核心素养测评(第10章 第58节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理核心考点，严格对接高考评价体系，通过2023年全国乙卷等真题分析考点权重，归纳排列组合、染色问题、实际应用场景等常考题型，构建系统备考框架，体现高考实战的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题溯源+素养导向+技巧突破”，如以2025年重庆模拟无人机灯光组合题为例，运用分步乘法原理培养学生数学思维，结合算筹计数问题训练数学眼光，特设易错点分析（如重复计数）和答题模板，助力学生高效掌握计数原理应用技巧，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

核心素养测评　 (时间:45分钟　分值:75分) 六十七 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)有红、黄、蓝的小旗各一面,从中选用1面、2面或3面升上旗杆,并且不同的顺序表示不同的信号,则可表示不同的信号种数为 (　　)　　　　　　　　　 A.6 B.12 C.14 D.15 【解析】选D.挂一面旗时,有3种情况;挂两面旗时,有3×2=6(种);挂三面旗时,有3×2×1=6(种),所以共有3+6+6=15(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.(5分)某棋局的一部分如图所示,若不考虑这部分以外棋子的影响,且“马”和“炮”不动,“兵”只能往前走或左右走,每次只能走一格,从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线,其中也能把“炮”吃掉的可能路线有 (　　) A.10条 B.8条 C.6条 D.4条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选C.由题意可知,“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步,竖走两步, 其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步:第一步,横走两步,竖走一步,有3种走法;第二步,横走一步,竖走一步,有2种走法. 所以所求路线共有3×2=6(条). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.(5分)(2025·重庆模拟)无人机光影秀中,有8架无人机按如图所示排列,每架无人机均可以发出4种不同颜色的光,1至5号无人机颜色必须相同,6,7号无人机颜色必须相同,8号无人机与其他无人机颜色均不相同,则这8架无人机同时发光时,一共可以有_________种灯光组合. (　　)  A.48 B.12 C.18 D.36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选D.根据题意可知,1至5号无人机颜色有4种选择; 当6,7号无人机颜色与1至5号无人机颜色相同时,8号无人机颜色有3种选择; 当6,7号无人机颜色与1至5号无人机颜色不同时,6,7号无人机颜色有3种选择,8号无人机颜色有2种选择;再由分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算可得共有4×(1×3+3×2)=36(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【加练备选】 甲、乙、丙三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传回甲,传递方法有 (　　) A.4种 B.6种　 C.10种 D.16种 【解析】选B.分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件的有3种传递方法(如图), 同理,甲先踢给丙时,满足条件的也有3种传递方法.由分类加法计数原理可知,共有3+3=6(种)传递方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(5分)(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 【解析】选C.甲、乙二人先选1种相同的课外读物,有=6(种)情况,再从剩下的5种课外读物中各自选1种不同的读物,有=20(种)情况,由分步乘法计数原理可得共有6×20=120(种)选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【加练备选】 中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种,其相互关系是“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”.将五种不同属性的物质任意排成一列,则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为 (　　) A.8 B.10 C.15 D.20 【解析】选B.由题意知,可看作五个位置排列五个元素,第一个位置有5种排列方法,不妨假设是金,则第二个位置只能从土与水两者中选一种排放,有2种选择,不妨假设排的是水,则第三个位置只能排木,第四个位置只能排火,第五个位置只能排土,因此,总的排法种数为5×2×1×1×1=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(5分)现将5个代表团人员安排至甲、乙、丙三家宾馆入住,要求同一个代表团人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中A,B两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆,则不同的入住方案种数为 (　　) A.6 B.12 C.16 D.18 【解析】选A.甲宾馆不再安排其他代表团入住,则乙、丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住,所以一个宾馆住1个代表团,另一个宾馆住2个代表团,共有=6(种)方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(5分)如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法种数是 (　　) A.420 B.210 C.70 D.35 【解析】选A.按照SABCD的顺序染色:当A,C相同时,染色方法有5×4×3×1×3=180(种),当A,C不同时,染色方法有5×4×3×2×2=240(种),则不同的染色方法有420种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多选题 7.(5分)有4位同学报名参加3个不同的社团,则下列说法正确的是 (　　) A.每位同学限报其中1个社团,则不同的报名方法共有34种 B.每位同学限报其中1个社团,则不同的报名方法共有43种 C.每位同学限报其中1个社团,且每个社团限报1个人,则不同的报名方法共有24种 D.每位同学限报其中1个社团,且每个社团限报1个人,则不同的报名方法共有33种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选AC.每位同学限报其中1个社团,第1位同学有3种报名方法,第2位同学有3种报名方法,其余的2位同学也各有3种报名方法,根据分步乘法计数原理可知共有34种报名方法,故A正确,B错误;每位同学限报其中1个社团,且每个社团限报1个人,则第1个社团有4种选法,第2个社团有3种选法,第3个社团有2种选法,根据分步乘法计数原理可知共有4×3×2=24(种)报名方法,故C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,则下列说法正确的是 (　　) A.可组成360个不重复的四位数 B.可组成156个不重复的四位偶数 C.可组成96个能被3整除的不重复的四位数 D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一列,则第85个四位数为 2 310 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选BC.对于A,可组成=300(个)不重复的四位数,故A错误.对于B,四位偶数可分为两类:0在个位,则有=60(个);0不在个位,则有=96(个),所以共有60+96=156(个)不重复的四位偶数,故B正确.对于C,先把相加能被3整除的四个数列举出来,即(0,1,2,3),(0,1,3,5),(0,2,3,4),(0,3,4,5),(1,2,4,5),它们组成的四位数一定可以被3整除,则共有4·+=96(个)满足条件的四位数,故C正确.对于D,千位为1的四位数有=60(个),前两位为“20”的有=12(个),前两位为“21”的有=12(个),此时共有60+12+12=84(个)四位数,因而第85个四位数是前两位为“23”的最小数,即2 301,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 9.(5分)3 600有________个正约数.  【解析】3 600=24×32×52,假设a∈N*为3 600的一个正约数,则a有几个因数2有5种情况,有几个因数3有3种情况,有几个因数5有3种情况,由分步乘法计数原理知,共有5×3×3=45(种)不同情况,即有45个正约数. 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 621 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】由题意,结合题表中的数据和图形,知“ ”表示的三位数为621; 共有5根算筹,要能被5整除,则个位数必须为0或5, ①当个位数为5时,不符合题意; ②当个位数为0时,则5根算筹全部放在十位和百位, 若百位有1根,十位有4根,则共有1×2=2(个)三位数; 若百位有2根,十位有3根,则共有2×2=4(个)三位数; 若百位有3根,十位有2根,则共有2×2=4(个)三位数; 若百位有4根,十位有1根,则共有2×1=2(个)三位数; 若百位有5根,十位有0根,则共有2个三位数. 所以共有2+4+4+2+2=14(个)三位数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【能力提升练】 11.(5分)如图所示,某景观湖内有四个人工小岛,为方便游客登岛观赏美景,现计划设计三座景观桥连通四个小岛,每座桥只能连通两个小岛,且每个小岛最多有两座桥连接,则设计方案的种数最多是 (　　) A.8 B.12 C.16 D.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选B.四个人工小岛分别记为A,B,C,D,对A分有一座桥相连和两座桥相连两种情况,用“—”表示桥. ①当A只有一座桥相连时,有A—B—C—D,A—B—D—C,A—C—B—D,A—C—D—B,A—D—B—C,A—D—C—B,共6种方法; ②当A有两座桥相连时,有C—A—B—D,D—A—B—C,D—A—C—B,B—A—C—D,B—A—D—C,C—A—D—B,共6种方法.故设计方案最多有6+6=12(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(5分)春节来临,甲、乙、丙、丁四名同学各写了一张贺卡,然后放在一个不透明箱子里均匀搅拌,然后各从里面抽取一张,其中甲、乙、丙均没有抽到自己的贺卡,这种抽取方式共有________种不同的方案.  【解析】将甲编号为1,乙编号为2,丙编号为3,丁编号为4,然后画出树状图分步安排,如图所示, 由图可知,共有11种不同的方案. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.(5分)某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有8人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.从中任选1人去献血,共有________种不同的选法;从四种血型的人中各选1人去献血,共有________种不同的选法.  【解析】从O型血的人中选1人有8种不同的选法;从A型血的人中选1人有7种不同的选法;从B型血的人中选1人有9种不同的选法;从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.所以任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,所以用分类加法计数原理,共有8+7+9+3=27(种)不同的选法.要从四种血型的人中各选1人,即从每种血型的人中各选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理,共有8×7×9×3=1 512(种)不同的选法. 　1 512 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【创新思维练】 14.(5分)一个国际象棋棋盘(由8×8个方格组成),其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定).“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成,如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成数块“L”形骨牌,则 (　　) A.至多能剪成19块“L”形骨牌 B.至多能剪成20块“L”形骨牌 C.至多能剪成21块“L”形骨牌 D.以上说法都不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选C.考虑2×3的6块方格,如图, 每一块这样的方格含有2块“L”形骨牌,8×8的棋盘一共可以剪成10块这样的方格和一个田字格,田字格可以剪1块“L”形骨牌,则一共剪成21块“L”形骨牌. 只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可,所以至多能剪成21块“L”形骨牌. 如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(5分)(2025·武汉模拟)中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系,如图,现用3种不同的颜色给五行涂色,要求相邻的两行不能同色,则不同的涂色方法有________种.  30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】设3种不同的颜色分别为a,b,c, 对于“火、土”两个位置有3×2=6(种)不同的涂色方法,不妨设“火、土”两个位置分别为a,b. (1)若“金”位涂色为a,则有: ①若“水”位涂色为b,则“木”位涂色为c,共1种涂色方法; ②若“水”位涂色为c,则“木”位涂色为b,共1种涂色方法; 共2种涂色方法. (2)若“金”位涂色为c,则有: ①若“水”位涂色为a,则“木”位涂色为b或c,共2种不同的涂色方法; ②若“水”位涂色为b,则“木”位涂色为c,共1种涂色方法;共3种涂色方法. 综上所述,共6×(2+3)=30(种)不同的涂色方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(5分)(2024·保定模拟)算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子,是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具,是中国古代的一项伟大、重要的发明.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如表所示: 数字 方式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 用算筹计数法表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,则“”表示的三位数为________;如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示能被5整除的三位数的个数为________.  $