核心素养测评(第3章 第17节 导数与函数的单调性)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:90分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)已知f'(x)是函数y=f(x)的导函数,且y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 (　　) 【解析】选D.根据题中导函数的图象可得,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减;当x∈(0,2)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,所以只有D选项符合. 2.(5分)(2025·定西模拟)若函数f(x)=x2-3x-4ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(　　) A.(4,+∞) B.(0,1) C.(0,4) D.(1,4) 【解析】选C.函数f(x)=x2-3x-4ln x,定义域为(0,+∞),由f'(x)=x-3-==,令f'(x)<0,解得0<x<4,则函数f(x)的单调递减区间为(0,4). 3.(5分)(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=ax3+x2+x+4,则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的 (　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.由题意知,f'(x)=ax2+2x+1,若f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0恒成立, 则解得a≥1,故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件. 4.(5分)(2024·邯郸模拟)已知函数f(x)=(x-)ln x,且a=f(),b=f(),c=f(),则 (　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 【解析】选B.由f(x)= (x-)ln x, 得f'(x)=ln x(1+)+(1-), 当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 因为c=f(),0<<<<1, 所以f()>f()>f(),故c>a>b. 5.(5分)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(2k-1,2k+1)内不单调,则实数k的取值范围是 (　　) A.[,) B.[,+∞) C.[,2) D.(-,) 【解析】选A.函数f(x)的定义域为(0,+∞), 则2k-1≥0,即k≥. f'(x)=4x-==, 令f'(x)=0,得x=或x=-(舍去), 因为f(x)在其定义域的一个子区间(2k-1,2k+1)内不单调, 所以2k-1<<2k+1,得-<k<. 综上所述,≤k<. 二、多选题 6.(5分)若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以 是(　　) A.-3 B.-1 C.0 D.2 【解析】选BD.依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点, 故解得a>-3且a≠0. 7.(5分)(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)=xln(1+x),则 (　　) A.f(x)在(0,+∞)上单调递增 B.f(x)有两个零点 C.曲线y=f(x)在点(-,f(-))处切线的斜率为-1-ln 2 D.f(x)是偶函数 【解析】选AC.f(x)的定义域为(-1,+∞),不关于原点对称,故D错误; 因为f'(x)=ln(1+x)+, 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故A正确; 由xln(1+x)=0得x=0或ln(1+x)=0,而ln(1+x)=0⇒1+x=1⇒x=0,所以f(x)只有一个零点,故B错误; 因为f'(x)=ln(1+x)+,所以f'(-)=ln -1=-1-ln 2,故C正确. 三、填空题 8.(5分)函数f(x)=(x-1)ex-x2的单调递增区间为______________,单调递减区间为________.  【解析】f'(x)=xex-2x=x(ex-2), 令f'(x)=0,得x=0或x=ln 2, 当x∈(-∞,0)∪(ln 2,+∞)时,f'(x)>0, 当x∈(0,ln 2)时,f'(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞),单调递减区间为(0,ln 2). 答案:(-∞,0),(ln 2,+∞)　(0,ln 2) 【加练备选】 已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x+2cos x,则f(x)的单调递增区间为___________.  【解析】f'(x)=1-2sin x,x∈(0,π). 令f'(x)=0,得x=或x=, 当0<x<或<x<π时,f'(x)>0, 当<x<时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,)和(,π)上单调递增,在(,)上单调递减. 答案: (0,),(,π) 9.(5分)(2025·唐山模拟)若函数f(x)=(x2-ax+1)ex在(-1,0)上单调递减,则实数a的取值范围是______________.  【解析】由f(x)=(x2-ax+1)ex,得f'(x)=ex[x2+(2-a)x+1-a]=ex(x+1-a)(x+1). 由于函数f(x)=(x2-ax+1)ex在(-1,0)上单调递减, 所以f'(x)≤0且不恒为零在(-1,0)上恒成立, 则a≥x+1在(-1,0)上恒成立,所以a≥1. 答案:[1,+∞) 四、解答题 10.(10分)已知函数f(x)=x3+ax2+1,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间; 【解析】(1)对f(x)求导得f'(x)=3x2+2ax=3x(x+a). ①当a=0时,f'(x)=3x2≥0且不恒为零. 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞),无单调递减区间. ②当a>0时,因为f'(x)在(-∞,-a)和(0,+∞)上都恒为正, 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-a),(0,+∞). 因为f'(x)在(-a,0)上恒为负, 所以f(x)的单调递减区间是(-a,0). ③当a<0时,在(-∞,0)和(-a,+∞)上均有f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0), (-a,+∞), 在(0,-a)上,f'(x)<0, 所以f(x)的单调递减区间是(0,-a). (2)若函数f(x)在区间(-,0)内单调递减,求a的取值范围; 【解析】(2)由(1)知,a>0且(-,0)⊆(-a,0), 所以-a≤-,所以a≥1. 