-26四年级上·全国·课后作业）乐乐在计算一道除法算式时，漏看了除数末尾的一个“0”，结果得到的商是60。正确的商是（    ）。 A．6 B．60 C．600 【答案】A 【分析】商的变化关系：在除法算式里，当被除数不变的时候，除数乘（或除以）几（0除外），商就除以（或乘）相同的数，据此即可解答。 【详解】乐乐漏看了除数末尾的一个“0”，相当被除数不变，除数除以10，得到的商是原来的商乘10的积，所以正确的商应该是。 故答案为：A 5．（22-23四年级下·山东德州·期末）如果□÷△＝4，那么□÷（△÷2）＝( )。 【答案】8 【分析】根据商的变化规律：当被除数不变，除数乘（或除以）一个数（不为0），商则除以（或乘）这个数。据此解答即可。 【详解】除数除以2，则商乘2。 4×2＝8 所以，如果□÷△＝4，那么□÷（△÷2）＝8。 【点睛】解题的关键在于掌握商的变化规律，即可解答。 6．（21-22四年级上·山东聊城·期末）根据612÷18＝34，直接写出下面各题的得数。 6120÷180＝( )        306÷9＝( )        340×18＝( ) 【答案】 34 34 6120 【分析】（1）商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就扩大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数扩大则商反而缩小，除数缩小商就扩大； （2）积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数； （3）根据乘与除的互逆关系可知，一个因数＝积÷另一个因数。 【详解】（1）612×10＝6120，18×10＝180，根据612÷18＝34，得出6120÷180＝34。 （2）612÷2＝306，18÷2＝9，根据612÷18＝34，得出306÷9＝34。 （3）18×34＝612，根据612÷18＝34，得出340×18＝6120。 【点睛】此题主要考查的是积和商的变化规律的灵活应用。 7．（2023四年级上·山东德州·期末）在没有余数的除法里，两数相除，商是28，如果被除数不变，除数除以7，那么商是( )。 【答案】196 【分析】在除法算式中，被除数不变，除数扩大则商反而缩小，除数缩小商就扩大，而且倍数也相同（0除外）；据此解答即可。 【详解】根据商的变化规律可知， 7×28＝196 两数相除，商是28，如果被除数不变，除数除以7，那么商为196。 【点睛】此题考查了商的变化规律的灵活运用。 8．（2023四年级上·山东德州·期末）在1440÷36＝40中，如果被除数和除数同时乘10，商是( )；如果被除数不变，除数除以2，商是( )；如果除数不变，被除数乘2，商是( )。 【答案】 40 80 80 【分析】商的变化规律是：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变；当除数一定时，被除数乘几，商就乘几；当被除数一定时，除数除以几，商就乘几，依此计算并填空。 【详解】在1440÷36＝40中，如果被除数和除数同时乘10，商是40； 如果被除数不变，除数除以2，商是：40×2＝80； 如果除数不变，被除数乘2，商是：40×2＝80。 【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。 9．（23-24三年级下·上海嘉定·期中）要使897÷39的商增加5，被除数应增加( )（没有余数）；如果被除数减少78，商减少( )。 【答案】 195 2 【分析】根据除法算式中各部分的关系：被除数÷除数＝商，那么被除数＝除数×商。已知除数是39，当商增加5时，因为除数不变，所以被除数增加的值就是除数乘增加的商。同样根据被除数＝除数×商，当被除数减少78，除数不变仍为39时，商减少的值就等于被除数减少的值除以除数。据此解答。 【详解】39×5＝195 78÷39＝2 要使897÷39的商增加5，被除数应增加195（没有余数）；如果被除数减少78，商减少2。 10．（24-25四年级上·江苏常州·期中）王老师原计划30天画完900幅漫画，她平均每天要画多少幅？如果她每天只能画计划的一半，那么她画完900幅漫画需要多少天？ 【答案】30幅；60天 【分析】用总的漫画幅数除以30就是王老师平均每天要画多少幅。 先用原来每天画的幅数除以2，算出现在每天画多少幅。然后再用总数900幅除以现在每天画多少幅，就是王老师需要的时间。 也可以这样想：在总数不变的情况下，原来一天的工作现在需要两天完成。那么现在需要时间就是原来时间的2倍。据此解答。 【详解】900÷30＝30（幅） 30÷2＝15（幅） 900÷15＝60（天） 或30×2＝60（天） 答：她平均每天要画30幅，画完900幅需要60天。 题型三、商不变的规律及应用 1．（25-26四年级上·广西防城港·阶段练习）210÷70结果相同的是（    ）。 A．2100÷70 B．21÷7 C．210÷7 【答案】B 【分析】根据商不变规则，被除数和除数同时乘或者除以一个不为0的数，结果不变，据此判断。 【详解】A．2100÷70，被除数乘10，除数不变，结果不相同； B．21÷7，被除数除以10，除数也除以10，结果相同； C．210÷7，被除数不变，除数除以10，结果不相同。 故答案为：B 2．（25-26四年级上·广西防城港·阶段练习）120÷30＝4，如果被除数和除数同时除以3，那么商是（    ）。 