拓展拔高练(拓展拔高1 柯西不等式、权方和不等式)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

拓展拔高练　(时间:45分钟　分值:50分) 1.(5分)实数x,y满足3x2+4y2=12,则z=2x+y的最小值是(　　) A.-5 B.-6 C.3 D.4 【解析】选A.因为实数x,y满足3x2+4y2=12, 所以+=1, 所以(+)(16+9)≥(2x+y)2, 即-5≤2x+y≤5, 当且仅当3x=8y, 即时,左边取等号, 当时,右边取等号, 所以z=2x+y的最小值是-5. 2.(5分)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设a,b,x,y>0,则+≥,当且仅当=时,等号成立.根据权方和不等式,函数f(x)=+(0<x<)的最小值为(　　) A.16 B.25 C.36 D.49 【解析】选B.因为0<x<,即1-2x>0, 于是得f(x)=+≥=25, 当且仅当=,即x=时,等号成立, 所以函数f(x)=+(0<x<)的最小值为25. 3.(5分)若实数x+2y+3z=1,则x2+y2+z2的最小值为(　　) A.14 B. C.29 D. 【解析】选B.根据柯西不等式得(x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2=1, 即x2+y2+z2≥, 当且仅当x=,y=,z=时等号成立. 4.(5分)已知正数x,y,z满足x+y+z=1,则++的最小值为________.  【解析】++=++≥=36,当且仅当==, 即x=,y=,z=时等号成立. 答案:36 5.(5分)f(x)=+的最小值为________.  【解析】f(x)=+=+≥=, 当且仅当=, 即sin x=±,cos x=±时等号成立. 答案: 6.(5分)若a>1,b>1,则+的最小值为________.  【解析】+≥, 令a+b-2=t, 则==t++4≥8, 当且仅当 即a=b=2时等号成立, 所以+的最小值为8. 答案:8 7.(5分)已知x,y∈R,且x+3y=13,则4x2+3y2的最小值为___________.  【解析】由柯西不等式得,[(2x)2+(y)2]·[()2+()2]≥(2x·+y·)2, 即(4x2+3y2) (+3)≥(x+3y)2, 所以4x2+3y2≥×132=52. 当且仅当x+3y=13且2x=y, 即x=1,y=4时等号成立. 故4x2+3y2的最小值为52. 答案:52 8.(5分)3+2的最大值为________.  【解析】原式中x的取值范围为[1,]. 由柯西不等式,得(3+2)2=≤[32+(2)2] ·[()2+()2]=21×=7. 当且仅当3=2·,即x=时,等号成立. 所以3+2≤. 故3+2的最大值为. 答案: 9.(5分)设a=(1,-2),b=(x,y),若x2+y2=16,则a·b的最大值为________.  【解析】因为a=(1,-2),b=(x,y), 所以a·b=x-2y. 由柯西不等式的向量形式可得 [12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2, 即5×16≥(x-2y)2, 所以-4≤x-2y≤4,(*) 当且仅当y=-2x, 即时,(*)式中右边等号成立, 或时,(*)式中左边等号成立, 所以当x=,y=-时,a·b的最大值为4. 答案:4 10.(5分)若a,b,c均为正实数,且满足a2+2b2+3c2=3,则3a+2b+c的最大值为________.  【解析】利用柯西不等式,可得(3a+2b+c)2=(3a+·b+·c)2 ≤[32+()2+()2] (a2+2b2+3c2)=34, 当且仅当==,即==时等号成立. 又a,b,c均为正实数,则0<3a+2b+c≤. 答案: - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $