核心素养测评(第2章 第15节 函数模型及其应用)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 (　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y=2x-2 B.y=(x2-1) C.y=log2 x D.y=lox 【解析】选B.由题中表格可知函数在(0,+∞)上单调递增,且y随x的增大而增大得越来越快,分析选项可知B符合. 2.(5分)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是 (　　) A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 【解析】选C.当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2~t3时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元); 当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元). 3.(5分)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259) (　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 【解析】选C.代入L=5+lg V知,lg V=4.9-5=-0.1,故V=10-0.1=≈0.8. 4.(5分)(2025·合肥模拟)一般地,声音大小用声强级LI(单位:dB)表示,其计算公式:LI=10l),其中I为声强,单位:W/m2,若某种物体发出的声强为5-10W/m2,其声强级约为(参考数据:lg 2≈0.30) (　　) A.50 dB B.55 dB C.60 dB D.70 dB 【解析】选A.由已知得LI=10lg()=10×(12-10lg 5)=10×(12-10 lg) =10×(2+10lg 2)≈10×(2+10×0.30)=50. 5.(5分)(2024·深圳质检)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇,开发生产一智能产品,该产品每年的固定成本是25万元,每生产x万件该产品,需另投入成本ω(x)万元,其中ω(x)=若该公司一年内生产该产品全部售完,每件的售价为70元,则该企业每年利润的最大值为 (　　) A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元 【解析】选C.该企业每年利润f(x)= 当0<x≤40时,f(x)=-x2+60x-25=-(x-30)2+875,当x=30时,f(x)取得最大值875; 当x>40时,f(x)=920-(x+)≤920-2=720(当且仅当x=100时,等号成立),即当x=100时,f(x)取得最大值720. 由于875>720,所以该企业每年利润最大值为875万元. 二、多选题 6.(5分)某数学小组进行社会实践调查,了解到某桶装水经营部正在研究如何定价.进一步调研了解到销售单价与日均销售量的关系如表: 销售单价/元 8 9 10 11 12 13 日均销售量/桶 240 220 200 180 160 140 已知该经营部每天的房租、人工工资等固定成本为300元,每桶水的进价是5元,销售单价必须是整数.根据以上信息,下列说法正确的是 (　　) A.为使该经营部盈利,每桶水的售价不应低于7元 B.为使该经营部每天获得的利润不少于100元,每桶水的售价不应低于8元 C.为使该经营部获得的利润最大,每桶水的售价应该定为12元或13元 D.通过合理定价,该经营部每日获得的利润可达800元以上 【解析】选ACD.根据题中表格可知,销售单价每增加1元,日均销售量就减少20桶.设每桶水的价格为(8+x)元,该经营部日利润为f(x)元,则f(x)=(8+x-5)(240-20x)-300=20[(3+x)(12-x)-15]=20(-x2+9x+21),当每桶水定价低于7元,即x<-1时,有x≤-2,故f(x)≤f(-2)=-20,故A正确;当每桶水定价为7元,即x=-1时,f(-1)=220,故B错误;x=4.5是f(x)的对称轴,距离4.5最近的整数是4和5,此时每桶水的售价是12元或13元,故C正确;由f(4)=f(5)=820知D正确. 7.(5分)某大型商场开业期间为吸引顾客,推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动,奖品为本商场现金购物卡,可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级,等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y=+k,三等奖比四等奖的面值多100元,比五等奖的面值多120元,且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍,则 (　　) A.a=-ln 5 B.k=15 C.一等奖的面值为3 130元 D.三等奖的面值为130元 【解析】选ACD.由题意可知,四等奖比五等奖的面值多20元, 所以=e-a==5,则a=-ln 5,故A正确; 由(+k)-(+k)=(1-ea)=100,可知=125. 因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍, 所以+k=3(+k),解得k=5,故B错误; 三等奖的面值为+k=125+5=130(元),故D正确; 因为+k=·+k=125×25+5=3 130,故一等奖的面值为3 130元,故C正确. 三、填空题 8.(5分)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应D=a-A.那么商人为了取得最大的广告效应,投入的广告费应为________(用常数a表示).  【解析】令t=(t≥0),则A=t2, 所以D=at-t2=-(t-a)2+a2, 所以当t=a,即A=a2时,D取得最大值. 答案:a2 四、解答题 9.(10分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=c()mt(c,m为常数). (1)求c,m的值; 【解析】(1)由题意可得,两式相除,解得 (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态? 【解析】(2)由题意可得128(≤0.5,所以(≤()8,即t≥8,解得t≥32. 故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态. 【能力提升练】 10.(5分)(多选题)已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积均为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lg nA来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数.现有以下几种说法,其中正确的是 (　　) A.PA≥1 B.PA≤10 C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10 D.假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5<PA<5.5(注:lg 2≈0.3) 【解析】选BD.当nA=1时,PA=0,故A错误;又nA·nB=1010且nA,nB∈N*,所以nA≤1010,所以PA≤lg 1010=10,故B正确;若PA=1,则nA=10;若PA=2,则nA=100,故C错误;因为B菌的个数为nB=5×104,所以nA==2×105,则PA=lg nA=5+lg 2.又lg 2≈0.3,所以5<PA<5.5,D正确. 【加练备选】 生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响,常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位:mg)与时间t(单位:年)近似满足关系式y=λ(1-3-λt)(λ≠0),其中λ为抗生素的残留系数,当t=8时,y=λ,则λ= (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.因为抗生素的残留量y(单位:mg)与时间t(单位:年)近似满足关系式y=λ(1-3-λt)(λ≠0),当t=8时,y=λ,所以λ=λ(1-3-8λ),所以3-8λ==3-2,即-8λ=-2,解得λ=. 11.(5分)李冶,金元时期的数学家,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题,如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩,若方田的四边到水池的最近距离均为20步,则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y=________,水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时,r=________(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算).  【解析】已知水池的半径为r步,则方田的边长为(2r+40)步, 由题意得,(2r+40)2-πr2=y×240, 得y=r2+r+, =++≥1,当且仅当r=40时取等号. 即比值最小时,r=40. 答案:r2+r+　40 12.(10分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明,“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4<x≤20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年. (1)当0<x≤20时,求v关于x的函数解析式; 【解析】(1)由题意得,当0<x≤4时,v=2; 当4<x≤20时,设v=ax+b(a≠0), 显然v=ax+b在(4,20]内单调递减, 由已知得解得 所以v=-x+. 故函数v= (2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值. 【解析】(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)= 当0<x≤4时,f(x)单调递增, 故f(x)max=f(4)=2×4=8; 当4<x≤20时,f(x)=-x2+x=-(x2-20x)=-(x-10)2+,f(x)max=f(10)=12.5. 所以当0<x≤20时,f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米. 【创新思维练】 13.(5分)著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家,他曾言:勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏.今天,我们可以用数学观点来对这句话重新诠释.我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%,一年后是1.01365;而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是1%,一年后是0.99365.可以计算得到,一年后的“进步”是“落后”的≈1 481倍.那么,如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%,要使“进步”是“落后”的10 000倍,大约需要经过 (lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) (　　) A.17天 B.19天 C.23天 D.25天 【解析】选C.经过x天后,“进步”与“落后”的比≥10 000,所以≥10 000,两边取以10为底的对数得x·lg ≥4,又lg 2≈0.301,lg 3≈0.477,所以x·(lg 3-lg 2)≈ (0.477-0.301)x=0.176x≥4,解得x≥≈22.73,所以大约经过23天后,“进步”是“落后”的10 000倍. 14.(5分)如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,厚度为α(单位:mm)的带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出,厚度变为β(单位:mm).若α=10,β=5,每对轧辊的减薄率r不超过4%,则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为(一对轧辊减薄率r=×100%,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　) A.14 B.15 C.16 D.17 【解析】选D.厚度为α=10 mm的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n对轧辊后厚度为10(1-4%)n,经过各对轧辊逐步减薄后输出,厚度变为β=5,则10(1-4%)n≤5⇒(1-4%)n≤,因为(1-4%)n>0,>0,所以lg (1-4%)n≤lg ⇒nlg (1-4%)≤ -lg 2,因为lg (1-4%)<0,所以n≥⇒n≥== ≈≈16.815 6. - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $