核心素养测评(第1章 第4节 基本不等式)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)已知a>0,则m=a+的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选C.因为a>0,所以m=a+≥2=4(当且仅当a=,即a=2时取等号). 所以m=a+的最小值为4. 2.(5分)(2025·镇江模拟)已知x>1,y>0,x+y=2,则(x-1)·y的最大值是(　　) A. B. C. D.1 【解析】选A.因为x>1,y>0,x+y=2,则x-1>0,(x-1)+y=1,可得(x-1)·y≤=,当且仅当x-1=y,即x=,y=时,等号成立,所以(x-1)·y的最大值是. 3.(5分)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为(　　) A. B.2+1 C.4 D.2+4 【解析】选D.==≥==2+4, 当且仅当x2=2y2,即x=,y=时,等号成立. 4.(5分)下列选项正确的是(　　) A.+≥2 B.x+≥4 C.+的最小值为2 D.x2+的最小值为 【解析】选D.对于A,当与为负数时,+≥2显然不成立,A不正确; 对于B,当x为负数时,x+≥4显然不成立,B不正确; 对于C,令t=∈(0,1],所以t+的最小值为3, 当且仅当=1时,取到最小值,C不正确; 对于D,x2+=x2+2+-2,令u=x2+2≥2,函数y=u+-2在[2,+∞)上单调递增,因此当u=2,即x=0时,x2+取得最小值,D正确. 5.(5分)(2024·杭州模拟)如图,某灯光设计公司生产一种矩形线路板,矩形ABCD(AB>AD)的周长为4,沿AC折叠使点B到点B'的位置,AB'交DC于点P.研究发现当△ADP的面积最大时用电最少,则用电最少时,AB的长度为(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.设AB=x,由矩形ABCD(AB>AD)的周长为4,可知AD=2-x. 设PC=a,则DP=x-a. 因为∠APD=∠CPB',∠ADP=∠CB'P=90°,AD=CB',所以Rt△ADP≌Rt△CB'P,所以AP=CP=a.在Rt△ADP中,由勾股定理得AD2+DP2=AP2, 即(2-x)2+(x-a)2=a2,解得a=, 所以DP=x-a=. 所以△ADP的面积S=AD·DP=(2-x)·=3-(x+). 所以S≤3-2=3-2,当且仅当x=时,即x=时,△ADP的面积最大,面积的最大值为3-2. 6.(5分)已知a>b>0,+=4,且5a-4b≥m恒成立,则m的取值范围为(　　) A. (-∞,] B.(-∞,2] C. (-∞,] D.(-∞,4] 【解析】选B.设5a-4b=s(a-b)+t(a+b)=(s+t)a-(s-t)b,则,解得, 则5a-4b=(a-b)+(a+b)=[(a-b)+(a+b) ] (+)=(5++) ≥(5+2)=2, 当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,所以5a-4b的最小值为2,又因为a>b>0,+=4,且5a-4b≥m恒成立,所以m≤2. 二、多选题 7.(5分)下列命题正确的是(　　) A.若a,b∈R,且ab>0,a+b≥2 B.已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为 C.若x>0,则2-3x-的最大值是2-4 D.若x=(x-2)y,x>0,y>0,则x+2y的最小值是9 【解析】选BC.对于选项A,若a,b均为负数,不等式不成立,所以A错误; 对于选项B,因为x+y=1,所以x+(1+y)=2,则2(+)=[x+(1+y)] (+)=++5≥2+5=9, 所以+≥,当且仅当,即时,等号成立,故B正确; 对于选项C,因为x>0,3x+≥2=4,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,所以2-3x-≤2-4,故C正确; 对于选项D,因为x=(x-2)y,所以+=1, 所以x+2y=(x+2y) (+)=++4≥2+4=8, 当且仅当=即x=4,y=2时,等号成立,所以x+2y的最小值是8,故D错误. 8.(5分)(2025·潍坊模拟)已知x>0,y>0,3x+2y=4,若≤恒成立,则实数m的值可以是(　　) A.-1 B.-2 C.- D.-3 【解析】选ACD.因为x>0,y>0,则≤⇔≤+,而3x+2y=4,于是+=(3x+2y) (+)=(++13)≥(2+13)=,当且仅当=,即x=y=时取等号,依题意,≤,整理得≥0,解得m≤-或m>-, 所以实数m的值可以是-1,-,-3. 三、填空题 9.(5分)甲、乙两地相距1 000千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度x(千米/时)的平方成正比,比例系数为2,固定部分为5 000元.为使全程运输成本最小,汽车的速度是________千米/时.  【解析】设汽车速度为x千米/时,运输成本为y=(2x2+5 000)·=2 000x+≥ 2=200 000,当且仅当2 000x=,即x=50时,运输成本最小. 答案:50 10.(5分)(2025·合肥模拟)若a>0,b>0,且(4a-1)(b-1)=4,则4a+b的最小值为________.  【解析】由a>0,b>0,(4a-1)(b-1)=4,得4ab-4a-b+1=4,整理得4ab-3=4a+b≥4,当且仅当b=4a=3时等号成立, 则4ab-4-3≥0,故(2+1)(2-3)≥0,解得≥或≤-(舍去), 所以4a+b≥4≥6,当且仅当b=4a=3时取等号,即4a+b的最小值为6. 答案:6 【能力提升练】 11.(5分)(多选题)(2025·苏南十校联考)设正实数m,n满足m+n=1,则(　　) A.的最小值为 B.+的最小值为3+2 C.+的最小值为 D.m2+n2的最小值为 【解析】选BD.对于A,1=m+n≥2⇒≤,当且仅当m=n=时取等号,此时取最大值,故A不正确; 对于B,因为正实数m,n满足m+n=1,所以+=(+)(m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=且m+n=1,即m=-1,n=2-时取等号,所以+的最小值为3+2,故B正确; 对于C,=m+n+2≤m+n+m+n=2⇒+≤,当且仅当m=n=时取等号,所以+的最大值为,故C错误; 对于D,由≤⇒mn≤,因此m2+n2=(m+n)2-2mn=1-2mn≥1-2×=,当且仅当m=n=时取等号,则m2+n2的最小值为,故D正确. 12.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则+的最小值为________.  【解析】因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),所以f(x)的最小值是1,且a>0,由二次函数性质得对称轴为直线x=-=-,所以f(x)的最小值为f(-)=a-2×+c=c-,所以c-=1,解得=c-1(c>1), 而+=c+-1≥2-1=2×2-1=3,当且仅当c=时取等号,此时c=2. 答案:3 13.(5分)(2025·南昌模拟)已知a>b>c且+≥恒成立,实数m的最大值是___________.  【解析】由题意,a-b>0,b-c>0,a-c>0,所以+≥转化为+≥m,可得+≥m,即2++1+≥m,因为2++1+≥3+2,当且仅当a-b=(b-c)时等号成立,所以实数m的最大值是3+2. 答案:3+2 14.(5分)(2025·无锡模拟)中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个边长分别为a,b,c的三角形,其面积S可由公式S=求得,其中p=(a+b+c),这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的三边长满足a+b=14,c=6,则此三角形面积的最大值为________.  【解析】由题意,可知a+b=14,c=6,则p==10,又a+b=14, 故S==≤=6, 当且仅当10-a=10-b,a+b=14,即a=b=7时取等号. 答案:6 【创新思维练】 15.(5分)设m,n∈R,定义运算“△”和“▽”如下:m△n=m▽n=.若正数m,n,p,q满足mn≥4,p+q≤4,则(　　) A.m△n≥2,p△q≤2 B.m▽n≥2,p▽q≥2 C.m△n≥2,p▽q≥2 D.m▽n≥2,p△q≤2 【解析】选D.由运算“△”和“▽”知,m△n=,表示数m,n中比较小的数, m▽n=,表示数m,n中比较大的数. 当m=1,n=5时,m△n=1,故选项A,C错误; 当p=q=1时,p▽q=1,故选项B错误; 因为m+n≥2≥4,且2(m▽n)≥m+n,所以m▽n≥2, 因为pq≤≤4,(p△q)2≤pq,所以p△q≤2,故选项D正确. 16.(5分)(2025·德州模拟)已知a>0,b>0,且a+b=1,记+的最小值为M,记的最小值为N,则M+N=___________.  【解析】a>0,b>0,a+b=1,故+=+=+-4, 其中+=(+)·(a+b)=1+4++≥5+2=9, 当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,故+=+-4≥5,即M=5; ====-1+, 因为a>0,b>0,故b=1-a>0,所以0<a<1,令a+1=t,则1<t<2, 故===,其中t+≥2=2,当且仅当t=,即t=时,等号成立,故=≥=3+2,故=-1+≥2+2,即N=2+2; 所以M+N=5+2+2=7+2. 答案:7+2 - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $