第9章 第57节 列联表与独立性检验(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“列联表与独立性检验”核心考点，严格依据考试要求梳理统计意义理解和检验应用两大考查维度。通过主干梳理落实基础概念，结合2022年新高考Ⅰ卷真题分析考点权重，归纳列联表数据处理、χ²值计算、独立性检验步骤等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧提炼”，精选2023年全国甲卷改编题等典型实例，通过“列联表构建—χ²值精确计算—临界值比较推断”三步法突破考点，培养学生的数学思维和数据观念。特设易错辨析纠正“独立性检验无关即互不影响”等认知偏差，帮助学生熟练掌握答题规范，教师可借助系统的知识体系和分层训练设计高效复习方案。

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第57节　列联表与独立性检验 考试要求 考题分析 1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义. 2.通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T20 - 2023年 - - 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.分类变量X,Y的2×2列联表 记n=a+b+c+d,则随机变量χ2=,χ2读作卡方. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 返回 2.独立性检验 (1)定义:利用___的取值推断分类变量X和Y是否______的方法称为独立性检验. (2)独立性检验的基本步骤 ①首先提出零假设H0:分类变量X和Y独立; ②列出分类变量X和Y的抽样数据列联表; ③利用公式计算随机变量χ2的值; ④把计算得到的χ2的值与小概率值α相应的临界值表中的临界值xα比较. 当χ2≥xα时,就推断H0不成立,即认为X与Y不独立,此推断犯错误的概率不大于α; 当χ2<xα时,没有充分证据推断H0不成立,可以认为H0成立,即认为X与Y独立. 独立 χ2 返回 【知能自测】 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数. (　 　) (2)事件A和B的独立性检验无关,即两个事件互不影响. (　 　) (3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量. (　 　) (4)在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,则说明两个分类变量之间关系越强. (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 题号 2 1 √ × √ × 返回 2.(选择性必修第三册P134·练习3变式)为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算的结果认为H0成立的可能性不足1%,那么χ2的一个可能取值为 (　　) 附:χ2=, 其中n=a+b+c+d. A.7.879 B.6.635 C.5.024 D.3.841 【解析】选A.若H0成立的可能性不足1%,则χ2>6.635,由选项知A正确. α 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　列联表与独立性检验 【例1】(1)(2025·绵阳模拟)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如表: ①甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? ②依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 参考公式:χ2=, n=a+b+c+d. 项目 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 返回 附: 【解析】①甲机床生产的产品中一级品的频率为=0.75; 乙机床生产的产品中一级品的频率为=0.6. ②由题可知a=150,b=50,c=120,d=80,n=400, 所以χ2= ==≈10.256, 根据参考值可知10.256>6.635, 所以能认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 返回 (2)(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物(单位:只)试验,得到如下列联表: ①求s,t; ②记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值; ③根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效? 附:χ2=. 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 返回 【解析】①s=100+80=180,t=80+70=150. ②p==. ③零假设H0:药物A对预防疾病B无效. 根据题中列联表中的数据可求得 χ2==≈6.73>6.635,根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,可充分推断H0不成立, 所以在犯错误概率不超过0.01的情况下可认为药物A对预防疾病B有效. 返回 思维升华 　独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表. (2)根据公式χ2=计算χ2的值. (3)比较χ2与临界值xα的大小关系,作统计推断. 返回 对点训练 (2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).试验结果如下: 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8 26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6 35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8　 9.2　 11.4　12.4　13.2　15.5　16.5 18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8 23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 返回 (1)计算试验组的样本平均数; (2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成列联表: ②根据①中的列联表,依据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异? 附:χ2=,其中n=a+b+c+d.   <m ≥m 对照组     试验组     α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 返回 【解析】(1)试验组样本的平均数为 ×(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+ 23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)==19.8. (2)①依题意,可知这40只小白鼠体重的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数,由原数据可得第20位数据为23.2,第21位数据为23.6, 所以m==23.4, 故列联表为   <m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 返回 ②零假设为H0:小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量无差异. 由①可得χ2==6.4>3.841=x0.05, 依据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异,此推断犯错误的概率不超过0.05. 返回 考点二　独立性检验的综合应用 【例2】(2024·青岛模拟)某超市正在销售一种饮品,销售人员发现日销量与当日的气温有关,随着气温的升高,销售量也有明显的增加,如表是该商场连续五天的日销售情况: 其中i=1,2,3,…,温度变量xi对应的销售量为yi. 温度/℃ [19,20) [20,21) [21,22) [22,23) [23,24] 温度变量xi 1 2 3 4 5 销售量yi/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 返回   喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 返回 依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为对饮品的喜欢程度与性别有关联? 附:χ2=,n=a+b+c+d. (3)超市销售该饮品一个阶段后,统计了100天的日销售量,将100个样本数据分成[10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110)(单位:百份)五组,并绘制了如图所示的频率分布直方图. 根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量. α 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 返回 返回 (2)提出零假设H0:对饮品的喜欢程度与性别无关. χ2= =≈9.17>6.635=x0.01.所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为对饮品的喜欢程度与性别有关. (3)设100天的日均销售量为, 则=(20×0.005+40×0.01+60×0.015+80×0.012 5+100×0.007 5)×20=63, 所以这100天的日均销售量约为6 300份. 返回 思维升华 　独立性检验解题策略 (1)分清分类变量是什么; (2)计算χ2时注意运算顺序、运算技巧的应用; (3)注意与其他统计知识的交会运用. 返回 对点训练 (2024·武汉部分学校调研)某校为了解学生对紧急避险知识的掌握情况,从全校学生中随机选取200名学生进行紧急避险知识测试,其中男生110名,女生90名.所有学生的测试成绩(单位:分)都在区间[50,100]内,将成绩按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组后,可作出如图所示的频率分布直方图. (1)若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等,求图中m的值; (2)规定测试成绩不低于80分为优秀,已知共有45名男生成绩优秀,完成列联表,根据小概率值α=0.05的独立性检验,能否推断测试成绩是否优秀与性别有关联? 性别 测试成绩 合计 优秀 不优秀 男 45     女       合计       返回 参考公式与数据: χ2=. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 返回 【解析】(1)依题意知,频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为-m-0.04-0.025-0.01=0.025-m, 样本平均数的估计值为 10×[(0.025-m)×55+m×65+0.04×75+0.025×85+0.01×95]=74.5+100m. 显然样本数据落在区间[80,100]内的频率为0.25+0.1=0.35,落在[70,100]内的频率为0.4+0.35=0.75,因此样本中位数在区间[70,80)内,其估计值为70+=76.25,则74.5+100m=76.25,解得m=0.017 5. 返回 (2)成绩优秀的总人数为200×10×(0.025+0.01)=70, 则可得到完整的列联表如表: 零假设为H0:测试成绩是否优秀与性别无关联.根据表中数据可得χ2==≈3.752<3.841=,所以根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为测试成绩是否优秀与性别无关联. 性别 测试成绩 合计 优秀 不优秀 男 45 65 110 女 25 65 90 合计 70 130 200 返回 (1)建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型,并估计温度在[24,25)(xi=6)区间时的该饮品的日销售量. 附:=,=-. (2)为了了解消费群体中男、女对该饮品的喜欢程度,销售人员随机采访了220名消费者,将他们的意见进行统计,得到了2×2列联表为: 【解析】(1)=×(1+2+3+4+5)=3,=×(0.3+0.3+0.5+0.9+1)=0.6, xiyi-5 =1×0.3+2×0.3+3×0.5+4×0.9+5×1-5×3×0.6=2, -5=(1+4+9+16+25)-5×9=10, 所以==0.2,=0.6-0.2×3=0, 销售量关于温度变量的线性回归方程为=0.2x, 当x=6,y=1.2, 所以温度在[24,25)区间时的该饮品的日销售量估计为1.2万份. $