A．3 B．4 C．12 【答案】B 【分析】根据商不变的规律，被除数和除数同时除以一个相同的非零数，商不变。因此，原式120÷30＝4中，被除数和除数同时除以3后，商仍为4。 【详解】120÷30＝4，如果被除数和除数同时除以3，那么商是4。 故答案为：B 3．（25-26四年级上·江苏苏州·阶段练习）两个数相除，商是15，余数是10，如果被除数和除数同时除以5，那么商和余数分别是（    ）。 A．15，2 B．3，10 C．15，10 【答案】A 【分析】商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变，余数也会乘或除以相同的不为0的数；据此解答。 【详解】根据分析：如果被除数和除数同时除以5，那么商不变，还是15，余数也要除以5，10÷5＝2，则商和余数分别是15，2。 故答案为：A 4．（25-26五年级上·吉林长春·期中）计算26÷1.3时，一般看成( )÷( )，商是( )。 【答案】 260 13 20 【分析】在计算小数除法时，为了简化计算，通常利用商不变的性质，将除数和被除数同时扩大到原来的相同的倍数，使除数变成整数。本题中，除数是1.3，是一位小数，将其扩大到原来的10倍变成13，同时被除数26也扩大到原来的10倍变成260，因此可以看成，再计算商。 【详解】计算时，根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大到原来的10倍，即，，所以看成。计算，因此商是20。 5．（24-25四年级上·江苏盐城·期中）红红把一个容量为3升的水壶装满水后，向容量为400毫升的杯子里倒水。最多可以倒满 杯。 【答案】7 【分析】首先根据1升＝1000毫升，将3升换算成3000毫升，然后再用水的体积除以杯子的容量，所得的商就是倒满杯子的数量，计算时可以利用商不变的原理，被除数和除数同时除以100，变成30÷4，但是最后余数需要乘100，据此解题。 【详解】3升＝3000毫升 3000÷400＝7（杯）……200（毫升） 红红把一个容量为3升的水壶装满水后，向容量为400毫升的杯子里倒水，最多可以倒满7杯。 6．（25-26四年级上·广西防城港·阶段练习）两个数相除，如果被除数乘7，要使商不变，除数应( )。如果除数除以5，要使商不变，被除数应( )。 【答案】 乘7 除以5 【分析】根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。因此，当被除数乘7时，除数也应乘7；当除数除以5时，被除数也应除以5。 【详解】两个数相除，如果被除数乘7，要使商不变，除数应乘7。如果除数除以5，要使商不变，被除数应除以5。 7．（24-25五年级上·广西玉林·期中）在小数除法中，被除数扩大到原来的10倍，除数扩大到原来的( )倍，商的大小不变。 【答案】10 【分析】只有当被除数和除数同时扩大相同的倍数时（0除外），商不变，据此即可填空。 【详解】被除数扩大到原来的10倍，除数扩大相同的倍数商不变，即除数扩大到原来的10倍。 8．（24-25四年级上·海南·期中）如果32÷8＝4，那么320÷80＝( )。 【答案】4 【分析】被除数和除数同时乘或者除以一个相同的数（0除外），商不变，余数会随之乘或者除以这个数，据此作答。 【详解】观察题干，发现320÷80是在32÷8＝4的基础上被除数和除数都乘10，根据商不变的规律，商依旧为4不变。 因此如果32÷8＝4，那么320÷80＝4。 9．（24-25五年级上·广东·期中）两个数的商是6.8，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么商是( )。 【答案】6.8 【分析】根据商不变规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。可以举例说明。 【详解】假设被除数是6.8，除数是1。 原来的商：6.8÷1＝6.8 现在的商：（6.8×100）÷（1×100） ＝680÷100 ＝6.8 所以现在的商是6.8 10．（25-26四年级上·全国·单元测试）两数相除，商11余13，已知被除数、除数、商与余数的和是553，那么被除数和除数分别是多少？若将被除数和除数同时扩大到原来的2倍，扩大后被除数和除数得到的商和余数分别是多少？ 【答案】被除数是486，除数是43； 商是11；余数是26； 【分析】根据商11余13，已知被除数、除数、商与余数的和是553，用553减去商11和余数13的和，得出被除数和除数的和；因为商是11，余数是13，可知被除数是除数的11倍再加上余数13，所以被除数等于除数×11＋余数13；被除数和除数的和可以看作11＋1＝12个除数再加上余数13；用被除数和除数的和减去余数13再除以12得出除数，再用被除数和除数的和减去除数求出被除数。 被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；除数、余数要扩大或缩小相同的倍数。据此解答。 【详解】553－（11＋13） ＝553－24 ＝529 （529－13）÷（11＋1） ＝516÷12 ＝43 被除数：529－43＝486， 这个式子为486÷43＝11……13， 13×2＝26 答：被除数是486，除数是43；扩大后的商是11，余数是26。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $