核心素养测评(第5章 第27节 平面向量的概念及其线性运算)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:90分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)下列说法中正确的是 (　　) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.相反向量就是方向相反的向量 C.若a是非零向量,λ是非零实数,则a与-λa的方向相反 D.若a,b都为非零向量,则使+=0成立的充要条件是a与b反向共线 【解析】选D.对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误; 对于B,因为相反向量是方向相反,长度相等的两个向量,故B错误; 对于C,当λ<0时,a与-λa的方向相同,故C错误; 对于D,因为与都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时,+=0才成立,故D正确. 2.(5分)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不一定成立的是 (　　) A.||=|| B.与共线 C.与共线 D.= 【解析】选C.由四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,知||=||,即A正确;由图形可知与的方向相反,与的方向相同且长度相等,即与共线,=,故B,D正确;而∠BDE与∠DEH不一定相等,与不一定共线,故C错误. 3.(5分)设a,b是两个非零向量,则下列描述正确的有 (　　) A.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ>0,使得a=λb B.若|a-b|=|a|+|b|,则a与b反向 C.若|a+b|=|a|+|b|,则a与b反向 D.若a∥b,则|a+b|>|a-b| 【解析】选B.对于A:当|a+b|=|a|-|b|时,由向量加法的意义知a,b方向相反,且|a|≥|b|, 则存在实数λ≤-1,使得a=λb,故A错误; 对于B:当|a-b|=|a|+|b|时,由向量减法的意义知a,b方向相反,故B正确; 对于C:当|a+b|=|a|+|b|时,由向量加法的意义知a,b方向相同,故C错误; 对于D:当a∥b时,a与b同向或反向,当a与b同向时,x=|a|+|b|,y=||a|-|b||,x>y, 当a与b反向时,x=||a|-|b||,y=|a|+|b|,x<y,故D错误. 4.(5分)(2025·长沙模拟)已知a是单位向量,向量b满足|a-b|=3,则|b|的最大值为(　　) A.2 B.4 C.3 D.1 【解析】选B. 设=a,=b,因为|a-b|=3,即|-|=||=3,即||=3, 所以点B在以A为圆心,3为半径的圆上,又a是单位向量,则||=1, 故||最大值为||+||=1+3=4,即|b|的最大值为4. 5.(5分)(2024·佛山模拟)在△ABC中,=a,=b,若=2,=2,线段AD与BE交于点F,则= (　　) A.a+b B.a-b C.-a+b D.-a-b 【解析】选B.如图所示: 由=2,=2可得D,E分别为BC,AC的中点,由中线性质可得=, 又=(+)=(a+b),所以=×(a+b)=(a+b), 因此=+=-b+(a+b)=a-b. 二、多选题 6.(5分)已知4-3=,则下列结论正确的是 (　　) A.A,B,C,D四点共线 　　 B.C,B,D三点共线 C.||=|| 　　 D.||=3|| 【解析】选BD.因为4-3=,所以3-3=-,所以3=, 因为,有公共点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||,所以B,D正确,A错误; 由4-3=,得=3-3+=3+,所以||≠||,所以C错误. 7.(5分)(2023·哈尔滨模拟)在△ABC中,D为BC中点,=2,则下列等式中一定成立的是 (　　) A.+=2 B.=+ C.S△ABC=3S△GBC D.=+ 【解析】选ABC.对于A,因为D为BC的中点,所以+=2,故A正确; 对于B,D,因为=2,所以==+=+,故B正确,D错误; 对于C,如图,AF⊥BC,GE⊥BC, 由=2,则=,由AF⊥BC,GE⊥BC,则△AFD∽△GED, 即==,==,故C正确. 三、填空题 8.(5分)已知向量a,b不共线,且c=xa+b,d=a+(2x-1)b,若c与d方向相反,则实数x的值为______________.  【解析】因为c与d方向相反,所以存在k∈R,使得d=kc,且k<0, 即a+(2x-1)b=kxa+kb,因为向量a,b不共线,则 整理可得x(2x-1)=1,即2x2-x-1=0,解得x=-或x=1.又k<0,所以x<0,故x=-. 答案:- 9.(5分)已知单位向量e1,e2,…,e2 026,则|e1+e2+…+e2 026|的最大值是___________,最小值是___________.  【解析】当单位向量e1,e2,…,e2 026方向相同时,|e1+e2+…+e2 026|取得最大值, |e1+e2+…+e2 026|=|e1|+|e2|+…+|e2 026|=2 026;当单位向量e1,e2,…,e2 026首尾相连时, e1+e2+…+e2 026=0,所以|e1+e2+…+e2 026|的最小值为0. 答案:2 026　0 四、解答题 10.(10分)(2024·扬州模拟)在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=,设=a,=b. (1)试用a,b表示,,; (2)若G为长方形ABCD所在平面内一点,且=a-b,求证:E,G,F三点不能构成三角形. 【解析】(1)=+=+=+=a+b; =+=+=+=a+b; =-=(a+b)-(a+b)=a-b. (2)=-= (a-b)-(a+b)=a-b,所以=2,所以∥, 又与有公共端点E,所以E,G,F三点共线, 所以E,G,F三点不能构成三角形. 【能力提升练】 11.(5分)(多选题)下列说法中正确的是 (　　) A.若ma=0,m∈R,则m=0或a=0 B.若m,n为实数,且ma=nb,则a与b共线 C.在△ABC中,若有=t(+),那么点O一定在角A的平分线所在直线上 D.P是△ABC所在平面上的任意一点,且满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则直线AP一定通过△ABC的重心 【解析】选ACD.对于A,因为ma=0,m∈R,由数乘向量的定义可知,m=0或a=0,所以选项A正确;对于B,当m=n=0时,ma=nb=0,但是a与b不一定共线,选项B错误;对于C,因为,分别表示向量,方向上的单位向量,所以+的方向与∠BAC的平分线重合,又=t(+),可得向量所在直线与∠BAC的平分线重合,所以点O一定在角A的平分线所在直线上,选项C正确; 对于D,设BC中点为D,则+=2, 又=+λ(+),λ∈(0,+∞),所以=2λ,即直线AP一定通过△ABC的重心,选项D正确. 12.(5分)若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为______________.  【解析】+-2=(-)+(-)=+,-==-,所以|-|=|+|.故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形. 答案:直角三角形 13.(5分)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则实数μ的取值范围是________.  【解析】由已知可得AD=1,CD=,所以=2.因为点E在线段CD上, 所以=λ(0≤λ≤1).因为=+=+λ, 又=+μ=+2μ,所以2μ=λ.因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤. 答案: [0,] 14.(10分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线. (1)取BD的中点M,试用和表示; (2)若G是AD上一点,且=2,直线EF过点G,交AB于点E,交AC于点F.若=λ,=μ(λ,μ∈R+),求λ+μ的最小值. 【解析】(1)由题意,D为BC的中点,所以=+,又M为BD的中点, 所以=+=+(+)=+. (2)由=2,=λ,=μ(λ,μ∈R+),得=,=, 所以==(+)=+=+, 因为E,F,G三点共线,则+=1,则λ+μ=(λ+μ) (+)=++≥+2=, 当且仅当=,即λ=μ=时取等号,所以λ+μ的最小值为. 【创新思维练】 15.(5分)(多选题)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点O,G,H分别是△ABC的外心、重心、垂心,且M为BC的中点,则 (　　) A.=++ B.S△ABG=S△BCG=S△ACG C.=3 D.+=4+2 【解析】选ABD.A.因为=,所以=,因为G为重心,所以++=0,所以-+-+-=0,所以=(++), 所以=(++),所以=++,所以该选项正确. B.S△BCG=BC·h1,S△ABC=BC·h2,由于G是重心,所以h1=h2,所以S△BCG=S△ABC, 同理S△ABG=S△ABC,S△ACG=S△ABC,所以S△ABG=S△BCG=S△ACG,所以该选项正确. C.=+=2+2=2(+)=2,所以该选项错误. D.因为=3,所以=+,所以=+, 所以+=2=6=6(+)=4+2,所以该选项正确. 16.(5分)(2024·太原模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以直角三角形的斜边为边得到的正方形).类比“赵爽弦图”,构造如图所示的图形,它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,且DF=AF,点P在AB上,BP=2AP,点Q在△DEF内(含边界)一点,若=λ+,则λ的最大值为___________.  【解析】=λ+⇒-=λ⇒=λ,取DE的中点H,连接AH, 因为BD=DE,故BD=2HD,又BP=2AP,所以==,故DP∥AH,且=, 所以λ的最大值为,此时点Q与点H重合. 答案: - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $