核心素养测评(第8章 第45节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　 (时间:45分钟　分值:80分) 五十一　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)若直线l的一个方向向量为(-1,),则直线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.直线l的一个方向向量为(-1,), 则直线l的斜率为-,所以直线l的倾斜角为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(5分)过点P(-1,)且倾斜角为30°的直线方程为(　　) A.x-3y+4=0 B.x-y+2=0 C.x-3y+2=0 D.x-y=0 【解析】选A.由直线的倾斜角为30°,可得直线的斜率为tan 30°=,可得直线方程为y-=(x+1),即x-3y+4=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(5分)若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,再沿y轴负方向平移2个单位长度,又回到了原来的位置,则l的斜率是(　　) A.- B. C.- D. 【解析】选C.由题意可知直线l的斜率存在且不为0, 设直线l的方程为y=kx+b(k≠0), 则平移后直线的方程为y=k(x-3)+b-2=(kx+b)+(-3k-2), 可得kx+b=(kx+b)+(-3k-2), -3k-2=0,即k=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(5分)已知直线y=xcos θ-8(θ∈R)的斜率为k,则直线(k+2)x+(k-4)y-5=0一定不经过第_________象限.(　　)  A.一 B.二 C.三 D.四 【解析】选B.因为-1≤cos θ≤1,所以直线 y=xcos θ-8的斜率k的取值范围为[-1,1], 所以1≤k+2≤3,-5≤k-4≤-3, 所以->0,<0,所以直线(k+2)x+(k-4)y-5=0一定不经过第二象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(5分)设点A(2,-3),B(-3,-2),若直线l(l不垂直于x轴)过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A.(-∞,-4]∪[,+∞) B. (-∞,-]∪[,+∞) C. [-4,] D. [-,4] 【解析】选A.如图所示,由题意得,kPA==-4,kPB==, 若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则k的取值范围是 (-∞,-4]∪[,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(5分)(2024·遵义模拟)若直线l:(a-2)x+ay+2a-3=0经过第四象限,则a的取值范围 为(　　) A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪[2,+∞) C.(-∞,0)∪(,+∞) D.(-∞,0)∪[,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选C.若a=0,则l的方程为x=-,不经过第四象限; 若a=2,则l的方程为y=-,经过第四象限; 若a≠0且a≠2,将l的方程转化为y=-x-. 因为l经过第四象限,所以-<0或解得a<0或<a<2或a>2. 综上所述,a的取值范围为(-∞,0)∪(,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多选题 7.(5分)下列说法错误的是(　　) A.倾斜角为的直线只有1条 B.任意直线的一般式方程ax+by+c=0都可以化为斜截式 C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为= D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选ABC.对于A,倾斜角为的直线有无数条,故A错误; 对于B,形如2x+1=0的直线不能化为斜截式,故B错误; 对于C,当x1≠x2,y1≠y2时,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为=,故C错误; 对于D,经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(5分)已知直线xsin α+ycos α+1=0(α∈R),则下列说法正确的是(　　) A.直线的倾斜角是π-α B.无论α如何变化,直线不过原点 C.直线的斜率一定存在 D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 【解析】选BD.直线倾斜角的取值范围为[0,π),而π-α∈R,故A错误; 当x=y=0时,xsin α+ycos α+1=1≠0,所以直线必不过原点,故B正确; 当α=时,直线的斜率不存在,故C错误; 当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积S=||·||=≥1,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 9.(5分)已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线 方程为_________________.  【解析】BC的中点坐标为(,-), 所以BC边上中线所在的直线方程为=,即x+13y+5=0. x+13y+5=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷改编)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD' 是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意 图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别 为=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜 率为0.725,则k3=________.  0.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】设OD1=DC1=CB1=BA1=1, 则DD1=0.5,CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3, 依题意,有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2, 且=0.725, 所以=0.725,解得k3=0.9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【能力提升练】 11.(5分)(2024·金昌模拟)已知直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,直线l2的倾斜角为2θ,且直线l2在y轴上的截距为3,则直线l2的一般式方程为(　　) A.x+y-3=0 B.4x-3y+9=0 C.3x-4y+3=0 D.2x+y-3=0 【解析】选B.因为直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,斜率为,所以tan θ=. 因为直线l2的倾斜角为2θ,所以直线l2的斜率为tan 2θ==. 又直线l2在y轴上的截距为3,所以直线l2的方程为y=x+3,即4x-3y+9=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(5分)(2024·南阳模拟)若直线a,b,c的斜率分别为2,1,-2,倾斜角分别为α,β,γ, 则(　　) A.α>β>γ B.γ>α>β C.γ>β>α D.α>γ>β 【解析】选B.由于k=tan x,x∈[0,π),x≠, 由正切函数图象的性质可知,当x∈(0,)时,k=tan x为增函数,且k>0, 由2>1,可知>α>β>0. 当x∈(,π)时,k=tan x为增函数,且k<0, 因为-2<0,所以π>γ>,所以γ>α>β. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(5分)(2025·宝山模拟)若点P(3,1)既是A(a1,b1),B(a2,b2)的中点,又是直线l1: a1x+b1y-10=0与l2:a2x+b2y-10=0的交点,则线段AB的垂直平分线的方程是___________.  【解析】直线l1:a1x+b1y-10=0与直线l2:a2x+b2y-10=0的方程相减可得, (a1-a2)x+(b1-b2)y=0, 把点P(3,1)代入可得3(a1-a2)+(b1-b2)=0, 所以kAB==-3, 所以线段AB的垂直平分线的方程是y-1=(x-3),即x-3y=0. x-3y=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(5分)莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理: 三角形的重心、垂心和外心共线.后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线.已知 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,0),B(3,0),C(0,2),则△ABC的垂心坐标为 ________,△ABC的欧拉线方程为_______________.  (0,) 5x+4y-6=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】由A(-1,0),B(3,0),C(0,2),可知AB边上的高所在直线为x=0. 又kBC==-,所以BC边上的高所在直线的斜率为, 所以BC边上的高所在直线为y-0=(x+1),即3x-2y+3=0, 所以⇒所以△ABC的垂心坐标为(0,). 由重心坐标公式可得△ABC的重心坐标为(,)= (,), 所以△ABC的欧拉线方程为=,化简得5x+4y-6=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【创新思维练】 15.(5分)如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别 交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,直线AB的方程为 __________________________.  (3+)x-2y-3-=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】由题意可得kOA=tan 45°=1, kOB=tan(180°-30°)=-, 所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x. 设A(m,m),B(-n,n), 所以AB的中点C(,), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得 解得m=, 所以A(,).又P(1,0), 所以kAB=kAP==, 所以直线lAB:y=(x-1),即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(5分)已知不全为零的实数a,b,c成等差数列,过点A(1,2)作直线l:ax+by+c=0的垂线 与直线l交于点P,点Q在直线3x-4y+12=0上,则|PQ|的最小值为________.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】因为不全为零的实数a,b,c成等差数列, 所以b=,代入动直线l:ax+by+c=0, 得ax+y+c=0, 即a(2x+y)+c(y+2)=0. 因为a,c不全为零,令 解得x=1,y=-2, 所以动直线l过定点N(1,-2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P(x,y), 由题意知点P与点N不重合,所以AP⊥NP, 所以·=(x-1,y-2)·(x-1,y+2)=0, 整理,得x2+y2-2x-3=0, 即(x-1)2+y2=4, 所以点P在以(1,0)为圆心,2为半径的圆上. 点Q在直线3x-4y+12=0上,圆心(1,0)到直线3x-4y+12=0的距离d==3>2, 所以|PQ|的最小值等于圆心(1,0)到直线3x-4y+12=0的距离d减去圆的半径, 所以|PQ|的最小值为3-2=1. $