核心素养测评(第2章 第9节 函数性质的综合应用)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:90分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)已知偶函数f(x)满足f(x)=x2+2-x(x≤0),则f(x)在(0,+∞)上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.先递增后递减 D.先递减后递增 【解析】选A.f(x)=x2+()x,由y=x2与y=()x在(-∞,0]上单调递减,得f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 2.(5分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x).若f(2)>1,f(7)=a,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-3) B.(3,+∞) C.(-∞,-1) D.(1,+∞) 【解析】选D.因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数,所以f(7)=f(7-9)=f(-2).又因为函数f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2),所以f(7)=f(2)>1,所以a>1,即a∈(1,+∞). 3.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,若f(-2)=1,则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　) A.[-1,1] B.[-2,2] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 【解析】选A.根据奇函数的性质,得f(x)在R上单调递减,且f(2)=-1;由|f(2x)|≤1,得-1≤f(2x)≤1,即f(2)≤f(2x)≤f(-2),所以-2≤2x≤2,解得-1≤x≤1. 【加练备选】 (2024·南通模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(2+x)=f(-x),f(-2)=-f(4),且f(x)在[1,+∞)上单调递增,则xf(x-1)>0的解集为(　　) A.(-2,0)∪(4,+∞) B.(-∞,-1)∪(5,+∞) C.(-∞,-2)∪(4,+∞) D.(-1,0)∪(5,+∞) 【解析】选D.函数f(x)满足f(2+x)=f(-x),则f(x)关于直线x=1对称,所以f(-2)=f(4)=-f(4),即f(-2)=f(4)=0,又f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,则可得函数f(x)的大致图象,如图, 所以由不等式xf(x-1)>0可得,或解得-1<x<0或x>5,故不等式xf(x-1)>0的解集为(-1,0)∪(5,+∞). 4.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 【解析】选C.易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,因为奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函数. 又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b. 5.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+e)=f(x-e),当x∈(0,e)时,f(x)=ln x,则f(x)在区间(-e,2e)内的所有零点之和为(　　) A.3e-1　　　B.2e　　　C.2e-1　　　D.0 【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0;因为f(x+e)=f(x-e),所以f(x)的周期T=2e且f(x+e)=-f(e-x), 所以f(e)=-f(e)⇒f(e)=0,因为当x∈(0,e)时,f(x)=ln x,所以f(1)=0,所以f(-1)=-f(1)=0,所以f(-1+2e)=f(-1)=0,故f(x)在区间(-e,2e)内的零点为-1,0,1,e,-1+2e,其零点之和为3e-1. 二、多选题 6.(5分)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=f(x-2),下列说法正确的 是(　　) A.y=f(x)的图象关于直线x=对称 B.y=f(x)的图象关于点(,0)对称 C.y=f(x)在[0,6]内至少有5个零点 D.若y=f(x)在[0,1]上单调递增,则它在[2 024,2 025]上也单调递增 【解析】选BCD.因为f(x+1)=f(x-2)且y=f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x+3)=f(x),故函数f(x)是周期为3的周期函数,且f(x+3)=f(x)=-f(-x), 所以f(3+x)+f(-x)=0,故函数y=f(x)的图象关于点(,0)对称,A错误,B正确; 由题意可知,f(6)=f(3)=f(0)=0, 因为f(x)=f(x+3)=-f(-x),令x=-,可得f(-)=f()=-f(), 所以f()=0,从而f()=f()=0,故函数y=f(x)在[0,6]内至少有5个零点,C正确; 因为f(2 024)=f(3×675-1)=f(-1),f(2 025)=f(3×675)=f(0),且函数f(x)在[0,1]上单调递增,则函数f(x)在[-1,0]上也单调递增,故函数f(x)在[2 024,2 025]上也单调递增,D正确. 7.(5分)已知f(x)的定义域为R,其函数图象关于直线x=-3对称,且f(x+3)=f(x-3),若当x∈[0,3]时,f(x)=4x+2x-11,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)在[-6,-3]上单调递减 C.f(x)关于直线x=3对称 D.f(100)=9 【解析】选ACD.f(x)的图象关于直线x=-3对称,则f(-x)=f(x-6),又f(x+3)=f(x-3),则f(x)的周期T=6,所以f(-x)=f(x-6)=f(x),所以f(x)为偶函数,故A正确;当x∈[0,3]时,f(x)=4x+2x-11单调递增,因为T=6,故f(x)在[-6,-3]上也单调递增,故B不正确;f(x)关于直线x=-3对称且T=6,所以f(x)关于直线x=3对称,故C正确;f(100)=f(16×6+4)=f(4)=f(-2)=f(2)=9,故D正确. 三、填空题 8.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则f(-25),f(0),f(11)的大小关系为________.  【解题指南】推导出函数f(x)为周期函数,确定该函数的周期,计算可得f(-25)=f(-1),f(11)=f(1),然后分析函数f(x)在区间[-2,2]上的单调性,即可得出f(-25),f(0),f(11)的大小关系. 【解析】因为定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),则f(x+8)=-f(x+4)=f(x), 所以函数f(x)是周期为8的周期函数.所以f(-25)=f(-25+24)=f(-1),f(11)=f(11-8)= f(3)=-f(3-4)=f(1),因为函数f(x)在[0,2]上单调递增,则该函数在[-2,0]上单调递增,故函数f(x)在[-2,2]上单调递增,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(0)<f(11). 答案:f(-25)<f(0)<f(11) 9.(5分)(2025·南昌模拟)已知f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,则满足不等式f(2a)<f(4a-1)的a的取值范围是________.(用区间表示)  【解析】因为f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,所以f(x)在[0,1]上单调递增,所以-1≤2a≤1,-1≤4a-1≤1,|2a|<|4a-1|,所以0≤a<. 答案: [0,) 四、解答题 10.(10分)已知f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y),且f(1)=. (1)证明:f(x)是偶函数. 【解析】(1)f(x)的定义域为R,令x=1,y=0,得f(1+0)+f(1-0)=3f(1)f(0),所以f(0)=,令x=0,得f(0+y)+f(0-y)=3f(0)f(y),所以f(-y)=f(y),所以f(x)是偶函数. (2)求f(k). 【解析】(2)令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=3f(x)f(1)=f(x)①,所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②, 由①,②知,f(x+2)+f(x-1)=0,所以f(x+3)+f(x)=0,即f(x+3)=-f(x), 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期是6. 由②得,f(2)+f(0)=f(1), 所以f(2)=-, 同理f(3)+f(1)=f(2),所以f(3)=-, 又由周期性和偶函数可得: f(4)=f(-2)=f(2)=-,f(5)=f(-1)=f(1)=,f(6)=f(0)=,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0, 所以f(k)=337f(k)+f(1)+f(2)+f(3)=-. 【能力提升练】 11.(5分)(多选题)(2025·深圳模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(-x),当x∈(1,2]时f(x)=2x-2,则下列结论正确的有(　　) A.f(-1)=0 B.f(x)的图象关于点(3,0)成中心对称 C.f(2 024)>f(2 025) D.f()≤f() 【解析】选ABD.对A,因为f(x)满足f(x+2)=-f(-x),令x=-1,则f(1)=-f(1),即f(1)=0,又因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1)=0,故A正确; 对B,因为f(x+2)=-f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期T=4,再根据f(x+2)=-f(-x),即f(x+6)=-f(-x),所以f(x)的图象关于点(3,0)成中心对称,故B正确; 对C,由B知:f(x)的周期T=4,故f(2 024)=f(506×4)=f(0),因为f(x+2)=-f(-x),令x=0,则f(2)=-f(0),又因为当x∈(1,2]时,f(x)=2x-2,所以f(2)=22-2=2,即f(0)=-f(2)=-2,即f(2 024)=f(0)=-2,f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=0,故f(2 024)<f(2 025),故C错误; 对D,f(x)满足f(x+2)=-f(-x),所以f(x)关于(1,0)中心对称,又因为当x∈(1,2]时f(x)=2x-2,所以f(x)在[0,2]上单调递增; 当x=0时,f(0)=-2<f()=-2=-2,当x≠0时,因为f(x)为偶函数,所以f()=f(||)=f()=f(),因为0<≤,当且仅当|x|=,即x=1时等号成立,所以f()≤f(),故D正确. 12.(5分)(多选题)(2024·九省联考)已知函数f(x)的定义域为R,且f()≠0,若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy,则(　　) A.f(-)=0 B.f()=-2 C.函数f(x-)是偶函数 D.函数f(x+)是减函数 【解析】选ABD.令x=,y=0,则有f()+f()×f(0)=f()[1+f(0)]=0,又f()≠0,故1+f(0)=0,即f(0)=-1,令x=, y=-,则有f(-)+f()f(-)=4××(-),即f(0)+f()f(-)=-1,由f(0)=-1, 可得f()f(-)=0,又f()≠0, 故f(-)=0,故A正确; 令y=-,则有f(x-)+f(x)f(-)=4x×(-),即f(x-)=-2x,故函数f(x-)是奇函数, 有f(x+1-)=-2(x+1)=-2x-2, 即f(x+)=-2x-2,即函数f(x+)是减函数,令x=1,有f()=-2×1=-2, 故B正确,C错误,D正确. 13.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=2-f(x),f(2-3x)为偶函数,若f(0)=0,f(k)=123,则n的值为________.  【解析】由,解得f(x+4)=f(x),即f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(4)=f(0)=0,因为f(2-3x)为偶函数,所以f(2-3x)=f(3x+2)⇒f(2-x)=f(2+x),当x=1时有f(1)=f(3), 又因为f(1)+f(3)=2,所以f(1)=f(3)=1, 所以f(2)=2-f(0)=2,f(3)=2-f(1)=1, 所以f(k)=30[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=120, 所以f(k)+f(121)+f(122)=f(k)+f(1)+f(2)=123,即f(k)=123,所以n=122. 答案:122 14.(10分)设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T,A(T>0,A>0),使得对任意x∈R,f(x+T)=Af(x)都成立,则称函数f(x)具有性质P. (1)判断函数y=x和y=cos x是否具有性质P.(结论不要求证明) 【解析】(1)因为函数y=x是增函数, 所以函数y=x不具有性质P. 当A=1,T=2π时,函数y=cos x对于任意x∈R,f(x+T)=Af(x)成立,所以y=cos x具有性质P. (2)若函数f(x)具有性质P,且其对应的T=π,A=2.当x∈(0,π]时,f(x)=sin x,求函数f(x)在区间[-π,0]上的最大值. 【解析】(2)设x∈(-π,0],则x+π∈(0,π],由题意得, f(x+π)=2f(x)=sin(x+π), 所以f(x)=-sin x,x∈(-π,0], 由f(-π+π)=2f(-π),f(0+π)=2f(0), 得f(-π)=f(π)=0, 所以当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x, 所以当x=-时,f(x)在[-π,0]上有最大值f(-)=. 【创新思维练】 15.(5分)已知符号函数sgn(x)=偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则下列结论正确的是(　　) A.sgn(f(x))>0 B.f()=1 C.sgn(f(2k))=0(k∈Z) D.sgn(f(k))=|sgn(k)|(k∈Z) 【解析】选C.根据题意得函数f(x)是周期为2的函数,作出函数f(x)的大致图象,如图所示. 数形结合易知f(x)∈[0,1],则sgn(f(x))=0或sgn(f(x))=1,故A错误; f()=f(2 020+)=,故B错误; f(2k)=0(k∈Z),则sgn(f(2k))=0(k∈Z),故C正确; sgn(k)=(k∈Z),所以|sgn(k)|=(k∈Z),所以sgn(f(k))≠|sgn(k)|(k∈Z),故D错误. 16.(5分)黎曼函数是一个特殊的函数,由德国著名的数学家黎曼发现并提出,在高等数学中有着广泛的应用,其定义为:定义在区间[0,1]上的函数R(x)= 若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x都有f(2-x)+f(x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f()+f(lg 30)=________.  【解析】由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,所以f(x)=-f(2-x)=f(x-2),所以函数f(x)的周期是2,则f()=f(-4)=f(-)=-f()=-R()=-,f(lg 30)=f(lg 3+lg 10)=f(lg 3+1)=f(lg 3-1)=-f(1-lg 3)=-R(1-lg 3)=0,所以f()+f(lg 30)=-. 答案:- - 10 - 学科网（北京）股份有限公司 $