第5章 第27节 平面向量的概念及其线性运算(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

第五章　平面向量、复数 第27节　平面向量的概念及其线性运算 考试要求 考题分析 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义. 2.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义. 3.掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义. 4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T3 - 2023年 - - 2024年 - - 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.平面向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(模); (2)零向量:长度为0的向量,记作0; (3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量; (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量; (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量; (6)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量;规定:零向量与任意向量平行. [注意点]①零向量的方向是任意的; ②与向量a平行的单位向量有两个,即向量和-. 2.平面向量的线性运算 (1)加法运算 定义 求两个向量和的运算 运算法则 (或几何意义) 运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) (2)减法运算 定义 求两个向量差的运算 运算法则 (或几何意义) 运算律 a-b=a+(-b) (3)数乘运算 定义 求实数λ与向量a的积的运算 几何意义 |λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 运算律 λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb [注意点]对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”. 3.共线向量定理 非零向量a与向量b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得b=λa. [注意点]只有当a≠0时,定理中的实数λ才存在且唯一. 【常用结论】 1.若P为线段AB的中点,O为平面内一点,则=(+). 2.若=λ+μ(λ,μ为常数),O不在直线AB上,则P,A,B三点共线的充要条件是λ+μ=1. 3.若G为△ABC的重心,则有 (1)++=0; (2)=(+). 4.对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若a∥b,b∥c,则a∥c. (　×　) (2)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b. (　×　) (3)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上. (　×　) (4)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量. (　√　) 2.(必修第二册P15练习T2变式)点C在线段AB上,且=,则=______,=______. 【解析】由已知画图如下, 由图知=,=-. 答案:　- 3.(必修第二册P14例6变式)如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则=___________.  【解析】=++=-a+b+a=b-a. 答案:b-a 4.若a,b满足|a|=5,|b|=8,则|a+b|的最大值为___________,最小值为___________.  【解析】由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,得|a+b|的最大值为13,最小值为3. 答案:13　3 【考点探究　核心突破】 考点一　平面向量的基本概念 【例1】(1)设a,b是非零向量,则“=”是“a=b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.由=表示分别在a,b方向上的单位向量相等,则a,b同向,但不能确定它们的模是否相等,即不能推出a=b;由a=b表示a,b同向且模相等,则=, 所以“=”是“a=b”的必要不充分条件. (2)(多选题)如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.= B.与共线 C.与是相反向量 D.=|| 【解析】选ABC.由已知条件可知,与方向相同,长度相等,故=,选项A正确;与,方向相反是共线向量,选项B正确;与方向相反,长度相等,故与是相反向量,选项C正确;=,选项D错误. 【思维升华】 平面向量有关概念的关注点 (1)共线向量即为平行向量; (2)向量的平行不具有传递性,只有非零向量平行具有传递性; (3)两个非零向量的共线包含同向共线与反向共线,与向量长度、起点无关; (4)与向量a同向的单位向量是. 【对点训练】 已知四边形ABCD,下列说法正确的是 (　　) A.若=,则四边形ABCD为平行四边形 B.若||=||,则四边形ABCD为矩形 C.若∥,且||=||,则四边形ABCD为矩形 D.若||=||,且∥,则四边形ABCD为梯形 【解析】选A.A选项,若=,则=且∥,则四边形ABCD为平行四边形,正确;B选项,对角线相等的四边形不一定是矩形,错误; C选项,若∥,且||=||,则四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,错误;D选项,若||=||,且∥,则四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是等腰梯形,错误. 【加练备选】 1.(多选题)下列说法中正确的是 (　　) A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.若|a|=|b|,则a与b的长度相等,与方向无关 D.若a与b是相反向量,则|a|=|b| 【解析】选CD.对于A,单位向量方向不同时并不相等,A错误; 对于B,0的相反向量为0,B错误;对于C,|a|=|b|,则a与b的长度相等,与方向无关,C正确;对于D,相反向量是长度相等,方向相反的向量,D正确. 2.在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),判断是否存在下列关系的向量: ①是共线向量的有______________;  ②方向相反的向量有______________;  ③模相等的向量有___________.  【解析】①a∥d,e∥b,故a和d,e和b是共线向量;②a和d,b和e是方向相反的向量;③由勾股定理可得,模相等的向量有a,c,d. 答案:①a和d,e和b　②a和d,b和e　③a,c,d 考点二　平面向量的线性运算 角度1　平面向量的线性运算 【例2】(1)(2024·南通模拟)在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,点M是BC的中点,则= (　　) A.- B.+ C.+ D.+ 【解析】选D.依题意可得 =+=+(+)=++=+. (2)(2025·来宾模拟)设a,b,c为非零向量,若p=++,则|p|的最大值与最小值的差为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选D.,,分别为a,b,c方向上的单位向量, 则|p|=|++|≤3,当且仅当a,b,c方向都相同时,等号成立, 作=,=,=,当∠AOB=∠BOC=∠COA=时,如图所示: 以OA,OB为邻边作平行四边形OAEB,则该四边形为菱形,且∠AOE=, 所以△AOE为等边三角形,且||=1,又因为∠AOC=,||=1,由图可知,+=0,即|p|=|++|=0,所以0≤|p|≤3,所以|p|的最大值为3,最小值为0,则|p|的最大值与最小值的差为3-0=3. 【思维升华】 平面向量的线性运算的求解策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;首尾相连的向量求和用三角形法则. (2)将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中,充分利用三角形中位线、平行四边形的性质、三角形相似等平面几何知识,找出图形中的相等向量、共线向量,把未知向量转化为已知向量. 【对点训练】 1.(2025·衡水模拟)如图,平行四边形ABCD中,AE=2EB,DF=FC,若=m,=n,则= (　　) A.m+n B.m-n C.-m+n D.m-n 【解析】选D.因为四边形ABCD为平行四边形,且AE=2EB,DF=FC, 所以=+=+,即2=2+①, 又=+=+,即3=3+②, 由①+②得2+3=,又=m,=n,所以=m-n. 2.若向量a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则向量a与向量a+b所在直线的夹角是______________.  【解析】设=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,如图所示, 则a+b=,a-b=.因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||,所以△OAB是等边三角形,所以∠BOA=,四边形OACB为菱形.在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,所以向量a与向量a+b所在直线的夹角是. 答案: 角度2　根据向量线性运算求参数 【例3】已知在▱ABCD中,点E为CD的中点,=m,=n(mn≠0),若∥,则=___________.  【解析】依题意设=λ,则=+=-m+n=λ(+)=λ(-),即-m+n=-λ+λ,所以故=2. 答案:2 【思维升华】 与向量的线性运算有关的参数问题解题策略 一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值. [提醒]有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解. 【对点训练】 (2024·南昌模拟)在△ABC中,已知=3,P为线段AD的中点,若=λ+μ,则+=___________.  【解析】根据题意,在△ABC中,已知=3,则=,由于P为线段AD的中点,则=+=+=+(-)=+=+, 又=λ+μ,,不共线,故λ=,μ=,所以+=2+8=10. 答案:10 【加练备选】 如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,=x+y,且=4,则 (　　) A.x=,y=　 B.x=,y= C.x=,y=　 D.x=,y= 【解析】选C.由=4可得=,所以=+=+=+(-)=+,所以x=,y=. 考点三　向量共线定理及其应用 【例4】(1)(一题多法)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则k的值为 (　　) A.-8　 B.8　 C.6　 D.-6 【解析】选B.法一(方程组法):由已知得=-=e1+3e2-(2e1-e2)=-e1+4e2, 因为A,B,D三点共线,所以存在唯一实数λ使=λ, 所以2e1-ke2=λ(-e1+4e2)=-λe1+4λe2,所以,解得. 法二(比例法):由已知得=-=e1+3e2-(2e1-e2)=-e1+4e2, 因为三点A,B,D共线,所以∥,所以=,解得k=8. (2)(2024·扬州模拟)在△ABC中,=2,M为线段AD的中点,过M的直线分别与线段AB,AC交于P,Q,且=,=λ,则λ= (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.如图,因为=2,则-=2(-),即=+(*), 又M为线段AD的中点,即=2,=,=λ,代入(*)得,2=+,即=+,因为P,M,Q三点共线,故+=1,解得λ=. 【思维升华】 利用共线向量定理解题的方法 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.若a=λb(b≠0),则a与b共线,且当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向. (2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0. (3)要证明A,B,C三点共线,只需证明与共线,即证=λ(λ∈R).若已知A,B,C三点共线,则必有与共线,从而存在实数λ,使得=λ. (4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1. [提醒]若点P在直线AB上,由三点共线一般要设=λ或者设=λ+(1-λ),再结合条件解题. 【对点训练】 已知O是△ABC内的一点,2+3+m=0,若△AOB的面积与△ABC的面积的比值为,则实数m的值为___________.  【解析】由题知2+3=-m,则+=-,设-=,则=+,因为+=1,所以A,B,D三点共线,则与反向共线,所以m>0,所以=,所以=,因为=,所以=,解得m=. 答案: 微进阶　等和线 1.有关结论:若A,P,B三点共线,则=λ+μ,其中λ+μ=1. 2. 结论的推广:平面内一个基底,及任一向量,=λ+μ(λ,μ∈R),如图,若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. (1)当等和线恰为直线AB时,k=1; (2)当等和线在点O和直线AB之间时,k∈(0,1); (3)当直线AB在点O和等和线之间时,k∈(1,+∞); (4)当等和线过点O时,k=0; (5)若两等和线关于点O对称,则定值k互为相反数; (6)|k|的变化与点O到等和线的距离成正比. [典例](1)(一题多法)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,=λ+μ,则λ+μ的值为 (　　) A. B. C. D.1 【解析】选A.法一(常规方法):设=t,则==(+)=+=+(-)=-+,所以λ=-,μ=,所以λ+μ=. 法二(等和线法): 如图,BC为定值是1的等和线,过N作BC的平行线,设λ+μ=k,则k=. 由图易知,=,即λ+μ=k=. (2)(一题多法)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的上运动.若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值为______________.  【解析】法一:以O为坐标原点,OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B(-,). 设∠AOC=α(α∈[0,]),则C(cos α,sin α). 由=x+y,得所以x=cos α+sin α,y=sin α,所以x+y=cos α+sin α=2sin (α+).又α∈[0,],所以当α=时,x+y取得最大值2. 法二(等和线法):如图,连接AB交OC于点P,因为=x+y,所以当点C与A(B)重合时,x+y=1. 当点C为与AB平行且与相切的切线上的切点时,=2,设=λ+μ,则λ+μ=1,所以=2=2λ+2μ=x+y,所以x+y=2λ+2μ=2(λ+μ)=2.所以x+y的最大值为2. 答案:2 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $