核心素养测评(第2章 第8节 函数的奇偶性与周期性)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:90分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是(　　) A.y= B.y=-x|x| C.y=ex-e-x D.y=-ln x 【解析】选B.对于A,函数y=为奇函数,在定义域上不单调,故A错误; 对于B,函数y=-x|x|为奇函数, 当x>0时,y=-x|x|=-x2, 当x≤0时,y=-x|x|=x2, 故函数y=-x|x|在定义域内为减函数,故B正确; 对于C,由于函数y=ex,y=-均为增函数,故y=ex-在定义域内为增函数,故C错误; 对于D,函数y=-ln x为非奇非偶函数,故D错误. 2.(5分)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　　) A. e-x -1 B. e-x +1 C.-e-x -1 D.-e-x +1 【解析】选D.依题意得,当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(e-x -1)=-e-x +1. 3.(5分)(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是(　　) A.f(x)=x+sin x B.f(x)=(x-1) C.f(x)=ln(-x) D.f(x)=2x+ 【解析】选B.A项,f(x)的定义域为R,由f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x)知,f(x)为奇函数; B项,令≥0,解得x≤-1或x>1,即函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞),不关于原点对称,即f(x)为非奇非偶函数; C项,因为x2+1>x2,所以-x>0恒成立,即f(x)的定义域为R,又f(-x)+f(x)= ln (+x)+ln (-x)=0,故f(x)为奇函数; D项,f(x)的定义域为R,由f(-x)=f(x)知,f(x)为偶函数. 4.(5分)(2025·重庆诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)=-2,且h(x)=-x2+f(3x)为奇函数,则f(-3)=(　　) A.4 B.-2 C.0 D.2 【解析】选A.因为h(x)=-x2+f(3x)是奇函数,所以有h(-1)+h(1)=0,即-1+f(-3)-1+f(3)=0,又f(3)=-2,所以f(-3)=4. 5.(5分)已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=x3-sin x+b+2,则f(a)+f(b)=(　　) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 【解析】选A.依题意得a-4+2a-2=0,解得a=2,由f(0)=b+2=0,得b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=0. 二、多选题 6.(5分)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是(　　) A.y=f(|x|) B.y=f(-x) C.y=xf(x) D.y=f(x)+x 【解析】选BD.由奇函数的定义f(-x)=-f(x)验证,A中,f(|-x|)=f(|x|),为偶函数; B中,f(-(-x))=f(x)=-f(-x),为奇函数;C中,-xf(-x)=-x·[-f(x)]=xf(x),为偶函数; D中,f(-x)+(-x)=-[f(x)+x],为奇函数.可知B,D正确. 7.(5分)(2025·昆明模拟)(一题多法)函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=x3+x2-1,则(　　) A.f(-1)=-1 B.g(-1)=-2 C.f(1)+g(1)=1 D.f(1)+g(1)=2 【解析】选AC.法一:由f(x)-g(x)=x3+x2-1得f(-x)-g(-x)=-x3+x2-1,又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以-f(x)-g(x)=-x3+x2-1. 由 得f(x)=x3,g(x)=-x2+1. 对于A,f(-1)=(-1)3=-1,故A正确; 对于B,g(-1)=-(-1)2+1=0,故B错误; 对于C和D,f(1)+g(1)=1-1+1=1,C正确,D错误. 法二:因为f(x)-g(x)=x3+x2-1,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, 将x=-1代入得f(-1)-g(-1)=-1,所以-f(1)-g(1)=-1,即f(1)+g(1)=1,故C正确,D错误; 将x=1代入得f(1)-g(1)=1, 又f(1)+g(1)=1,所以f(1)=1,g(1)=0, 所以f(-1)=-1,g(-1)=0,故A正确,B错误. 【加练备选】 (多选题)f(x)是定义在R上的偶函数,对∀x∈R,均有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log 2(2-x),则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的一个周期为4 B.f(2 024)=1 C.当x∈[2,3]时,f(x)=-log 2(4-x) D.函数f(x)在[0,2 024]内有1 010个零点 【解析】选ABC.因为f(x)是定义在R上的偶函数,对∀x∈R,均有f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数的一个周期为4,故A正确; f(2 024)=f(4×506)=f(0)=log2(2-0)=1,故B正确; 当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],则f(x)=-f(x-2)=-log 2[2-(x-2)]=-log 2(4-x),故C正确; 易知f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 021)=f(2 023)=0,于是函数f(x)在[0,2 024]内有 1 012个零点,故D错误. 三、填空题 8.(5分)若f(x)=+1为奇函数,则实数a=________.  【解析】函数f(x)=+1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),若f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=0,即(+1)+(+1)=-+2=0,解得a=1. 答案:1 9.(5分)已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=2,则f(2 025)=________.  【解析】由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数.又由f(x+4)=-f(x),得f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为8的偶函数,所以f(2 025)=f(1+253×8)=f(1)=f(-1)=2. 答案:2 四、解答题 10.(10分)已知函数f(x)=是奇函数. (1)求实数m的值; 【解析】(1)设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2. (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 【解析】(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(如图所示)知, 所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3]. 【能力提升练】 11.(5分)已知函数y=f(x)的图象关于原点对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.给定函数f(x)=x3+3x2,则函数f(x)的图象的对称中心是(　　) A.(1,-2) B.(-2,1) C.(1,2) D.(-1,2) 【解析】选D.f(x)=x3+3x2=(x+1)3-3x-1=(x+1)3-3(x+1)+2,易知y=f(x-1)-2=x3-3x为奇函数,故y=f(x-1)-2的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)的图象的对称中心是点(-1,2). 12.(5分)(2024·保定调研)已知定义域为R的函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(1)=1,则下列结论错误的是(　　) A.f(0)=2 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为奇函数 D.f(2)=-1 【解析】选C.因为∀x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),取x=1,y=0可得f(1)+f(1)=f(1)f(0), 又f(1)=1,所以f(0)=2,A正确; 取x=0,可得f(y)+f(-y)=f(0)f(y),因为f(0)=2,所以f(-y)=f(y),所以f(x)为偶函数,B正确,C错误; 取x=1,y=1可得f(2)+f(0)=f(1)f(1),又f(1)=1,f(0)=2,所以f(2)=-1,D正确. 13.(5分)(2024·湖北九师联盟质检)设函数f(x)=x(x2-cos +2)(-3<x<3),则不等式f(1+x)+f(2)<f(1-x)的解集是________.  【解析】由题意知f(x)的定义域为(-3,3),且f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,当x∈[0,3)时,易证f(x)单调递增,所以f(x)在(-3,3)上单调递增,令g(x)=f(1+x)+f(2)-f(1-x),则 则-2<x<2,且g(x)在(-2,2)上单调递增,又g(-1)=f(0)+f(2)-f(2)=0,所以g(x)<0的解集为(-2,-1). 答案:(-2,-1) 14.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; 【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 所以f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; 【解析】(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2. 所以f(x)=x2+2x. 又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], 所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024). 【解析】(3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=… =f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)= 506×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2 024)=0+f(2 024)=0+f(0)=0. 【创新思维练】 15.(5分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”,已知函数f(x)=ex-a在R上为“局部奇函数”,则实数a的最小值为(　　) A.1 B.2 C. D. 【解析】选A.f(x)为“局部奇函数”,则f(-x)=-f(x),即e-x-a=-(ex-a)在R上有解,所以ex+ e-x =2a在R上有解,因为ex+e-x≥2,当且仅当x=0时等号成立,所以2a≥2,即a≥1,所以amin=1. 16.(5分)函数f(x)=x(ex+e-x)+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M,N,则M+N=(　　) A.-2 B.0 C.2 D.4 【解析】选C.依题意,令g(x)=x(ex+e-x),x∈[-2,2],则g(-x)=-x(e-x+ex)=-g(x),即函数g(x)是奇函数,因此,函数g(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值的和为0,而f(x)=g(x)+1,则有M=g(x)max+1,N=g(x)min+1,于是得M+N=g(x)max+1+g(x)min+1=2. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $