第2章 第12节 对数与对数函数(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第12节　对数与对数函数 考试要求 考题分析 1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0,a≠1)互为反函数. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 T10 - 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作_________, 其中___叫做对数的底数,___叫做真数.  以10为底的对数叫做常用对数,记作_____.  以e为底的对数叫做自然对数,记作_____.  x=loga N a N lg N ln N 返回 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质:loga 1=___,loga a=___,=___(a>0,且a≠1,N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga (MN)=_____________;  ②loga =_____________;  ③loga Mn=________(n∈R).  (3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). 0 1 N loga M+loga N loga M-loga N nloga M 返回 [注意点](1)换底公式的变形: ①loga b·logb a=1,即loga b=(a,b均大于0且不等于1). ②lobn=loga b(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R). ③logN M==(a,b,N均大于0且不等于1,M>0). (2)换底公式的推广:loga b·logb c·logc d=loga d(a,b,c均大于0且不等于1,d>0). 返回 3.对数函数的图象与性质 y=loga x a>1 0<a<1 图象 定义域 _______ 值域 R 性质 过定点_____,即当x=1时,y=0 当x>1时,_____; 当0<x<1时,_____ 当x>1时,_____; 当0<x<1时,_____ 在(0,+∞)上是________ 在(0,+∞)上是________ (0,+∞) (1,0) y>0 y<0 y<0 y>0 增函数 减函数 返回 4.反函数 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=loga x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的 图象关于直线_____对称. y=x 返回 【常用结论】 1.对数函数y=loga x(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1), (,-1). 2.如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1,4 3 返回 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)log2 x2=2log2 x.(　 　) (2)若MN>0,则log a(MN)=loga M+loga N.(　 　) (3)函数y=ln与y=ln (1+x)-ln (1-x)的定义域相同.(　 　) (4)当x>1时,若loga x>logb x,则a<b.(　 　) × × √ × 返回 【解析】 (1) log2 x2=2log2 |x| × (2) 当M<0,N<0时,虽然MN>0, 但loga (MN)=loga M+loga N不成立 × (4) 若0<b<1<a,则当x>1时,loga x>logb x × 返回 2.(一题多法)(必修第一册P141T13(1)变式)设a=log0.2 6,b=log0.3 6,c=log0.4 6, 则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 【解析】选A.法一:如图,作出函数y1=log0.2 x,y2=log0.3 x,y3=log0.4 x的图象, 由图可知,当x=6时,log0.2 6>log0.3 6>log0.4 6,即a>b>c. 法二:易知0>log6 0.4>log6 0.3>log6 0.2, 所以<<, 即log0.4 6<log0.3 6<log0.2 6,即a>b>c. 返回 3.函数y=loga (x-2)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.  【解析】因为loga 1=0,令x-2=1,则x=3, 又y=loga 1+2=2,所以原函数的图象恒过定点(3,2). 答案:(3,2) 返回 4.若loga <1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是______________________.  【解析】当0<a<1时,loga <loga a=1,所以0<a<;当a>1时,loga <loga a=1, 所以a>1. 综上所述,实数a的取值范围是(0,)∪(1,+∞). 答案: (0,)∪(1,+∞) 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　对数的运算 【例1】(1)(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=___________.  【解析】因为f(ln 2)f(ln 4)=aln 2·aln 4=aln 2+ln 4=aln 8=8=eln 8,所以a=e. 答案:e 返回 (2)计算:=________.  【解析】原式= = ====1. 答案:1 返回 (3)(2024·全国甲卷)已知a>1,-=-,则a=________.  【解析】因为-=-log2a=-, 所以(log2a+1)(log2a-6)=0,而a>1, 故log2a=6,即a=64. 答案:64 返回 【思维升华】 对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算. 返回 【对点训练】 1.已知a=lg 2,10b=3,则log 56=(　　)　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【解析】选B.因为a=lg 2,10b=3,所以b=lg 3,log56===. 返回 2.已知2a=7b=k,若+=1,则k的值为(　　) A.28 B. C.14 D. 【解析】选A.因为2a=7b=k,所以a=log2 k,b=log7 k,所以=logk 2,=logk 7, 所以+=2logk 2+logk 7=logk 28=1,所以k=28. 返回 3.已知loga b+4logb a=4,则的值为________.  【解析】因为loga b+4logb a=4,所以loga b+=4,可得-4loga b+4=0,即=0,所以loga b=2,即a2=b,所以==. 答案: 返回 考点二　对数函数的图象及应用 【例2】(1)(2025·济南模拟)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga |x+k|的大致图象是(　　) 返回 【解析】选B.因为函数f(x)=(k-1)ax-(a>0,且a≠1)在R上是奇函数,所以f(0)=0,所以k=2,经检验:k=2满足题意. 又因为f(x)为减函数,所以0<a<1,则g(x)=loga |x+2|(0<a<1). 所以g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,其大致图象为B. 返回 (2)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 024x+log2 024 x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为(　　) A.1 B.3 C.2 D.2 024 返回 【解析】选B.当x>0时,令f(x)=0,即2 024x=-log2 024 x,在同一坐标系中作出函数y1=2 024x,y2=-log2 024 x的示意图,如图, 函数y1=2 024x为增函数,y2=-log2 024 x为减函数,可知两个函数图象有且只有一个交点P,横坐标记为x0,即当x>0时方程f(x)=0有且只有一个实根x0. 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x<0时,方程f(x)=0也有一个实根-x0. 又因为f(x)是R上的奇函数,f(0)=0,所以0也是方程f(x)=0的根. 综上所述,方程f(x)=0有3个实根. 返回 (3)金榜原创·易错对对碰 ①当x∈(0,]时,<loga x,则实数a的取值范围为________.  ②当x∈(0,]时,方程=loga x有解,则实数a的取值范围为________.  返回 【解析】①若<loga x在x∈(0,]上成立,则0<a<1,且y=的图象在y=loga x图象的下方,则<loga ,所以解得<a<1.即实数a的取值范围是(,1). 答案: (,1) 返回 ②构造函数f(x)=和g(x)=loga x, 当a>1时,不满足条件; 当0<a<1时,由①可知,只需两图象在(0,]上有交点即可.则f()≥g(),即≥loga ,得a≤,所以实数a的取值范围为(0,]. 答案: (0,] 返回 【思维升华】 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 返回 【对点训练】 1.若函数y=a|x|(a>0且a≠1)的值域为[1,+∞),则函数y=loga |x|的大致图象是(　　) 【解析】选A.因为|x|≥0,且y=的值域为[1,+∞),所以a>1.当x>0时,y=loga |x|=loga x在(0,+∞)上单调递增.又函数y=loga |x|=loga |-x|,所以y=loga |x|为偶函数,图象关于y轴对称,所以y=loga |x|的大致图象应为选项A. 返回 2.(2024·榆林模拟)已知函数f(x)=log2 x-(x-1)2,则不等式f(x)<0的解集为(　　) A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(0,1)∪(2,+∞) C.(1,2) D.(1,+∞) 【解析】选B.由题意知不等式f(x)<0,即log2 x-(x-1)2<0,等价于log2 x<(x-1)2在(0,+∞)上的解集,令g(x)=log2 x,h(x)=(x-1)2,则不等式为g(x)<h(x),在同一直角坐标系下作出两个函数的图象,如图所示, 可得不等式f(x)<0的解集为(0,1)∪(2,+∞). 返回 考点三　对数函数的性质及应用 角度1　比较大小 【例3】(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的 是(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 【解析】选C.a=log52<log5==log82<log8 3=b,即a<c<b. 返回 (2)(2024·武汉质检)已知a=3log8 3,b=-lo16,c=log4 3,则a,b,c的大小关系 为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c 【解析】选A.a=3log8 3=3×=log2 3>1,b=-lo16=-×=-× =log3 4>1,0<c=log 43<1,log 23-log34=-=,lg 2>0,lg 4>0,lg 2≠lg 4, 所以lg 2lg 4<()2=(lg )2<(lg 3)2,故log2 3-log3 4>0,所以a>b,所以a>b>c. 返回 【思维升华】 比较对数大小的类型及相应方法 返回 角度2　解对数不等式 【例4】(1)已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(1)=2,则不等式f(log2 x)>2的解集为(　　) A.(2,+∞) B. (0,)∪(2,+∞) C. (0,)∪(,+∞) D.(,+∞) 【解析】选B.因为偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又f(1)=2,所以不等式f(log2 x)>2=f(1), 即|log2 x|>1,解得0<x<或x>2. 返回 (2)(2024·湖州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)单调递减, 则不等式f(lo(2x-5))>f(log3 8)的解集为________.  【解析】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,所以可将 f(lo(2x-5))>f(log3 8)化为|lo(2x-5)|>|log38|,即log3 (2x-5)>log3 8或log3 (2x-5)< -log3 8=log3 ,即2x-5>8或0<2x-5<,解得x>或<x<. 答案: (,)∪(,+∞) 返回 【思维升华】 求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 loga x>loga b 借助y=loga x的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a>1与0<a<1两种情况讨论 loga x>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=loga x的单调性求解 返回 角度3　对数函数性质的综合应用 【例5】(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)= 在R 上单调递增,则a的取值范围是(　　) A. (-∞,0] B.[-1,0] C. [-1,1] D. [0,+∞) 【解析】选B.由题意知f(x)在R上单调递增,令h(x)=-x2-2ax-a,则h(x)的对称轴必大于等于0,即-a≥0⇒a≤0,排除C,D选项;又因为当x=0时,f(x)=1,所以当x=0时,h(x)≤1⇒-a≤1,即a≥-1, 所以-1≤a≤0. 返回 【思维升华】 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 返回 【对点训练】 1.(2021·天津卷)设a=log20.3,b=0.4,c=0.40.3,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b 【解析】选D.因为log20.3<log21=0,所以a<0, 因为lo0.4>lo0.5=1,所以b>1, 因为0<0.40.3<0.40=1,所以0<c<1, 所以a<c<b. 返回 2.设函数f(x)=ln |x+3|+ln |x-3|,则f(x)(　　) A.是偶函数,且在(-∞,-3)上单调递减 B.是奇函数,且在(-3,3)上单调递减 C.是奇函数,且在(3,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(-3,3)上单调递增 返回 【解析】选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}, f(x)=ln |x+3|+ln |x-3|=ln |x2-9|, 令g(x)=|x2-9|,则f(x)=ln g(x), 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知, 当x∈(-∞,-3),x∈(0,3)时,g(x)单调递减, 当x∈(-3,0),x∈(3,+∞)时,g(x)单调递增, 由复合函数单调性同增异减得f(x)单调区间. 由f(-x)=ln |(-x)2-9|=ln |x2-9|=f(x),得f(x)为偶函数. 返回 3.(多选题)已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),则(　　) A.f(x)的定义域是(-6,4) B.f(x)有最大值 C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞) D.f(x)在[0,4]上单调递增 返回 【解析】选AB.由题意可得解得-6<x<4,即f(x)的定义域是(-6,4),则A正确;f(x)=log2(-x2-2x+24),令t=-x2-2x+24,易得t在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,又因为y=log2 t在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,且f(-4)=f(2)=4,所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;因为f(x)在(-1,4)上单调递减,所以D错误. 返回 $