28.2.1解直角三角形（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级数学下册单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 28.2.1解直角三角形（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1、 解直角三角形 1. 解直角三角形. 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④ S△ABC== c，h为斜边上的高. 注意： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 题型1解直角三角形 例1．如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上，连接，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由题意可得，根据勾股定理求出，根据三角函数得到，推出是等边三角形，得到，进而得到，证明，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点在以为直径的半圆上， ， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及三角函数，解题的关键是掌握相关知识． 【变式1-1】．如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意得是等腰直角三角形，则，设，则，由折叠性质得，，由勾股定理得，根据三角形外角性质得，进而得，在中，根据正切函数定义得，继而可得的值． 【详解】解：在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 由折叠性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，锐角三角函数的定义，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【变式1-2】．如图，矩形中，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（   ）． A． B． C．18 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练运用定理是解题的关键． 连接，证明，可得，从而得到，再由，可设，结合，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，即，， ∴， 在中，． 即． 故选：D 【变式1-3】．如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 知识点2、 已知两边解直角三角形 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 题型2已知两直角边解直角三角形 例2．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均相等．将一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点，解决问题的关键是作辅助线构造出全等三角形． 过点作于D，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可解答. 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点．设间的距离为1． 在和中， 在Rt中，， . 故答案为： 【变式2-1】．在中，，，，求 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，求出的值为，则可得．本题主要考查了三角函数的定义以及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】．已知A为第一象限内一点，B，C为y轴上两点，且为等边三角形，经过点A的反比例函数的图象与边相交于点D，若D为的中点，C点的坐标为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合题，过点A作于点E，过点D作于点F．则，，得到．在中，，即可求出． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点D作于点F． ∵为等边三角形， ∴ 又∵D为的中点， ∴F为的中点，． ∵，， ∴． 在中， ∴ 故答案为： 【变式2-3】．如图，在矩形中，，，点是的中点，将矩形沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，三角函数以及相似三角形，过点作于点，连接交于点，可得，即可得出答案； 【详解】．如图，过点作于点，连接交于点，则． 四边形是矩形， ． ． 点是的中点， ． 由折叠，可知． ． ． ． ． ． 设，则 ． 在中，由勾股定理，得，即． 解得（不合题意，舍去）． ． ， ． ． ，即． ． 题型3已知斜边与一直角边解直角三角形 例3．在中，，则的大小为 (精确到0.1°)． 【答案】 【分析】运用解直角三角形解题即可 【详解】在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握余弦的计算方法是解题的关键． 【变式3-1】．在中，，，，则 【答案】 【分析】根据的正弦求出，再根据30°的正弦值求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键． 【变式3-2】．在中，，则 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，解题的关键是掌握余弦、正切的定义． 根据勾股定理计算出长，再根据余弦、正切定义可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【变式3-3】．在中，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查解直角三角形，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 知识点3、 已知一边一锐角解直角三角形 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 题型4已知一直角边一锐角解直角三角形 例4．已知在阳光下，垂直于地面高1米的标杆的影长也为1米，同一时刻，树的影子投射在墙上的影高等于2米，如图．若树根到墙角的距离等于8米，，，则树高等于 米． 【答案】10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；作于，根据题意得，则，进而根据即可求解． 【详解】解：作于，则，， 根据题意得， ， ． 故答案为： 【变式4-1】．如图，在等腰直角三角形中，，，是上一点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 作于，由等腰直角三角形可知：，，再结合，设，可得，进而求出，由是等腰三角形即可求出． 【详解】解：作于，如图， ∵，， ∴，， ∴在中，， 设，则，， 在中，   ， ∴， ∴，解得 ∴． 故答案为． 【变式4-2】．如图，已知点，在坐标轴上，，矩形的顶点，也在坐标轴上，将矩形向上平移5个单位长度，点的对应点恰好落在线段上，此时点的对点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查坐标与图形变化平移、矩形的性质、解直角三角形等知识，求得当点的对应点恰好落在线段上时是解题的关键．设点O、C的对应点分别为点、，得出轴，轴，，由平移得，轴，则，再利用，，求出，，即可得． 【详解】解：如图，设点O、C的对应点分别为点、， ∵矩形的顶点，也在坐标轴上， ∴轴，轴，， ∵将矩形向上平移5个单位长度，点的对应点恰好落在线段上， ∴，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，将沿着翻折，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，一次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握翻折的性质和锐角三角函数． 过点作轴，交轴于点，利用一次函数的性质求出与坐标轴的交点坐标，利用锐角三角函数解直角三角形，求出相关的边长即可． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点， 由得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ， ， ∴， 由翻折的性质可得，， ， ，， ， ， ∴， 故答案为：． 题型5已知斜边与一锐角解直角三角形 例3．小丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在中，，，，求的长度”．小丽翻看答案后，得知，则部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意可以分别求得的长，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：作于点D， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】．是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是分类讨论．分和两种情况讨论，利用特殊角的锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：是直角三角形，， 存在和两种情况， 若，则， ， 若，则， ， 的长为或． 故答案为：或． 【变式5-2】．如图，在中，以点D为圆心，以一定长度为半径作弧，与边交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接交于点E，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查尺规作垂线，解直角三角形，根据作图可知，解直角三角形求出的长，线段的和差关系，求出的长即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，且，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标和图形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是构造辅助线，利用解直角三角形求线段长度．作出辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形分别求出线段和的长度，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴，交轴于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 题型6网格与坐标系中解直角三角形 例6．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)在图1中，过作边上的高（为垂足）； (2)在图2中，在边上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，解直角三角形，画三角形的高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点D，连接，延长交于H，则即为所求； （2）取格点E、F、G，连接交于点O，连接交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 取格点D，连接，延长交于H，则即为所求； 由网格的特点可知，则； （2）解：如图所示，点P即为所求； 取格点E、F、G，连接交于点O，连接交于点P，点P即为所求； 由网格的特点可知，则，即． 【变式6-1】．如图，在4×4正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则 (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，连接，利用勾股定理求解，再利用等面积法求解即可， （2）求解，设，则，再求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意得：， 而， ∵， ∴， 解得：， ∴， （2）设，则， ∴， ∴． 故答案为： ，． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，锐角三角函数的应用，掌握“求解锐角三角函数的方法”是解本题的关键． 【变式6-2】．如图是由36个边长为1的小正方形组成的的网格，的顶点即是网格的顶点． (1)求； (2)在图中找一个格点D，利用和说明“有两条边和一个角相等的两个三角形全等”是假命题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定： （1）过点A作交的延长线于点P，利用锐角三角函数，即可求解； （2）取格点D，使，即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作交的延长线于点P， 根据题意得：， ∴； （2）解：如图，点D即为所求； 根据题意得：， 此时和不全等． 【变式6-3】．如图，在直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝．求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）作BH⊥OA， 垂足为H，在Rt△OHB中，根据锐角三角函数的定义及已知条件求得BH的长，再根据勾股定理求得OH的长，即可得点B的坐标；（2）先求得AH的长，在Rt△AHB中，根据勾股定理求得AB的长，根据锐角三角函数的定义即可求得cos∠BAO的值． 【详解】解： (1)如图所示，作BH⊥OA， 垂足为H． 在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝， ∴BH=3，∴OH＝4， ∴点B的坐标为(4，3)．   (2)∵OA＝10，OH＝4， ∴AH＝6． 在Rt△AHB中， ∵BH=3， ∴AB＝， ∴cos∠BAO== ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解． 题型7解非直角三角形 例7．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 【变式7-1】．在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 【变式7-2】．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式7-3】．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 题型8 与方程结合解直角三角形 例8．在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，过点作，且，连接． (1)如图1，连接与，交于点． ①求证：； ②若，求的长． (2)如图2，当时，求证：，，三点在同一条直线上． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)证明见解析． 【分析】（1）①由，，，证； ②过M点作于点H，通过解三角形求出，再证明△∽△，推出，进而得出结论； （2）过点作于点F，连接，，证，得MF=6，FN=，进而求AF=AM＋MF=＋6=，再证△ABC∽△AFN，最后得结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是矩形，，   ∴， ∵，，， ∴， ∴． ②证明：过M点作于点H， ∴， ， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， 由①得， ，， 又∵，， ， ∴△∽△， ∴， ∴， ∴； （2）如图②，过点作于点，连接， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，三点在同一条直线． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形以及矩形的性质，通过辅助线熟练地运用相似三角形性质和判定解决问题是解决本题的关键． 【变式8-1】．如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，设，在中，得出，在中，得出，根据，列出方程求解得出，在中，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， 设，在中， ， 在中，， ， ， ， . 解得：，即， 在中，∵， ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键． 【变式8-2】．如图，在ABC中，，，求BC长． 【答案】 【分析】过点作于点，根据题意，分别解即可求解． 【详解】如图，过点作于点， ， ， ， ， ， 设，在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式8-3】．如图，小丽在“五一”假期和父母一起去了神仙湖景区游玩，当小丽走到A处时发现在她东南方向的湖心岛上（C处）有一对漂亮的白鹭，为更好的观察和拍照，小丽沿着正东方向前进了200米到达B处，此时湖心岛位于小丽南偏西30°的方向上，问B处与湖心岛的距离是多少米？（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732） 【答案】146.4米 【分析】分别过点A，B作AB的垂线AD、BE，过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据∠DAC=45°，∠EBC=30°，得到∠CAB=45°，∠CBA=60°，设BC=x米，根据∠CBA=60°，得到∠BCF=90°－∠CBA=90°－60°=30°，推出，根据∠CAB=45°，得到AF=CF=，根据AB=200米，AF+BF=AB，得到，得到x=≈200（1.732－1）=146.4（米）． 【详解】解：分别过点A，B作AB的垂线AD、BE，过点C作CF⊥AB，垂足为F 依题意可知∠DAC=45°，∠EBC=30°， ∴∠CAB=45°，∠CBA=60°， 设BC=x米，在Rt△BCF中，∵∠CBA=60°， ∴∠BCF=90°－∠CBA=90°－60°=30°， ∴， 在Rt△ACF中，∵∠CAB=45° ∴AF=CF=， ∵AB=200米，AF+BF=AB， ∴， ∴x=≈200（1.732－1）=146.4（米）. 答：B处与湖心岛的距离约是146.4米． 【点睛】本题主要考查了方位角，解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握方位角的定义和表示方法，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的三边关系，解一元一次方程． 题型9构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 例9．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式9-1】．如图，已知：是的直径，点C在圆上，，，点C、E分别在两侧，且E为半圆的中点． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可以得到，根据勾股定理求长，然后求出面积即可； （2）连，过点A作于点D，则，解直角三角形解题即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， （2）连，过点A作于点D， ∵E为半圆的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，能作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式9-2】．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： 则 （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴ 【点睛】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． 【变式9-3】．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 例10．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点M坐标； (3)求四边形ACMB的面积． 【答案】(1) (2) (3)四边形ACMB的面积为9 【分析】（1）先根据直线y＝x−3求出B、C的坐标，然后将A、B、C的坐标代入抛物线中即可求得抛物线的解析式； （2）根据（1）的抛物线的解析式用配方法即可求出顶点坐标； （3）过点M作MN⊥x轴于点N，将四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，求其面积即可． 【详解】（1）把代入得，则点C的坐标为，把代入得，则点B的坐标为（3，0）， 把A、B、C三个点的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）抛物线的解析式为： 所以抛物线的顶点坐标； （3）过点M作MN⊥x轴于点N，如图所示： ∵点M的坐标为（1，-4）， ∴点N的坐标为（1，0）， 则 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，一次函数与两坐标轴的交点坐标，以及抛物线的顶点坐标，作出辅助线，将四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形是解题的关键． 【变式10-1】．如图，的半径为交于点D，点C是上一动点，以BC为边向下作等边． 当点C运动到时， 求证：BC与相切； 试判断点A是否在上，并说明理由． 设的面积为S，求S的取值范围． 【答案】（1）①详见解析；②是，详见解析（2） 【分析】（1）①连接CD，根据等边三角形性质，得为OB边的中线且，故 为直角三角形，；②连接OA，证≌，得，故点A在上； （2）当点C与点D重合时，面积最小， ；当点C运动至AO的延长线时，的面积最大，，可得S取值范围. 【详解】证明：连接CD， ， 为等边三角形， ， ， 为OB边的中线且， 为直角三角形，， ， 与相切； 解：点A在上； 连接OA， ， 为等边三角形， ， ， 在与中， ， ≌， ， 点A在上； 解：当点C与点D重合时，面积最小， ， 当点C运动至AO的延长线时，的面积最大， ， ． 【点睛】考核知识点：圆基本性质，切线判定，三角函数应用；构造直角三角形，利用三角函数解决问题是关键. 【变式10-2】．如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点、均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以为斜边的直角三角形，点在小正方形顶点上，且； （2）在图中画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为； （3）连接，请直接写出的值． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，然后根据正切值可设BC=x，则AC=2x，然后根据勾股定理列出方程即可求出BC和AC，然后作弧即可确定点C的位置； （2）若AB=AD=5时，利用勾股定理求出BD，然后作弧即可确定点D的位置，根据平行线之间的距离处处相等，过点D作AB的平行线，由图易知，与网格还有另外一个交点，但与A、B不能构成等腰三角形，从而确定结论； （3）根据图形即可得出结论． 【详解】解：（1）根据勾股定理可得AB= ∵，可设BC=x，则AC=2x 根据勾股定理可得BC2＋AC2=AB2 ∴x2＋（2x）2=52 解得：x= ∴BC=，AC= ∵2个小正方形构成的矩形的对角线=，2个“田”字形构成的矩形的对角线= ∴以B为圆心，2个小正方形构成的矩形的对角线的长为半径作弧，以A为圆心，2个“田”字形构成的矩形的对角线的长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC、BC，如图所示，△ABC即为所求； （2）若AB=AD=5时，如下图所示，过点D作DH⊥AB于H ∵的面积为 ∴DH=×2÷AB= 根据勾股定理AH= ∴BH=AB－AH= 根据勾股定理BD=，而1个小正方形的对角线= 故在网格中以A为圆心，AB的长为半径作弧，以B为圆心，以1个小正方形的对角线为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、BD， 根据平行线之间的距离处处相等，过点D作AB的平行线，由图易知，与网格还有另外一个交点，但与A、B不能构成等腰三角形， 综上：△ABD即为所求， （3）由图可知：CD=1，BD=， ∴= 【点睛】此题考查的是根据已知条件作图，掌握勾股定理和锐角三角函数是解决此题的关键． 【变式10-3】．问题呈现： 如图 1，在边长为 1 小的正方形网格中，连接格点 A、B 和 C、D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 B、 E，可得 BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB 就变换到 Rt△ABE 中．问题解决： （1）直接写出图 1 中 tan CPB 的值为______； （2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与 CD 相交于点 P，求 cos CPB 的值． 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的判定及平行线的性质得到∠CPB=∠ABE，利用勾股定理求出AE，BE，AB，证明△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，即可求出tan CPB= tan ABE； （2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．通过平行四边形及平行线的性质得到∠CPB=∠MCD，利用勾股定理的逆定理证明△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°，即可得到cos∠CPB=cos∠MCD． 【详解】解：（1）连接格点 B、 E， ∵BC∥DE，BC=DE， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DC∥BE， ∴∠CPB=∠ABE， ∵AE=，BE=，AB= ， ∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°， ∴tan∠CPB= tan∠ABE=， 故答案为：2； （2）如图2所示，取格点M，连接CM，DM， ∵CB∥AM，CB=AM， ∴四边形ABCM是平行四边形， ∴CM∥AB， ∴∠CPB=∠MCD， ∵CM=，CD=，MD=， ， ∴△CDM是直角三角形，且∠CDM=90°， ∴cos∠CPB=cos∠MCD=． 【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及勾股定理逆定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，中，，斜边，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，斜边，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，矩形的对角线相交于点，且，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质，解直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的对角线相等且互相平分可得，根据，，则把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴． ∴ 解得 故选：A． 3．在中，，，且的周长为36，则此三角形的面积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】C 【分析】过A作于D，设，则， 由勾股定理可得，再由的周长为36，可得，然后根据三角形的面积公式求出即可． 本题考查了解直角三角形、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，关键是得出关于a的方程和构造直角三角形． 【详解】解：过A作于D， ∵， ∴可设，则， 由勾股定理得：， ∵， ， ∵的周长为36， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积是  ， 故选：C． 4．在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．根据正切的定义先表示出，，再根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，在中，，， 设，，根据勾股定理得： ， 故选：B． 5．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．连结，先根据勾股定理的逆定理证明，再根据正切函数的定义求解． 【详解】解：连结， ，，， ， ， ． 故选：D． 6．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 7．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 由题意可知，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 故树的高度为， 故选：C． 8．如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律，正方形的性质，解直角三角形，由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为，再结合，得出点在第三象限的角平分线上，分别求出，，，同理可得，，再求出点的横纵坐标即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴， ∴， ∵以的长为边长向右侧作正方形， ∴， ∴， ∵以的长为边长向上方作正方形， ∴， ∴； 同理可得，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳，，则“人字梯”的顶端离地面的高度是 cm． 【答案】180 【分析】此题考查了相似三角形的性质与判定，三角函数的基本概念，主要是正切的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 根据题意可知：，从而可求得的长，然后根据锐角三角函数的定义可求得的长． 【详解】解：如图，设交于点， ， ， ， ， ， ， 根据题意得cm， ， ， ， ， ， （cm）． 故答案为：180． 10．在中，，，，则的长为 ． 【答案】19或29 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，利用分类思想解答是解题的关键． 过点C作，垂足为点D，然后分两种情况：当点D在边上时，当点D在边的延长线上时，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为点D， 当点D在边上时， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 当点D在边的延长线上时， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为19或29． 故答案为：19或29． 11．内接于，，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的应用，延长交于点，连接，则，解，即可求解． 【详解】如图，延长交于点，连接， ， 为的直径， ， 的半径为． 故答案为：． 12．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．已知，则 ，若的面积为线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识． 由全等三角形的性质得到，由，设，则，，则，证明，得到，解得，则，求出，，则，证明，求出，根据的面积得到，求出，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 解得， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，解得， ∵的面积为 ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：， 13．如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么 ． 【答案】2 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解此题的关键． 通过证明，可得，从而即可求解． 【详解】解：， ，， 点是的一个“布洛卡点”， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形（边长精确到0.1）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别根据正弦，正切得到长度. （2）分别根据的正弦，余弦得到长度. 【详解】（1）解：， ，即 . （2） ，即 . 15．如图，在中，，，，所对的边分别为a，b，c．根据下列条件求出的其他元素： (1)已知，． (2)已知，． 【答案】(1)，，． (2)，，． 【分析】本题考查直角三角形的边角关系，掌握利用勾股定理和三角函数的定义求解直角三角形的边和角是解题的关键． （1）利用勾股定理求直角边，再通过正切函数求，进而求出． （2）利用勾股定理求斜边，再通过正切函数求，进而求出． 【详解】（1）解：由勾股定理，得， ， ， ． 故，，． （2）解：由勾股定理，得． ， ， ． 故，，． 16．如图，在中，，，，过点B作于点D． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，利用三角形面积求三角形的高． （1）根据已知条件利用勾股定理即可求得的长； （2）由已知条件利用三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 即的长为10． （2）解：∵， ∴， ， ∴． 17．如图，在四边形中，，于点，连接．若，，，求点到的距离． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理．过点作于点，则，在中，利用锐角三角函数可得，在中， 设，则，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ， ． ，， 在中，， 在中，， 设，则， ， ， 解得，即． 答：点到的距离是． 18．如图，已知点D、E分别是的边和的中点，连接、交于点G，连接， (1)求的值； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理． （1）根据三角形中位线定理得到，，根据相似三角形的判定和性质作答即可； （2）根据三角函数求出，根据得到，根据勾股定理求出，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：∵点D、E分别是的边和的中点， ∴是的中位线， ∴，，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点E是边的中点， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 解得（负值舍去） ∴， ∴ ∵， ∴． 19．我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证． ②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， ∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， 故答案为：A． （2）解：①证明：如图2，∵，， ， ∵， ∴， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， ， ∴， ∴， ∴点是的相似心． ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴的值为． 【点睛】此题重点考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求角等知识与方法，适当选择相似三角形的判定定理证明图1中的及图2中的是解题的关键． 20．如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积是菱形面积的，理由见解析 (3)当时， 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据菱形的性质，勾股定理求得的长，根据题意得出，根据，可得，当时，四边形是平行四边形，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过点作于点，根据题意可得四边形是梯形，，进而表示出，根据四边形的面积是菱形面积的建立方程，解方程，得出的值，结合题目条件，即可求解； （3）当时得出，根据得出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，， ∴，，， 在中，， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴ 当时，四边形是平行四边形 ∴ 解得： （2）解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 又， 则， ∴． ∵， ∴四边形是梯形，， ∴，即． ∵四边形的面积是菱形面积的． ∴． ∴． 解得：或． ∵． ∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的． （3）当时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， 则， 解得：． ∴当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 28.2.1解直角三角形（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1、 解直角三角形 1. 解直角三角形. 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④ S△ABC== c，h为斜边上的高. 注意： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 题型1解直角三角形 例1．如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上，连接，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，矩形中，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（   ）． A． B． C．18 D． 【变式1-3】．如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点2、 已知两边解直角三角形 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 题型2已知两直角边解直角三角形 例2．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均相等．将一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是 ． 【变式2-1】．在中，，，，求 【变式2-2】．已知A为第一象限内一点，B，C为y轴上两点，且为等边三角形，经过点A的反比例函数的图象与边相交于点D，若D为的中点，C点的坐标为，则k的值为 ． 【变式2-3】．如图，在矩形中，，，点是的中点，将矩形沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的长为 ． 题型3已知斜边与一直角边解直角三角形 例3．在中，，则的大小为 (精确到0.1°)． 【变式3-1】．在中，，，，则 【变式3-2】．在中，，则 ， ． 【变式3-3】．在中，，则的度数为 ． 知识点3、 已知一边一锐角解直角三角形 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 题型4已知一直角边一锐角解直角三角形 例4．已知在阳光下，垂直于地面高1米的标杆的影长也为1米，同一时刻，树的影子投射在墙上的影高等于2米，如图．若树根到墙角的距离等于8米，，，则树高等于 米． 【变式4-1】．如图，在等腰直角三角形中，，，是上一点，若，则的长为 ． 【变式4-2】．如图，已知点，在坐标轴上，，矩形的顶点，也在坐标轴上，将矩形向上平移5个单位长度，点的对应点恰好落在线段上，此时点的对点的坐标为 ． 【变式4-3】．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，将沿着翻折，得到，则点的坐标为 ． 题型5已知斜边与一锐角解直角三角形 例3．小丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在中，，，，求的长度”．小丽翻看答案后，得知，则部分为 ． 【变式5-1】．是直角三角形，，，则的长为 ． 【变式5-2】．如图，在中，以点D为圆心，以一定长度为半径作弧，与边交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接交于点E，若，则的长为 ． 【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，且，则点B的坐标为 ． 题型6网格与坐标系中解直角三角形 例6．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)在图1中，过作边上的高（为垂足）； (2)在图2中，在边上找一点，使． 【变式6-1】．如图，在4×4正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则 (1) ； (2) ． 【变式6-2】．如图是由36个边长为1的小正方形组成的的网格，的顶点即是网格的顶点． (1)求； (2)在图中找一个格点D，利用和说明“有两条边和一个角相等的两个三角形全等”是假命题． 【变式6-3】．如图，在直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝．求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值． 题型7解非直角三角形 例7．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【变式7-1】．在中，，求的长． 【变式7-2】．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【变式7-3】．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 题型8 与方程结合解直角三角形 例8．在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，过点作，且，连接． (1)如图1，连接与，交于点． ①求证：； ②若，求的长． (2)如图2，当时，求证：，，三点在同一条直线上． 【变式8-1】．如图，在中，已知，，，求的长． 【变式8-2】．如图，在ABC中，，，求BC长． 【变式8-3】．如图，小丽在“五一”假期和父母一起去了神仙湖景区游玩，当小丽走到A处时发现在她东南方向的湖心岛上（C处）有一对漂亮的白鹭，为更好的观察和拍照，小丽沿着正东方向前进了200米到达B处，此时湖心岛位于小丽南偏西30°的方向上，问B处与湖心岛的距离是多少米？（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732） 题型9构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 例9．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【变式9-1】．如图，已知：是的直径，点C在圆上，，，点C、E分别在两侧，且E为半圆的中点． (1)求的面积； (2)求的长． 【变式9-2】．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【变式9-3】．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 例10．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点M坐标； (3)求四边形ACMB的面积． 【变式10-1】．如图，的半径为交于点D，点C是上一动点，以BC为边向下作等边． 当点C运动到时， 求证：BC与相切； 试判断点A是否在上，并说明理由． 设的面积为S，求S的取值范围． 【变式10-2】．如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点、均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以为斜边的直角三角形，点在小正方形顶点上，且； （2）在图中画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为； （3）连接，请直接写出的值． 【变式10-3】．问题呈现： 如图 1，在边长为 1 小的正方形网格中，连接格点 A、B 和 C、D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 B、 E，可得 BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB 就变换到 Rt△ABE 中．问题解决： （1）直接写出图 1 中 tan CPB 的值为______； （2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与 CD 相交于点 P，求 cos CPB 的值． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，中，，斜边，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线相交于点，且，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 3．在中，，，且的周长为36，则此三角形的面积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．96 4．在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 6．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳，，则“人字梯”的顶端离地面的高度是 cm． 10．在中，，，，则的长为 ． 11．内接于，，，则的半径是 ． 12．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．已知，则 ，若的面积为线段的长为 ． 13．如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形（边长精确到0.1）． 15．如图，在中，，，，所对的边分别为a，b，c．根据下列条件求出的其他元素： (1)已知，． (2)已知，． 16．如图，在中，，，，过点B作于点D． (1)求的长； (2)求的长． 17．如图，在四边形中，，于点，连接．若，，，求点到的距离． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理．过点作于点，则，在中，利用锐角三角函数可得，在中， 设，则，利用勾股定理可得，即可求解． 18．如图，已知点D、E分别是的边和的中点，连接、交于点G，连接， (1)求的值； (2)如果，，，求的长． 19．我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 20．如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $