拓展拔高10 球与几何体的切、接问题(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

拓展拔高10 球与几何体的切、接问题 【高考考情】 球的切、接问题是高考的热点内容,常以客观题的形式出现,考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想,把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体的切、接问题来解决. 一、正方体与球 1.内切球:内切球直径2R=正方体棱长a. 2.棱切球:棱切球直径2R=正方体的面对角线长a. 3.外接球:外接球直径2R=正方体的体对角线长a. 二、长方体与外接球 外接球:外接球直径2R=长方体的体对角线长(a,b,c分别为长方体的长、宽、高). 三、正棱锥与球 1.内切球:V正棱锥=S表·r=S底·h(等体积法),r是内切球半径,h为正棱锥的高. 2.外接球:外接球球心在其高上,底面正多边形的外接圆圆心为E,半径 为r,R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R,高为h). 四、正四面体的外接球、内切球 若正四面体的棱长为a,高为h,正四面体的外接球半径为R,内切球半径为r, 则h=a,R=a,r=a,R∶r=3∶1. 五、正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等,正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.R2=()2+(AD)2. 六、圆柱的外接球 R=(R是圆柱外接球的半径,h是圆柱的高,r是圆柱底面圆的半径). 七、圆锥的外接球 R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径,h是圆锥的高,r是圆锥底面圆的半径). 类型一　外接球 命题点1　定义法 【例1】(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　) A.100π B.128π C.144π D.192π 【解析】选A.设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1,r2,所以2r1=,2r2=,即r1=3,r2=4.设球心到上、下底面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,所以d1=,d2=, 故|d1-d2|=1或d1+d2=1,即|-|=1或+=1,解得R2=25符合题意,所以球的表面积为S=4πR2=100π. 思维升华 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可. 对点训练 1.中国古代的蹴鞠游戏中的“蹴”的含义是用脚蹴、踢,“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动,如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点P,A,B,C,满足PA=1,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,若VP-ABC=,则该“鞠”的体积的最小值为(　　) A.π B.9π C.π D.π 【解析】选C.取AB的中点为D,PB的中点为O, 连接OD,DC,OA,OC(图略), 则OD∥PA,且OD=PA=. 因为PA⊥平面ABC,所以OD⊥平面ABC. 因为AC⊥BC,所以DA=DB=DC,进而可知OA=OB=OC=OP, 所以O是球心,OA为球O的半径. 由VP-ABC=×AC·CB·PA=,得AC·CB=4, 所以AB2=AC2+BC2≥2AC·BC=8, 当且仅当AC=BC=2时等号成立,此时AB=2, 所以球O的半径R=OA=≥=, 故Rmin=,所以该“鞠”的体积的最小值为π=π×()3=π. 2.(2024·韶关模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,且所有顶点都在同一个球面上,若AA1=AC=2,AB⊥BC,则此球的体积为________.  【解析】设△ABC的外接圆的圆心为D,半径为r,球的半径为R,球心为O. 因为底面△ABC为直角三角形,故其外接圆圆心D在斜边中点处,则r=1. 又OD=AA1=1,所以在Rt△OCD中,R==,故V球=πR3=π. 答案:π 命题点2　补体法 【例2】已知所有棱长都为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为(　　) A.π B.π C.π D.π 【解析】选A.如图,将棱长为1的正四面体B1-ACD1放入正方体ABCD-A1B1C1D1中, 则正方体的棱长为1×cos 45°=,连接AC1, 则正方体的体对角线AC1==, 所以正方体外接球的半径R==, 所以正方体外接球的体积为πR3=π×()3=π. 因为正方体的外接球即为正四面体的外接球, 所以正四面体的外接球的体积为π. 思维升华 补体法解决三棱锥的外接球问题 (1)若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示. (2)若三棱锥P-ABC的四个面均是直角三角形,则可构造长方体,如图2所示. (3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=,如图3所示. (4)若三棱锥P-ABC的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示. 对点训练 1.已知在三棱锥P-ABC中,AC=,BC=1,AC⊥BC且PA=2PB,PB⊥平面ABC,则其外接球的体积为(　　) A. B.4π C. D.4π 【解析】选A.AB==, 设PB=h,则由PA=2PB,可得=2h, 解得h=1.可将三棱锥P-ABC放入如图所示的长方体中,则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球.设外接球的半径为R,则2R==2,R=1, 所以其外接球的体积V=R3=. 2.在四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC,在△ABC中,内角B,A,C成等差数列,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为________.  【解析】由在△ABC中,内角B,A,C成等差数列,可得2A=B+C. 因为A+B+C=π, 所以3A=π,即A=. 在△ABC中,由余弦定理的推论可得, cos A==, 即=,解得BC=, 所以AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC. 可将四面体S-ABC放入如图所示的长方体中, 则该四面体的外接球与该长方体的外接球相同. 根据长方体的体对角线长等于其外接球的直径, 可得(2R)2=22+12+()2,解得R2=2, 所以该四面体的外接球的表面积为S=4πR2=8π. 答案:8π 命题点3　截面法 【例3】(1)两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为,两个圆锥的高之比为1∶3,则这两个圆锥的体积之和为(　　) A.3π B.4π C.9π D.12π 【解析】选B.如图所示,设两个圆锥的底面圆圆心为点D,球的半径为R, 则=,可得R=2. 由题意知,圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1, 即AD=3BD,所以AB=AD+BD=4BD=4, 所以BD=1,AD=3. 因为CD⊥AB,AB为球的直径, 所以△ACD∽△CBD, 所以=,所以CD==, 因此这两个圆锥的体积之和为π×CD2·(AD+BD)=π×3×4=4π. (2)四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上,△PAD是等边三角形,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,若AB=2,BC=3,则球O的表面积为________.  【解析】如图,连接AC,BD,AC∩BD=G,取AD的中点E,连接PE. 因为四边形ABCD为矩形, 所以G为四边形ABCD的外接圆圆心. 在线段PE上取ME=PE, 因为△PAD为等边三角形, 所以M为△PAD外接圆圆心.过点G,M分别作平面ABCD和平面PAD的垂线,则两垂线的交点即为球O的球心,连接OP.因为△PAD为等边三角形,所以PE⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊂平面PAD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE∥OG,同理可得,OM∥EG, 所以四边形OMEG为矩形,所以OM=EG=AB=1,PM=PE=×=, 所以OP==2,即球O的半径R=2,所以球O的表面积S=4πR2=16π. 答案:16π 思维升华 与球截面有关的解题策略 (1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径. (2)作截面:选准最佳角度作出截面,实现空间问题平面化的目的. 对点训练 已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上,上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2,圆台的两底面在球心的同侧,则此正四棱台的体积为________.  【解析】由题知,正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上, 取正四棱台上底面一点为A,中心为O1, 下底面一点为B,中心为O2, 正四棱台外接球球心为O, 连接AO1,OO1,BO2,OA,OB,如图所示, 记正四棱台高O1O2=h,OO1=m, 在Rt△AOO1中,AO=3,AO1=1,OO1=m, 所以有m2+1=9,解得m=2. 在Rt△BOO2中,BO=3,BO2=2,OO2=m-h>0, 所以有(m-h)2+4=9, 解得m-h=,即h=2-. 因为正四棱台上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2,所以正四棱台上、下底面正方形的边长分别为和2,所以S上=2,S下=8,h=2-, 故正四棱台体积V=h(S上+S下+)=. 答案: 类型二　内切球 【例4】(1)如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1是一块石材,测量得∠ABC=90°,AB=6,BC=8,AA1=13.若将该石材切削、打磨,加工成几个大小相同的健身手球,则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(　　) A.,4 B.,3 C.6π,4 D.,3 【解析】选D.依题意知,当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时,健身手球的体积最大,易知AC==10. 设健身手球的半径为R,则×(6+8+10)×R=×6×8,解得R=2, 则健身手球的最大直径为4. 因为AA1=13,所以最多可加工3个健身手球, 于是一个健身手球的最大体积V=πR3=π×23=. (2)(2024·淮北模拟)半球内放三个半径为的小球,三小球两两相切,并且与球面及半球底面的大圆面相切,则该半球的半径是(　　) A.1+ B.+ C.+ D.+ 【解析】选D.三个小球的球心O1,O2,O3构成边长为2的正三角形,则其外接圆半径为2.设半球的球心为O,小球O1与半球底面切于点A. 如图,过点O,O1,A作半球的截面,则半圆O的半径为OC,OC⊥OA,作O1B⊥OC于点B, 则OA=O1B=2.设该半球的半径是R, 在Rt△OAO1中,由(R-)2=22+()2,可得R=+. 思维升华 多面体内切(外切)球的球心与半径的确定 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合. (4)体积分割是求内切球半径的通用做法. 对点训练 1.在正四棱锥P-ABCD中,PA=5,AB=6,则该正四棱锥内切球的表面积是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.过点P作PO⊥平面ABCD, 则O为正方形ABCD的中心,连接OA,如图, 因为AB=6,所以OA=3, 所以OP===, 则正四棱锥P-ABCD的体积V=×62×=12, 正四棱锥P-ABCD的表面积S=6×6+×6××4=84. 设正四棱锥P-ABCD内切球的半径为r,内切球的球心为O', 由V=VO'-ABP+VO'-BCP+VO'-CDP+VO'-ADP+VO'-ABCD, 可得V=Sr,即12=×84r,解得r=, 故正四棱锥P-ABCD内切球的表面积是4πr2=. 2.已知四面体S-ABC的所有棱长均为2,球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2,使其与平面SAB,平面SBC,平面SAC以及球O1均相切,则球O2与球O1半径的比值为(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.如图,设S在平面ABC内的射影为O,R1为球O1的半径,R2为球O2的半径,F,H分别为球O1,球O2与侧面SBC的切点.连接SO, 则O1,O2在SO上,取BC中点为E,连接AE,SE,则O在AE上,H,F在SE上. 在Rt△SAO中,该四面体的高h=SO== ===2. 又四面体的表面积S=4××(2)2=12,则SR1=S△ABCh,解得R1=. 由=,得=,即=,解得R2=,故=. 类型三　最值问题 【例5】(1)(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r, 四边形ABCD对角线夹角为α, 则S四边形ABCD=·AC·BD·sin α≤·AC·BD≤·2r·2r=2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立),即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离h一定时,底面ABCD面积的最大值为2r2.又r2+h2=1, 则VO-ABCD=·2r2·h=≤=, 当且仅当r2=2h2,即h=时等号成立. (2)已知正四棱锥P-ABCD内接于一个半径为R的球,则正四棱锥P-ABCD体积的最大值是________.  【解析】如图,记O为正四棱锥P-ABCD外接球的球心, O1为底面ABCD的中心,易知当正四棱锥P-ABCD的体积取到最大值时,P,O,O1三点共线且O在P,O1之间,连接PO1,OA,O1A. 设OO1=x,则O1A=,AB=·,PO1=R+x,所以正四棱锥P-ABCD的体积V=AB2·PO1=×2(R2-x2)(R+x)=(-x3-Rx2+R2x+R3),求导得V'=(-3x2-2Rx+R2)=-(x+R)(3x-R),所以当x=时,体积V有最大值,最大值为. 答案: 思维升华 与球有关的最值问题的解法 (1)从图形的特征入手:观察分析问题的几何特征,充分利用其几何性质解决. (2)从代数关系入手:解题时,通过分析题设中的所有条件,在充分审清题目意思的基础上,从问题的几何特征入手,利用其几何性质,找出问题中的代数关系,建立目标函数,利用函数最值的方法求解. 对点训练 1.已知三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为2的等边三角形,球O的表面积为π,则三棱锥P-ABC的体积的最大值为________.  【解析】设球O的半径为R,则4πR2=,得R=.设等边△ABC的外接圆半径为r,外心为O',则由正弦定理得2r=,得r=.连接OO'(图略),易知当三棱锥P-ABC的体积取到最大值时,OO'==,所以三棱锥P-ABC的高的最大值为OO'+R=+=2,所以三棱锥P-ABC的体积的最大值为××22×2=. 答案: 2.(一题多法)(2024·四川成都检测)已知圆柱的两个底面圆周都在体积为的球O的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为___________.  【解析】法一:设球的半径为R, 由球的体积公式πR3=,得R=2. 设圆柱的底面半径为r,球的半径与上底面夹角为α(0<α<),则r=2cos α,所以圆柱的高为4sin α,所以圆柱的侧面积为4πcos α·4sin α=8πsin 2α,当且仅当sin 2α=1,即α=时,圆柱的侧面积最大,所以圆柱的侧面积的最大值为8π. 法二:设球的半径为R,由球的体积公式πR3=,得R=2.设圆柱的底面半径为r,高为h,则r2+()2=R2=4, 所以r2+=4≥2=hr,即hr≤4, 当且仅当r==时等号成立, 所以圆柱的侧面积S=2πrh≤8π, 所以圆柱的侧面积的最大值为8π. 答案:8π - 15 - 学科网（北京）股份有限公司 $