即a的取值范围为[1,+∞). (3)若函数f(x)的单调递减区间是(-,0),求a的值. 【解析】(3)由(1)知,a>0且(-,0)=(-a,0), 所以a=1. 【能力提升练】 11.(5分)(多选题)下列不等式成立的是 (　　) A.2ln <ln 2 B.ln <ln C.5ln 4<4ln 5 D.π>eln π 【解析】选AD.设f(x)=(x>0), 则f'(x)=,所以当0<x<e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 因为<2<e,所以f()<f(2), 即2ln <ln 2,A正确; 因为<<e,所以f()<f(),即ln >ln ,B不正确; 因为e<4<5,所以f(4)>f(5), 即5ln 4>4ln 5,C不正确; 因为e<π,所以f(e)>f(π),即π>eln π,D正确. 12.(5分)(2024·湛江模拟)已知偶函数f(x)与其导函数f'(x)的定义域均为R,且y=f'(x)+e-x+x也是偶函数,若f(2a-1)<f(a+1),则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,2) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 【解题指南】由偶函数的定义并求导得f'(x)=-f'(-x), 由已知得f'(x)+e-x+x=f'(-x)+ex-x, 可求出f'(x)的表达式,利用导数分析函数f'(x)的单调性与取值范围, 可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 再由f(2a-1)<f(a+1)得出f(|2a-1|)<f(|a+1|), 得出关于实数a的不等式,解不等式即可. 【解析】选B.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),对两边求导可得f'(x)=-f'(-x)①. 因为函数y=f'(x)+e-x+x为偶函数, 所以f'(x)+e-x+x=f'(-x)+ex-x②. 联立①②可得f'(x)=-x, 令g(x)=f'(x),则g'(x)=-1≥-1=0,且g'(x)不恒为零,所以函数g(x)在R上为增函数, 即函数f'(x)在R上为增函数.故当x>0时,f'(x)>f'(0)=0, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 由f(2a-1)<f(a+1)可得f(|2a-1|)<f(|a+1|),所以|2a-1|<|a+1|, 整理可得a2-2a<0,解得0<a<2. 13.(5分)已知函数f(x)=-2x2+ln x(a>0),若函数f(x)在[1,2]上不单调,则实数a的取值范围是________.  【解析】f'(x)=-4x+, 若函数f(x)在[1,2]上单调, 即f'(x)=-4x+≥0或f'(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立, 即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立. 令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上单调递增, 所以≥h(2)或≤h(1), 即≥或≤3, 又a>0,所以0<a≤或a≥1. 因为f(x)在[1,2]上不单调,所以<a<1. 答案:(,1) 14.(10分)已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), 且f'(x)=, 当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞); 当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当a=0时,f(x)为常数函数,无单调区间. (2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·(f'(x)+)在区间(t,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围. 【解析】(2)由(1)及题意得f'(2)=-=1, 即a=-2,所以f(x)=-2ln x+2x-3,f'(x)=(x>0). 所以g(x)=x3+(+2)x2-2x, 所以g'(x)=3x2+(m+4)x-2. 因为g(x)在区间(t,3)上不是单调函数, 即g'(x)在区间(t,3)上有变号零点. 由于g'(0)=-2,所以 当g'(t)<0时,即3t2+(m+4)t-2<0对任意t∈[1,2]恒成立, 由于g'(0)<0, 故只要g'(1)<0且g'(2)<0, 即m<-5且m<-9,即m<-9, 又g'(3)>0,即m>-, 所以-<m<-9. 即实数m的取值范围是 (-,-9). 【创新思维练】 15.(5分)(多选题)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有>0,则称函数y=f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是 (　　) A.f(x)=ex B.f(x)=x2 C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x 【解析】选ACD.依题意,函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数. 对于A,g(x)=xex,g'(x)=(x+1)ex, 当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,故A中函数不是“F函数”; 对于B,g(x)=x3在R上单调递增,故B中函数为“F函数”; 对于C,g(x)=xln x,g'(x)=1+ln x,x>0, 当x∈(0,)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,)上单调递减,故C中函数不是“F函数”; 对于D,g(x)=xsin x,g'(x)=sin x+xcos x, 当x∈(-,0)时,g'(x)<0,所以g(x)在(-,0)上单调递减,故D中函数不是“F函数”. 16.(5分)已知函数f(x)的定义域为(0,),f'(x)是它的导函数,且f(x)<f'(x)tan x恒成立.若f()=,则关于x的不等式f(x)>sin x的解集是________.  【解析】因为f(x)<f'(x)tan x,所以f'(x)sin x-f(x)cos x>0,令g(x)=(0<x<),g'(x)=>0,则g(x)在 (0,)上为增函数,因为f()=,所以g()=1,因为f(x)>sin x,所以g(x)=>1=g(),所以<x<,所以不等式的解集为(,). 答案:(,) - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $