专题提升2带电粒子在复合场中的运动 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理同步知识与题型训练（人教版选择性必修第二册）

专题提升2带电粒子在复合场中的运动 知识点1 带电粒子在组合场中的运动 1.组合场的三种常见情况 （1）磁场与磁场的组合，即强弱或方向不同的磁场分别位于不重叠的区域内； （2）电场与磁场分别位于不重叠的区域内； （3）电场、磁场在同一区域交替出现。 2.带电粒子在分离的电场、磁场中的常见运动及求法 知识点2 磁场与磁场的组合 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，解题关键： （1）带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，轨迹半径和运动周期一般不同。 （2）充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边、角等几何关系。 知识点3 先电场后磁场 （1）带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 （2）带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 知识点4 先磁场后电场 常见 情境 进入电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度（非直角） 运动示 意图 在电场 中的运 动性质 加速或减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析 方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 知识点4 带电粒子在交变场中的运动 1.交变场的常见类型 （1）电场周期性变化、磁场不变。 （2）磁场周期性变化、电场不变。 （3）电场、磁场均周期性变化。 2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 知识点5 带电粒子在叠加场中的运动 1.叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零： qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 知识点1 复合场中的摆线问题 1.摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 2.配速法 (1)定义：若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动分析比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 (2)配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 知识点2 带电粒子的旋进运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况： (1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 (2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 2.要求离子不能穿过x>d的范围，2r， 题型1粒子从电场进入磁场 1. 如图所示，在x轴的上方有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，在x轴的下方等腰三角形CDM区域内有垂直于xOy平面由内向外的匀强磁场，磁感应强度为B，其中C、D在x轴上，它们到原点O的距离均为a，θ＝45°.现将一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的P点由静止释放，设P点到O点的距离为h，不计重力作用与空气阻力的影响．下列说法正确的是（　　） A．若h＝，则粒子垂直CM射出磁场 B．若h＝，则粒子平行于x轴射出磁场 C．若h＝，则粒子垂直CM射出磁场 D．若h＝，则粒子平行于x轴射出磁场 2. 质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具。图中的铅盒A中的放射源放出大量的带正电粒子（可认为初速度为零），从狭缝S1进入电压为U的加速电场区加速后，再通过狭缝S2从小孔G垂直于MN射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN为切线、磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外、半径为R的圆形匀强磁场。现在MN上的点F（图中未画出）接收到该粒子，且GF＝R，则该粒子的比荷为（粒子的重力忽略不计）（　　） A． B． C． D． 3. 如图所示，在区域可施加竖直向上的匀强电场，在右侧有垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，挡板右侧是粒子接收器。从点沿向右射出质量为、电荷量为的带电粒子，粒子射入的初速度为，、、的长度满足，不计粒子的重力。已知当区域不加电场时，粒子刚好到达点。 (1)求的长度； (2)若匀强电场的电场强度大小，求粒子打到粒子接收器的位置； (3)求（2）中从点至打到粒子接收器的运动时间。 4. 如图所示的xOy平面内，的区域内有竖直向上的匀强电场；在区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为（未知）；处于第四象限的匀强磁场，磁感应强度为（未知），大小关系为，磁场方向均垂直于纸面向外。一质量为m、带电荷量为的粒子，在时刻，从P点（P点的坐标，）以速度沿x轴正向水平射出，恰好从坐标原点进入第一象限，最终垂直磁场右边界射出磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子进入磁场时的速度大小； (2)粒子在磁场中运动的最短时间； (3)磁感应强度的可能取值。 5. 某粒子自静止开始经M、N板间的电场加速后从A点垂直于板射入宽度为的平行板中，板间有匀强磁场，当板间电压为U时，粒子恰好从右板下端P偏离入射方向的距离为L处飞出，如图所示。（已知该粒子的质量为m，电量为q） (1)求粒子离开加速电场时的速度v； (2)该匀强磁场的磁感应强度。 (3)要使粒子能从两板间飞出，求MN间所加电压U范围。 题型2从磁场进入电场 6. 利用电、磁场来控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图所示，水平线AB与竖直线CD交于O点，将空间分成四个区域。在竖直线CD的左边存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，在竖直线CD的右边存在沿水平向左的匀强电场。某时刻一个带正电粒子从水平线AB上的a点以初速度v0水平向左射出，带电粒子第一次到达竖直线CD上时，速度方向与竖直向上方向成角，之后带电粒子在电场中运动，并垂直通过水平线AB上的b点。已知O、a两点之间的距离为L，带电粒子所受重力忽略不计。（计算结果可带根号）求： (1)带电粒子的电荷量和质量的比值； (2)竖直线CD的右边匀强电场的电场强度大小； (3)带电粒子从a点出发到第一次回到a点的时间。 7. 如图所示，在平面直角坐标系平面内，竖直分界线AA'左侧分布着方向垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，AA'右侧有一极板长为L的平行板电容器，下极板与x轴重合，两极板间的距离为d。坐标原点O处有一粒子源可以沿+y方向向磁场区域发射速度大小为v0的带正电粒子，经过磁场的偏转，恰好经过平行板电容器左侧中点P水平射入电容器，之后又恰好落在平行板电容器的下极板右侧边缘，忽略粒子间的相互作用、粒子重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子从O开始运动到离开电容器下极板右侧边缘所用的时间t。 8. 光滑绝缘水平面上方分布着磁场和电场，以二者分界线为y轴建立xOy平面直角坐标系，在区域内存在垂直xOy平面向上的匀强磁场，区域内分布着与x轴正方向成角的匀强电场，如图所示。质量为m、电荷量为的金属小球A位于坐标原点，另一质量为、不带电的金属小球B静置于y轴上的C点，。让小球A以大小为v、方向与y轴正方向成角的速度射入磁场，适当调整电场强度和磁感应强度的大小，可以实现A、B发生正碰碰撞时间极短后均能回到O点。碰撞后，小球所带电荷量不考虑小球所带电荷之间的相互作用及其对原电场的影响，忽略边界效应。求： (1)磁感应强度的大小； (2)电场强度的大小； (3)适当调整电场强度，可以实现上述现象，且小球A在该过程的运动轨迹具备轴对称性。调整后电场强度的方向以及小球A第一次在电场中运动的轨迹方程。 9. 如图，在xoy坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内有沿x轴负向的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入磁场，恰好垂直于y轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)第一象限匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)粒子从P点射入到第三次到达y轴的时间t； (3)若当某次粒子在第二象限中速度减为零时，在第二象限区域再加上一垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度。则粒子之后在第二象限运动时离y轴的最近距离为多少。 10. 如图所示，在xOy坐标系中，有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度为B，电场和磁场的分界线为MN，MN穿过坐标原点和二、四象限，与y轴的夹角为。一个质量为m、带电量为q的带正电粒子，在坐标原点以大小为、方向与x轴正方向成的初速度射入磁场，粒子经磁场偏转进入电场后，恰好能到达x轴。不计粒子的重力，求： (1)粒子在磁场中的轨迹半径； (2)匀强电场的电场强度大小； (3)粒子从O点射出后到第三次经过边界MN时，粒子运动的时间。 题型3粒子在电场和磁场中往复运动 11. 如图所示，平面直角坐标系中，y轴左侧区域存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度大小为，第一象限和第四象限内分别充满垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ和Ⅲ。质量为m、电荷量为的带电粒子从x轴上的P点以速度射入场区，方向与x轴正方向成60°角，此后粒子第1次经过x轴时恰好从O点进入y轴右侧区域，此时速度方向与x轴正方向间的夹角为30°，粒子恰好没有再次进入电场区域，不计粒子重力。求 (1)电场强度大小E和O、P间的距离； (2)磁场Ⅱ和磁场Ⅲ的磁感应强度大小之比； (3)若磁场Ⅱ的磁感应强度大小为，粒子第6次经过x轴时位置的横坐标。 12. 如图所示的平行板电容器中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，电场强度大小为E（未知），为板间中线。坐标系的y轴紧靠平行板右侧边缘，边界线在第一象限内，与y轴的夹角，边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，边界线的下方有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。一带电荷量为q、质量为m的正离子从P点以大小为的初速度射入平行板间，沿中线做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为的Q点垂直y轴射入磁场区，多次穿越边界线。不计离子重力，求： (1)电场强度E的大小； (2)离子从经过Q点到第二次穿越边界线所用的时间； (3)离子第四次穿越边界线时的速度大小。 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内虚线与轴正方向的夹角为与轴之间存在垂直纸面向里的匀强磁场（边界存在磁场），第二象限存在沿轴正方向的匀强电场。第三象限内两个平行金属板之间的电压为，一质量为，电荷量为带负电的粒子（不计粒子重力）从靠近板的点由静止开始做加速运动，从轴负半轴的点进入电场，速度与轴正方向的夹角为，经电场偏转后从点垂直轴进入磁场，粒子恰好不从边界射出磁场。求： (1)第二象限匀强电场电场强度的大小； (2)点坐标和磁感应强度的大小； (3)粒子从点进入电场到再次回到轴的时间。 14. 如图所示，在空间中建立一直角坐标系xOy，在y>d的空间区域Ⅰ存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在0≤y≤d的空间区域Ⅱ中，存在方向沿y轴正方向的非匀强电场，场强E的大小随位置坐标y均匀增大，即E=by，b>0，b为已知常量；在-d≤y≤0的空间区域Ⅲ中电场的分布与区域Ⅱ的分布对称，只是场强的方向都沿y轴负方向，在y<-d的空间区域Ⅳ存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场。三个相同的带电粒子从坐标（0，d）的位置出发，其中a粒子初速度va沿y轴正向，b粒子初速度vb沿与y轴正向夹角方向，粒子c的初速度vc=0。已知三个粒子的电荷量均为-q、质量均为m， ，，粒子c在两电场区域运动的周期为T0，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，三个粒子均在纸面内运动。求： (1)粒子b首次运动到区域Ⅰ磁场边界时离坐标（0，d）的距离L； (2)粒子a第一次到达x轴与粒子c第一次到达x轴的速度之比； (3)粒子a在空间中运动的周期Ta； (4)粒子b从区域Ⅱ经过区域Ⅰ边界时的横坐标x。 15. 如图所示，两条平行直线相距为d，其间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在两侧分布着垂直两平行直线的匀强电场，电场强度大小相等、方向相反。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从直线上方，距离为的A点静止释放，经电场加速后以速度v进入磁场，经磁场偏转后进入下方的电场。粒子始终在电场或磁场中运动，且运动轨迹在同一平面内，不计粒子重力。求： (1)电场强度E的大小和磁感应强度B的大小； (2)粒子从静止释放到速度再次为零的过程中，粒子运动的时间t和位移x的大小。 题型4粒子在交变场中的运动 16. 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正。有一正离子在时垂直于M板从小孔O射入磁场，又从小孔O′射出磁场。已知正离子质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。以下磁感应强度B0大小、离子射入磁场的速度v0，可能正确的有（　　） A． B． C． D． 17. 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m、带电荷量为q，离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。若要使离子从垂直于N板射出磁场，则离子射入磁场时的速度可能为（　　） A． B． C． D． 18. 如图（a）所示，在yOz平面右侧的区域内存在周期性变化的匀强电场和匀强磁场，变化情况如图（b）、图（c）所示。电场的方向及磁场方向均以y轴正方向为正时刻，一质量为m、电荷量为的带电粒子从坐标原点O开始以速度沿x轴正方向运动。粒子重力忽略不计，图b）、图（c）中，，已知。（）求： (1)在时刻粒子的速度方向与x轴正方向的夹角； (2)在时刻粒子的位置坐标； (3)时间内电场力对粒子做的功。 19. 如图（a）所示，在空间有一圆形区域磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向外，圆与轴相切于原点，平行于轴且与圆相切于点的电场边界MN下方有沿轴正方向的匀强电场，在空间有垂直纸面的随时间周期性变化的磁场随时间变化如图（b）所示，其中已知，垂直纸面向外为正方向。足够长的挡板PQ垂直于轴放置，挡板可沿轴左右平移。质量为，电荷量为 ）的粒子从电场中的点以速度沿轴正方向进入匀强电场，并从点进入圆形区域磁场，接着从原点进入第一象限（此时）。已知两点沿轴方向的距离为，沿轴方向的距离为，不计粒子重力，不考虑磁场变化产生的感应电场。求： (1)匀强电场的电场强度； (2)粒子在圆形区域磁场内的运动时间； (3)若粒子恰好能垂直击中挡板，则挡板距离轴的距离应满足的关系。 20. 如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 题型5叠加场——直线运动 21. 质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A点，下列说法中正确的是（　　） A．该微粒可能带正电荷 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的电场强度为 22. 如图所示，空间存在互相平行、足够长的水平边界L1、L2，边界间距为d，边界间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场和平行于边界向左的匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B1，电场的电场强度大小为E；边界L2以下区域分布着垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B2（未知）的匀强磁场。在边界L2上的P点平行于纸面以某一速度垂直于边界射入一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，粒子恰好沿直线运动到边界L2。不计粒子的重力。 (1)求粒子在P点射入时的速度v0的大小； (2)若粒子再次返回边界L2时，撤去L1、L2之间的磁场，粒子恰好返回入射点P，试求B2。 23. 如图所示，两块水平放置、相距为2d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口水平对准两板中间位置，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动，进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点，重力加速度大小为g。 (1)求墨滴所带电荷的种类及其电荷量q； (2)请对墨滴刚进入电场、磁场共存区域时进行受力分析，并求出匀强磁场的磁感应强度大小B； (3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到距离下极板的位置，为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B'，求B'的大小。 24. 如图所示，坐标平面内有一匀强磁场，在y轴的右侧是有界磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度方向与y轴正向夹角为，交点为P。不计粒子重力，求： (1)P点至O点的距离； (2)粒子在第一象限运动的时间； (3)若粒子进入第二象限后除存在如图所示的匀强磁场B外，还存在一匀强电场（未画出），此时粒子恰好做匀速直线运动，求该匀强电场的大小和方向。 25. 如图所示，竖直面内的平面直角坐标系xOy的x轴水平，y轴竖直，第一、二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度E=10N/C。第二象限内还有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=1.0T。在x轴上的P点以初速度（未知）沿纸面射入第二象限一个带电小球，小球在第二象限内做匀速直线运动，已知与x轴正方向的夹角θ=45°，P点坐标（-15m，0），小球带电量的绝对值q=0.2C，取重力加速度。求： (1)小球电性； (2)小球的质量； (3)小球再次运动到x轴的位置坐标。 题型6叠加场——匀速圆周运动 26. 如图所示，水平虚线为分界线，分界线上方有方向水平向左的匀强电场，分界线下方有方向垂直纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场。现将一质量为电荷量为的带正电小球从分界线上的点以初速度竖直向上抛出，小球在分界线上方的运动轨迹已画出，点为轨迹的最高点，小球从分界线上的点第一次进入分界线下方区域，且小球恰好在分界线下方区域做匀速圆周运动，经磁场偏转一次后又恰好回到点。已知小球到达点时的速度大小为，重力加速度大小为和的大小均未知，不计空气阻力。 (1)求两点的高度差； (2)求和的大小。 27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，y轴左侧存在沿x轴正方向的匀强电场，y轴右侧存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，两侧电场的电场强度大小相同，电场、磁场的范围均足够大。一质量为m、电量为q（>0）的带电粒子以一定的初速度v0（未知）沿y轴正方向从坐标点（-d，0）射入第二象限，在此后的运动过程中，粒子由（0，3d）第一次穿过y轴，并在右侧区域做匀速圆周运动，第二次恰好在原点O穿过y轴。已知重力加速度为g，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子第一次穿过y轴的速度； (3)匀强磁场的磁感应强度大小； (4)粒子第四次经过y轴的坐标。 28. 两个小球发生碰撞，如果两球的初速度不在同一直线上，叫做斜碰或者二维碰撞，如果没有外力或者忽略外力作用，则斜碰也符合动量守恒定律，只是计算总动量的时候，用矢量求和（符合平行四边形定则）。如图，真空中的竖直平面内建立xOy坐标系，x轴沿水平方向，y轴竖直向上。第一象限内有指向-x方向的匀强电场，第二象限内有竖直向上的匀强电场，以及垂直于纸面向内的匀强磁场，第一和第二象限内的电场强度大小相同。第二象限有一个油滴a，初位置在P点，坐标是（－L，L），其质量为3m，带电量为+3q，某时刻朝着x轴正方向以某一初速度开始做匀速圆周运动，x轴上的Q点（2L，0）有另一个油滴b，质量为2m，带电量为+2q，另一时刻朝着y轴正方向开始运动，初速度大小是a初速度大小的2倍，经过一段时间后，两个油滴第一次到达y轴上的M（0，2L）点发生碰撞并且迅速粘合成为一个油滴c，粘合过程中，油滴的质量和电荷量没有损失。已知重力加速度为g，不考虑两个油滴碰撞前的相互作用力， (1)求第一和第二象限的电场强度大小，以及a油滴出发的初速度v0大小 (2)求第二象限磁场的磁感强度大小，以及两个油滴出发的时间间隔 (3)求油滴c从M点出发后，第一次回到y轴的N点（图中未画出）坐标 29. 光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧为由有界匀强电场和有界匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，复合场水平距离未知。电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为。如图所示，现给小球一个向右的初速度，使之离开桌面边缘立刻进入复合场运动，已知小球从下边界的中点射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为37°，，，下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为或 B．小球在复合场中运动的位移可能是4h C．小球在复合场中运动的加速度可能是 D．若小球一定不从复合场的下边界射出，则初速度应大于或小于 30. 如图，xOy竖直坐标平面分布着范围足够大的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直向外，电场方向竖直向上。一带正电小球质量为m、电量为q，以初速度与y轴正方向成30°角从A点进入复合场做匀速圆周运动，经过B点垂直x轴进入第四象限，重力加速度为g。求： (1)匀强电场的大小； (2)OB距离； (3)进入第四象限后电场强度大小突变为原来的2倍，求小球在x轴下方运动时距x轴的最远距离。 题型7叠加场——摆线运动 31. 如图是霍尔推进器某局部区域的等效原理图，在Oxy平面内存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带电微粒，从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，带电微粒沿x轴做匀速直线运动；入射速度小于v0时，带电微粒的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。重力加速度为g，不计带电微粒间相互作用。求： (1)带电微粒的电性及磁感应强度的大小B； (2)若带电微粒入射速度为，则运动到纵坐标时，带电微粒的速度大小v1； (3)若带电微粒入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，则能到达纵坐标位置的微粒数N占总微粒数N0的百分比。 32. 如图所示，磁控管内局部区域分布有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。一电子从M点由静止释放，沿图中轨迹依次经过N、P两点，且N点离水平虚线最远。已知磁感应强度为B，电场强度为E，电子质量为m、电荷量为e，电子重力不计，则（　　） A．电子在N点的速率为 B．N点离虚线的距离为 C．电子从M到N点的时间为 D．M、P两点的距离为 33. 如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为。一束质量均为、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（　　） A．两板间电场强度的大小为 B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中所用时间为 C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 D．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 34. 如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线。关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（　　） A．OAB轨迹为半圆 B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向 C．小球在整个运动过程中机械能先变大再变小 D．小球在A点时受到的洛伦兹力与重力大小相等 35. 某控制带电粒子运动的装置模型如图所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场。电场强度大小为E（未知），方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场的下边界的P点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场E的大小为 B．粒子从O点运动到P点的时间为 C．把电场下移至磁场所在区域后，粒子在N点的动能最大 D．MN两点的竖直距离小于d 题型8旋进运动 36. 如图所示，在空间中存在沿着z轴正方向的匀强磁场或匀强电场，z轴经过O点垂直于坐标系xOy所在的平面，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。将一检测器Q垂直于z轴放置于该空间，检测器中心在z轴上，当粒子撞击检测器Q时，检测器被撞击的位置会发光。在检测器所在平面上建立另一坐标系，，，之间的距离。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上的A点沿x轴正方向以初速度射入场中，运动过程粒子所受重力可以忽略不计。 (1)若空间内只存在匀强磁场，其轨迹圆的圆心在O点，求A点的位置，用坐标表示； (2)若空间内只存在匀强电场，求检测器上发光点的位置，用坐标表示； (3)若空间内同时存在上述的匀强磁场和匀强电场，求检测器上发光点的位置坐标及粒子打在检测器上时速度的大小。 37. 如图所示，空间直角坐标系Oxyz中有一与xOz平面平行的足够大的接收屏M，接收屏M与y轴交点坐标为（0，l，0）。在O点存在一粒子源，仅在xOy平面内沿各个方向均匀发射速率为、电荷量为＋q、质量为m的粒子，整个空间存在沿z轴正方向、磁感应强度大小的匀强磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用，不考虑相对论效应。求： (1)粒子在该磁场中做匀速圆周运动的半径r和周期T； (2)粒子从原点O射出后运动到接收屏M的最短时间t； (3)若在xOz平面和接收屏M间再加一个沿z轴正方向、场强大小的匀强电场（图中未画出），求粒子打到接收屏上的z坐标最大的点在坐标系Oxyz中的坐标。 38. 用图甲所示为洛伦兹力演示仪，某次演示带电粒子在匀强磁场中的运动时，玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于y轴的匀强磁场，磁感应强度为B，电子在平面以初速度从坐标原点沿x轴正方向成角射入磁场，运动轨迹为螺旋线；螺旋线轴线平行于y轴，螺旋半径为R，螺距为，周期为T，则下列说法中正确的是（　　） A．磁场的方向为沿轴正方向 B．当时“轨迹”为闭合的整圆 C．此螺旋状轨迹的半径 D．若同时增大角和磁感应强度，螺距可能不变 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题提升2带电粒子在复合场中的运动 知识点1 带电粒子在组合场中的运动 1.组合场的三种常见情况 （1）磁场与磁场的组合，即强弱或方向不同的磁场分别位于不重叠的区域内； （2）电场与磁场分别位于不重叠的区域内； （3）电场、磁场在同一区域交替出现。 2.带电粒子在分离的电场、磁场中的常见运动及求法 知识点2 磁场与磁场的组合 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，解题关键： （1）带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，轨迹半径和运动周期一般不同。 （2）充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边、角等几何关系。 知识点3 先电场后磁场 （1）带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 （2）带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 知识点4 先磁场后电场 常见 情境 进入电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度（非直角） 运动示 意图 在电场 中的运 动性质 加速或减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析 方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 知识点4 带电粒子在交变场中的运动 1.交变场的常见类型 （1）电场周期性变化、磁场不变。 （2）磁场周期性变化、电场不变。 （3）电场、磁场均周期性变化。 2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 知识点5 带电粒子在叠加场中的运动 1.叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零： qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 知识点1 复合场中的摆线问题 1.摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 2.配速法 (1)定义：若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动分析比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 (2)配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 知识点2 带电粒子的旋进运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况： (1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 (2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 2.要求离子不能穿过x>d的范围，2r， 题型1粒子从电场进入磁场 1. 如图所示，在x轴的上方有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，在x轴的下方等腰三角形CDM区域内有垂直于xOy平面由内向外的匀强磁场，磁感应强度为B，其中C、D在x轴上，它们到原点O的距离均为a，θ＝45°.现将一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的P点由静止释放，设P点到O点的距离为h，不计重力作用与空气阻力的影响．下列说法正确的是（　　） A．若h＝，则粒子垂直CM射出磁场 B．若h＝，则粒子平行于x轴射出磁场 C．若h＝，则粒子垂直CM射出磁场 D．若h＝，则粒子平行于x轴射出磁场 【答案】AD 【详解】AB．若，则在电场中，由动能定理可得 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得 联立解得r＝a 根据几何知识可知粒子垂直CM射出磁场，故A正确，B错误； CD．若，同理可得，则根据几何知识可知粒子平行于x轴射出磁场，故C错误，D正确。 故选AD。 2. 质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具。图中的铅盒A中的放射源放出大量的带正电粒子（可认为初速度为零），从狭缝S1进入电压为U的加速电场区加速后，再通过狭缝S2从小孔G垂直于MN射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN为切线、磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外、半径为R的圆形匀强磁场。现在MN上的点F（图中未画出）接收到该粒子，且GF＝R，则该粒子的比荷为（粒子的重力忽略不计）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设粒子在加速电场被加速后获得的速度大小为v，由动能定理则有 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何知识知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 解得 故选C。 3. 如图所示，在区域可施加竖直向上的匀强电场，在右侧有垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，挡板右侧是粒子接收器。从点沿向右射出质量为、电荷量为的带电粒子，粒子射入的初速度为，、、的长度满足，不计粒子的重力。已知当区域不加电场时，粒子刚好到达点。 (1)求的长度； (2)若匀强电场的电场强度大小，求粒子打到粒子接收器的位置； (3)求（2）中从点至打到粒子接收器的运动时间。 【答案】(1) (2)粒子刚好打到M处 (3) 【详解】（1）当OANP区域不加电场时，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，如图所示，根据牛顿第二定律有 解得轨道半径 则NP的长度 （2）由题意知 粒子在电场中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，水平方向 解得 竖直方向，加速度 竖直方向速度 竖直方向的位移 也即粒子刚好从N点进入磁场，粒子进入磁场时的合速度 速度方向与水平方向夹角，满足 解得 粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力， 解得 所以粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的圆心角也为，则粒子在磁场中运动的竖直偏移量 即粒子刚好打到M处。 （3）粒子在磁场中圆周运动的圆心角为，圆周运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间为 所以总的运动时间为 4. 如图所示的xOy平面内，的区域内有竖直向上的匀强电场；在区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为（未知）；处于第四象限的匀强磁场，磁感应强度为（未知），大小关系为，磁场方向均垂直于纸面向外。一质量为m、带电荷量为的粒子，在时刻，从P点（P点的坐标，）以速度沿x轴正向水平射出，恰好从坐标原点进入第一象限，最终垂直磁场右边界射出磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子进入磁场时的速度大小； (2)粒子在磁场中运动的最短时间； (3)磁感应强度的可能取值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在电场中，水平方向做匀速运动，有 竖直方向做匀加速运动，有 解得 则带电粒子通过坐标原点的速度大小为 速度方向与轴正半轴的夹角为θ，则 （2）当粒子进入磁场后，第一次恰好垂直磁场右边界射出时的时间最短，如图所示由几何关系知 带电粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间最短为 解得 （3）粒子在磁场中运动，如图所示 由洛伦兹力提供向心力有 且 则有 且满足关系 或 由洛伦兹力提供向心力有 解得 或 5. 某粒子自静止开始经M、N板间的电场加速后从A点垂直于板射入宽度为的平行板中，板间有匀强磁场，当板间电压为U时，粒子恰好从右板下端P偏离入射方向的距离为L处飞出，如图所示。（已知该粒子的质量为m，电量为q） (1)求粒子离开加速电场时的速度v； (2)该匀强磁场的磁感应强度。 (3)要使粒子能从两板间飞出，求MN间所加电压U范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其半径为r，如图 由几何关系得 解得 因为 联立解得 （3）分析可知电压最小时粒子能从C点飞出，如图 几何关系可知粒子圆周运动半径 因为， 联立解得 故MN间所加电压U范围在。 题型2从磁场进入电场 6. 利用电、磁场来控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图所示，水平线AB与竖直线CD交于O点，将空间分成四个区域。在竖直线CD的左边存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，在竖直线CD的右边存在沿水平向左的匀强电场。某时刻一个带正电粒子从水平线AB上的a点以初速度v0水平向左射出，带电粒子第一次到达竖直线CD上时，速度方向与竖直向上方向成角，之后带电粒子在电场中运动，并垂直通过水平线AB上的b点。已知O、a两点之间的距离为L，带电粒子所受重力忽略不计。（计算结果可带根号）求： (1)带电粒子的电荷量和质量的比值； (2)竖直线CD的右边匀强电场的电场强度大小； (3)带电粒子从a点出发到第一次回到a点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，作出正电荷的部分运动轨迹如图所示 设正电荷在磁场中运动的轨道半径为r，由图可得 解得 正电荷在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得正电荷的比荷为 （2）设正电荷第一次经过y轴的位置到O点的距离为，到达b点时的速度大小为，结合类平抛运动规律，有 设正电荷进入电场后经过时间t运动到b点，则有 由几何知识结合类平抛运动可得 解得 又 正电荷从第一次经过y轴到运动至b点的过程中，根据动能定理有 联立解得 （3）正电荷在磁场中的运动的周期为 由几何关系可知，正电荷第一次在磁场中运动的时间为 正电荷在电场中运动的时间为 正电荷第二次在磁场中的运动轨迹与第一次在磁场中运动的轨迹对称，则正电荷第二次在磁场中的运动时间为 所以正电荷从点出发到第一次回到点的时间为 7. 如图所示，在平面直角坐标系平面内，竖直分界线AA'左侧分布着方向垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，AA'右侧有一极板长为L的平行板电容器，下极板与x轴重合，两极板间的距离为d。坐标原点O处有一粒子源可以沿+y方向向磁场区域发射速度大小为v0的带正电粒子，经过磁场的偏转，恰好经过平行板电容器左侧中点P水平射入电容器，之后又恰好落在平行板电容器的下极板右侧边缘，忽略粒子间的相互作用、粒子重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子从O开始运动到离开电容器下极板右侧边缘所用的时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 由几何知识得 解得 （2）在磁场中周期 由几知识判断出，粒子在磁场中运动的时间 粒子在电场中做类平抛运动，则有 带电粒子中从O运动到离开电容器下极板右侧边缘所用的时间 联立解得 8. 光滑绝缘水平面上方分布着磁场和电场，以二者分界线为y轴建立xOy平面直角坐标系，在区域内存在垂直xOy平面向上的匀强磁场，区域内分布着与x轴正方向成角的匀强电场，如图所示。质量为m、电荷量为的金属小球A位于坐标原点，另一质量为、不带电的金属小球B静置于y轴上的C点，。让小球A以大小为v、方向与y轴正方向成角的速度射入磁场，适当调整电场强度和磁感应强度的大小，可以实现A、B发生正碰碰撞时间极短后均能回到O点。碰撞后，小球所带电荷量不考虑小球所带电荷之间的相互作用及其对原电场的影响，忽略边界效应。求： (1)磁感应强度的大小； (2)电场强度的大小； (3)适当调整电场强度，可以实现上述现象，且小球A在该过程的运动轨迹具备轴对称性。调整后电场强度的方向以及小球A第一次在电场中运动的轨迹方程。 【答案】(1) (2) (3)调整为沿x轴正方向， 【详解】（1）A球在磁场中做匀速圆周运动到y轴上C点，运动轨迹如图所示 由几何关系可知 又 解得 （2）碰撞后小球所带电荷量分别为、，且有， 解得， 进入电场时的速度与电场方向垂直，两个小球在电场中做类平抛运动回到O点，两球的位移大小相等，都为d，加速度为、，沿初速度方向、电场强度方向分解运动，如图所示 根据牛顿第二定律有， 根据运动学公式有， 联立解得 同理可得 解得 小球A与y轴正方向成角出磁场与B球相碰，两个小球碰后速度分别为、，方向也与y轴正方向成角，两个小球碰撞过程动量守恒，有 联立解得， 代入可得 （3）小球在电场中运动的轨迹方程为二次函数，若要从C到O的运动轨迹具备轴对称性，则轨迹方程将以为轴，小球A碰后在电场中从C到O做类似斜上抛运动，需要将电场强度方向调整为沿x轴正方向。如图所示 此时小球A的加速度为，将运动沿x轴、y轴进行分解，则有， 联立解得 可用逆向思维，设小球从O点与y轴负方向成角射入电场，历时t其坐标为 则有， 联立消去时间t，可以得到小球A在电场中运动的轨迹方程为 9. 如图，在xoy坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内有沿x轴负向的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入磁场，恰好垂直于y轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)第一象限匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)粒子从P点射入到第三次到达y轴的时间t； (3)若当某次粒子在第二象限中速度减为零时，在第二象限区域再加上一垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度。则粒子之后在第二象限运动时离y轴的最近距离为多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中的运动情况如图所示 由几何关系得 解得 根据洛伦兹力提供向心力， 解得 （2）粒子在磁场做匀速圆周运动的周期为 粒子第一次在磁场中运动时间， 粒子从y轴进入电场至速度为0过程中， 由速度公式 解得 粒子第二次到达y轴后向上偏转，经半个周期第三次到达y轴，时间为 粒子从P点射入到第三次到达y轴的时间： 解得 （3）当粒子在第二象限速度减为零时，离y轴的距离设为d，则 得 加上B1之后，将粒子的运动分解为以速度大小v1向y轴正方向的匀速直线运动和以沿y轴负方向大小v1的初速度，半径为r1逆时针方向的匀速圆周运动，其中， 解得：， 粒子在第二象限运动过程中，离y轴的最近距离为 10. 如图所示，在xOy坐标系中，有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度为B，电场和磁场的分界线为MN，MN穿过坐标原点和二、四象限，与y轴的夹角为。一个质量为m、带电量为q的带正电粒子，在坐标原点以大小为、方向与x轴正方向成的初速度射入磁场，粒子经磁场偏转进入电场后，恰好能到达x轴。不计粒子的重力，求： (1)粒子在磁场中的轨迹半径； (2)匀强电场的电场强度大小； (3)粒子从O点射出后到第三次经过边界MN时，粒子运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系，粒子出磁场的位置离x轴的距离为 由于粒子进入电场后速度与电场方向相反，因此粒子做匀减速运动，刚好能到达x轴，根据动能定理有 解得 （3）粒子在磁场中做圆周运动的周期 第一次在磁场中运动的时间 在电场中运动时有qE＝ma 第一次在电场中运动的时间 第二次在磁场中运动的时间 则粒子从O点射出后到第三次经过边界MN时，粒子运动的时间 题型3粒子在电场和磁场中往复运动 11. 如图所示，平面直角坐标系中，y轴左侧区域存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度大小为，第一象限和第四象限内分别充满垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ和Ⅲ。质量为m、电荷量为的带电粒子从x轴上的P点以速度射入场区，方向与x轴正方向成60°角，此后粒子第1次经过x轴时恰好从O点进入y轴右侧区域，此时速度方向与x轴正方向间的夹角为30°，粒子恰好没有再次进入电场区域，不计粒子重力。求 (1)电场强度大小E和O、P间的距离； (2)磁场Ⅱ和磁场Ⅲ的磁感应强度大小之比； (3)若磁场Ⅱ的磁感应强度大小为，粒子第6次经过x轴时位置的横坐标。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，设半径为r，根据牛顿第二定律可得 粒子第一次到达x轴时的时间 解得 设粒子运动到O点时的速度大小为v，则 解得 根据牛顿第二定律有 根据运动学公式有 解得 带电粒子在沿x轴方向做匀加速直线运动，位移为，则 解得 （2）设磁场Ⅱ和磁场Ⅲ的磁感应强度大小分别为和，粒子在磁场加和磁场Ⅲ中做圆周运动的半径分别为和，根据洛伦兹力提供向心力， 解得， 如图所示 根据几何关系 解得 （3）若磁场Ⅱ的磁感应强度大小为，由（2）问可知磁场Ⅲ的磁感应强度大小为粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径 粒子在磁场中做圆周运动的半径 带电粒子在一个周期内沿x轴运动的位移 解得 则粒子第6次经过x轴时到O点的距离 解得 12. 如图所示的平行板电容器中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，电场强度大小为E（未知），为板间中线。坐标系的y轴紧靠平行板右侧边缘，边界线在第一象限内，与y轴的夹角，边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，边界线的下方有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。一带电荷量为q、质量为m的正离子从P点以大小为的初速度射入平行板间，沿中线做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为的Q点垂直y轴射入磁场区，多次穿越边界线。不计离子重力，求： (1)电场强度E的大小； (2)离子从经过Q点到第二次穿越边界线所用的时间； (3)离子第四次穿越边界线时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）离子沿着做匀速直线运动，根据平衡条件有 解得 （2）离子进入磁场区域后在洛伦兹力的作用下做圆周运动，设其做圆周运动的半径为r，根据洛伦兹力充当向心力有 解得 由于Q点的纵坐标 可知离子沿y轴负方向第一次穿越，离子运动的轨迹如图所示。离子在磁场中做圆周运动的周期 可知离子从Q点到第一次穿越所用的时间 解得 离子穿越后进入电场做匀减速直线运动直至速度减为零，然后反向加速，以第一次穿过的速度大小反向穿过，设离子在电场中运动的时间为，则根据速度时间关系可得 根据牛顿第二定律有 解得 则离子从经过Q点到第二次穿越边界线所用的时间 （3）离子第二次穿越后在磁场中做圆周运动，第三次穿越时速度大小仍为，方向沿x轴正方向，进入电场后的运动，可分解为沿x轴方向的匀速直线运动、沿y轴方向的匀加速直线运动，其位移的偏转角等于，则有 速度偏转角 解得 则离子第四次穿过时的速度大小为 解得 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限内虚线与轴正方向的夹角为与轴之间存在垂直纸面向里的匀强磁场（边界存在磁场），第二象限存在沿轴正方向的匀强电场。第三象限内两个平行金属板之间的电压为，一质量为，电荷量为带负电的粒子（不计粒子重力）从靠近板的点由静止开始做加速运动，从轴负半轴的点进入电场，速度与轴正方向的夹角为，经电场偏转后从点垂直轴进入磁场，粒子恰好不从边界射出磁场。求： (1)第二象限匀强电场电场强度的大小； (2)点坐标和磁感应强度的大小； (3)粒子从点进入电场到再次回到轴的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子运动到点射入电场的速度大小为，由动能定理得 粒子在电场中从点到点做类斜上抛运动，在竖直方向上有 解得电场强度的大小 （2）根据逆向思维，粒子从点到点的逆运动为从点到点的类平抛运动，则 轴方向： 轴方向： 解得 故点坐标为 带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图 设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为。根据几何关系有 解得 根据牛顿第二定律有 而 联立解得磁感应强度的大小 （3）第一次进入电场有 粒子在磁场中的运动时间为 再次进入电场有 粒子从点进入电场到再次回到轴的时间为； 联立解得粒子从点进入电场到再次回到轴的时间 14. 如图所示，在空间中建立一直角坐标系xOy，在y>d的空间区域Ⅰ存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在0≤y≤d的空间区域Ⅱ中，存在方向沿y轴正方向的非匀强电场，场强E的大小随位置坐标y均匀增大，即E=by，b>0，b为已知常量；在-d≤y≤0的空间区域Ⅲ中电场的分布与区域Ⅱ的分布对称，只是场强的方向都沿y轴负方向，在y<-d的空间区域Ⅳ存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场。三个相同的带电粒子从坐标（0，d）的位置出发，其中a粒子初速度va沿y轴正向，b粒子初速度vb沿与y轴正向夹角方向，粒子c的初速度vc=0。已知三个粒子的电荷量均为-q、质量均为m， ，，粒子c在两电场区域运动的周期为T0，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，三个粒子均在纸面内运动。求： (1)粒子b首次运动到区域Ⅰ磁场边界时离坐标（0，d）的距离L； (2)粒子a第一次到达x轴与粒子c第一次到达x轴的速度之比； (3)粒子a在空间中运动的周期Ta； (4)粒子b从区域Ⅱ经过区域Ⅰ边界时的横坐标x。 【答案】(1) (2)2:1 (3) (4)（其中n=1，2，3……） 【详解】（1）粒子b在区域Ⅰ磁场中做圆周运动的半径 粒子b首次运动到区域Ⅰ磁场边界时离坐标原点O的距离 （2）粒子c第一次到达x轴时的速度为v1，由动能定理 由上式得 粒子a第一次到达x轴时的速度为vamax，由动能定理 由上式得 所以粒子a第一次到达x轴与粒子c第一次到达x轴的速度之比为2:1 （3）因为粒子a在电场中做简谐运动，粒子a在电场中的最小速度va与最大速度vamax关系为 所以粒子a在电场区域中往返一次的总时间为 故粒子a运动的周期为 （4）粒子b在电场中的运动可以分解成沿x轴方向的匀速直线运动和y轴方向的变加速直线运动，其中y轴方向的分运动与粒子a在电场区域运动相同，所以粒子b在电场区域往返一次所用的时间与粒子a在电场区域中往返一次的总时间相同。所以（其中n=1，2，3……） 15. 如图所示，两条平行直线相距为d，其间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在两侧分布着垂直两平行直线的匀强电场，电场强度大小相等、方向相反。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从直线上方，距离为的A点静止释放，经电场加速后以速度v进入磁场，经磁场偏转后进入下方的电场。粒子始终在电场或磁场中运动，且运动轨迹在同一平面内，不计粒子重力。求： (1)电场强度E的大小和磁感应强度B的大小； (2)粒子从静止释放到速度再次为零的过程中，粒子运动的时间t和位移x的大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）粒子在MN上方受到电场力而加速，根据动能定理可得 解得 粒子在磁场中逆时针偏转了，由几何关系可知 粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）粒子的运动轨迹如下图所示。 粒子在上方电场分别做匀加速直线运动和匀减速直线运动，运动的时间为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动的时间为 粒子在下方电场运动时，在竖直方向先做匀减速直线运动后做匀加速直线运动，运动的时间为 粒子在下方电场运动时只受到电场力，则有 联立解得 则粒子运动时间为 经分析易知，粒子的位移沿方向。 粒子在磁场中运动时，沿方向的位移为 粒子在下方电场运动时，沿方向的位移为 则整个过程粒子的位移为 题型4粒子在交变场中的运动 16. 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正。有一正离子在时垂直于M板从小孔O射入磁场，又从小孔O′射出磁场。已知正离子质量为m，电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。以下磁感应强度B0大小、离子射入磁场的速度v0，可能正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，有 做匀速圆周运动的周期 联立解得，故A错误，B正确； CD．根据题意可知，要使正离子从孔射出磁场，离子到达时必须经过整数个周期，如图所示 当正离子在两板之间运动n个周期，即运动时间为时，由几何关系有 联立求解得正离子的速度的可能值为 可知，离子射入磁场的速度可能为，不可能为，故C错误，D正确。 故选BD。 17. 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m、带电荷量为q，离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。若要使离子从垂直于N板射出磁场，则离子射入磁场时的速度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使正离子从孔垂直于N板射出磁场，的方向应如图所示 两板之间正离子只运动一个周期即时，有；当两板之间正离子运动n个周期即时，有。联立求解，得正离子的速度的可能值为。 当时，。 故选A。 18. 如图（a）所示，在yOz平面右侧的区域内存在周期性变化的匀强电场和匀强磁场，变化情况如图（b）、图（c）所示。电场的方向及磁场方向均以y轴正方向为正时刻，一质量为m、电荷量为的带电粒子从坐标原点O开始以速度沿x轴正方向运动。粒子重力忽略不计，图b）、图（c）中，，已知。（）求： (1)在时刻粒子的速度方向与x轴正方向的夹角； (2)在时刻粒子的位置坐标； (3)时间内电场力对粒子做的功。 【答案】(1)或 (2) (3)见解析 【详解】（1）之间只存在电场，有，， 得时刻粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为或夹角的正切值） （2）时刻在x、y方向的位移分别为， 得， 在之间，粒子在y方向做匀速直线运动，在平行xOz平面做匀速圆周运动，有， 得， 则在之间，粒子做了半个周期的匀速圆周运动 在之间，在y方向的位移 在z方向的位移 在时刻的位置坐标为，即 （3）在之间，电场力对粒子做的功 得 在～之间，粒子在y方向的位移 在时，y方向的分速度 在之间，电场力对粒子做的功 得 此后按如上规律周期运动，在时间内电场力做的功 因此，在内，电场力做的功为：,。 19. 如图（a）所示，在空间有一圆形区域磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向外，圆与轴相切于原点，平行于轴且与圆相切于点的电场边界MN下方有沿轴正方向的匀强电场，在空间有垂直纸面的随时间周期性变化的磁场随时间变化如图（b）所示，其中已知，垂直纸面向外为正方向。足够长的挡板PQ垂直于轴放置，挡板可沿轴左右平移。质量为，电荷量为 ）的粒子从电场中的点以速度沿轴正方向进入匀强电场，并从点进入圆形区域磁场，接着从原点进入第一象限（此时）。已知两点沿轴方向的距离为，沿轴方向的距离为，不计粒子重力，不考虑磁场变化产生的感应电场。求： (1)匀强电场的电场强度； (2)粒子在圆形区域磁场内的运动时间； (3)若粒子恰好能垂直击中挡板，则挡板距离轴的距离应满足的关系。 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有① 水平方向，有② 竖直方向，有③ 联立解得 （2）粒子从到过程，由动能定理，有④ 解得粒子在点的速度 粒子在点时，速度与轴正方向的夹角满足⑤ 故 粒子从点运动到点，如图所示，根据几何关系可知粒子在圆形磁场内运动的圆弧轨迹所对圆心角为 粒子做圆周运动，有 ⑦ ⑧ 联立解得粒子在圆形磁场运动的时间 （3）粒子到达点时速度大小为，与轴正方向夹角，在第1、4象限内，磁感应强度为和时粒子做圆周运动的半径为和，周期为和，则 ⑨ ⑩ 联立解得 通过计算和对比图像可以发现，粒子运动轨迹为圆心角、半径和的圆弧交替变化的周期性运动，如图所示。由几何关系可知，若要粒子能够垂直击中挡板，则 ⑪ 或者 联立解得 或者 20. 如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有，   根据牛顿第二定律则有    联立解得 对A点     解得 A点的坐标为 （2）粒子进入的磁场中，则有 由牛顿第二定律 由几何关系得     联立解得 （3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律 设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向 平行y轴方向 联立解得， 交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为 解得 题型5叠加场——直线运动 21. 质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A点，下列说法中正确的是（　　） A．该微粒可能带正电荷 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的电场强度为 【答案】C 【详解】AB．若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力，向左的电场力和斜向右下方的洛伦兹力，此时合力不可能为零，故可知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，且只能做匀速运动，故AB错误； CD．由题意可得微粒受力情况如下图所示 由平衡条件有 解得，故C正确，D错误。 故选C。 22. 如图所示，空间存在互相平行、足够长的水平边界L1、L2，边界间距为d，边界间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场和平行于边界向左的匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B1，电场的电场强度大小为E；边界L2以下区域分布着垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B2（未知）的匀强磁场。在边界L2上的P点平行于纸面以某一速度垂直于边界射入一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，粒子恰好沿直线运动到边界L2。不计粒子的重力。 (1)求粒子在P点射入时的速度v0的大小； (2)若粒子再次返回边界L2时，撤去L1、L2之间的磁场，粒子恰好返回入射点P，试求B2。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）带电粒子在L1、L2之间做直线运动，即粒子受到的电场力与洛伦兹力相等，得到 解得 （2）根据题意可画出带电粒子的运动轨迹如图所示 粒子在L2以下的磁场运动时有     粒子再次返回边界L2时，撤去磁场B1，粒子在电场中做类平抛运动，粒子在其中的运动时间为 到达P点时，运动的水平距离为     由牛顿第二定律可知qE=ma 而L=2r 联立以上各式可解得 23. 如图所示，两块水平放置、相距为2d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口水平对准两板中间位置，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动，进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点，重力加速度大小为g。 (1)求墨滴所带电荷的种类及其电荷量q； (2)请对墨滴刚进入电场、磁场共存区域时进行受力分析，并求出匀强磁场的磁感应强度大小B； (3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到距离下极板的位置，为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B'，求B'的大小。 【答案】(1)，墨滴带负电 (2)受力分析见解析， (3) 【详解】（1）墨滴在电场区域做匀速直线运动，则有 解得 由于电场方向向下，墨滴所受的电场力方向向上，可知墨滴带负电。 （2）墨滴刚垂直进入电场、磁场共存区域时受力分析如图甲所示 墨滴在该区域做匀速圆周运动，则有 墨滴在该区域恰好完成四分之一个圆周运动，则它做圆周运动的半径 解得 （3）根据题设，墨滴的运动轨迹如图乙所示 设圆周运动的半径为R'，则有 由图示可得 解得 24. 如图所示，坐标平面内有一匀强磁场，在y轴的右侧是有界磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度方向与y轴正向夹角为，交点为P。不计粒子重力，求： (1)P点至O点的距离； (2)粒子在第一象限运动的时间； (3)若粒子进入第二象限后除存在如图所示的匀强磁场B外，还存在一匀强电场（未画出），此时粒子恰好做匀速直线运动，求该匀强电场的大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)；与轴正方向夹角斜向上 【详解】（1）粒子运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力 解得 根据几何关系，点至点的距离 联立得 （2）粒子在第一象限的磁场中运动周期 在第一象限磁场中运动时间 离开磁场后匀速至P点的时间 所以，粒子在第一象限的磁场中运动的时间 （3）进入第二象限后，粒子受力平衡，有 解得 方向：与轴正方向夹角斜向上 25. 如图所示，竖直面内的平面直角坐标系xOy的x轴水平，y轴竖直，第一、二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度E=10N/C。第二象限内还有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=1.0T。在x轴上的P点以初速度（未知）沿纸面射入第二象限一个带电小球，小球在第二象限内做匀速直线运动，已知与x轴正方向的夹角θ=45°，P点坐标（-15m，0），小球带电量的绝对值q=0.2C，取重力加速度。求： (1)小球电性； (2)小球的质量； (3)小球再次运动到x轴的位置坐标。 【答案】(1)带正电 (2) (3) 【详解】（1）由于小球在第二象限内做直线运动，分析小球受力如图所示，是电场力，是洛伦兹力，根据左手定则可以得出小球带正电 （2）由于与x轴正方向的夹角θ=45°，小球做匀速直线运动可得电场力 即 代入数据得 （3）由于小球在第二象限内做匀速直线运动，可得 代入数据得 设小球匀速直线运动到y轴上的M点后进入第一象限，可知M点坐标 小球运动到M点时沿x轴和y轴的分速度 设小球从M点运动到x轴上的N点需要的时间为t，竖直方向的分位移为y，水平方向的分位移为x。竖直方向只受重力，位移，根据运动学公式得 代入数据得 水平方向只受电场力，设水平方向的加速度为， 水平方向的分位移 代入数据得 小球再次到x轴的N点位置坐标 题型6叠加场——匀速圆周运动 26. 如图所示，水平虚线为分界线，分界线上方有方向水平向左的匀强电场，分界线下方有方向垂直纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场。现将一质量为电荷量为的带正电小球从分界线上的点以初速度竖直向上抛出，小球在分界线上方的运动轨迹已画出，点为轨迹的最高点，小球从分界线上的点第一次进入分界线下方区域，且小球恰好在分界线下方区域做匀速圆周运动，经磁场偏转一次后又恰好回到点。已知小球到达点时的速度大小为，重力加速度大小为和的大小均未知，不计空气阻力。 (1)求两点的高度差； (2)求和的大小。 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）将小球在分界线上方的运动分解，可知小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据运动规律有 解得 （2）设小球到达点时的速度方向与分界线的夹角为，将小球到达点时的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，根据几何关系有 即 则分速度为 小球从A点运动到点所用的时间 由 解得 两点间的距离 小球在分界线下方做匀速圆周运动，则 解得 设小球做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 根据牛顿第二定律有 解得 27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，y轴左侧存在沿x轴正方向的匀强电场，y轴右侧存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，两侧电场的电场强度大小相同，电场、磁场的范围均足够大。一质量为m、电量为q（>0）的带电粒子以一定的初速度v0（未知）沿y轴正方向从坐标点（-d，0）射入第二象限，在此后的运动过程中，粒子由（0，3d）第一次穿过y轴，并在右侧区域做匀速圆周运动，第二次恰好在原点O穿过y轴。已知重力加速度为g，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子第一次穿过y轴的速度； (3)匀强磁场的磁感应强度大小； (4)粒子第四次经过y轴的坐标。 【答案】(1) (2)  方向与y轴正方向夹角为45° (3) (4)（（0，-3d） 【详解】（1）粒子在右侧区域做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则重力与电场力平衡，则有mg=qE     解得 （2）粒子在第二象限做类斜抛运动，由牛顿第二定律，有qE=ma     根据位移-时间公式，有 水平方向上     根据位移-时间公式，有 竖直方向上，有      由矢量合成法则有     解得 可知     粒子方向与y轴正方向夹角为45°。 （3）粒子在右侧区域轨迹如图所示 由几何关系得     由洛伦兹力提供向心力有     解得 （4）粒子从原点O回到第二象限后，做匀减速直线运动，后反向做匀加速直线运动进入第四象限做匀速圆周运动，粒子再次穿过y轴的纵坐标记为- y1，由几何关系可知     故粒子第四次经过y轴的坐标为（（0，-3d）。 28. 两个小球发生碰撞，如果两球的初速度不在同一直线上，叫做斜碰或者二维碰撞，如果没有外力或者忽略外力作用，则斜碰也符合动量守恒定律，只是计算总动量的时候，用矢量求和（符合平行四边形定则）。如图，真空中的竖直平面内建立xOy坐标系，x轴沿水平方向，y轴竖直向上。第一象限内有指向-x方向的匀强电场，第二象限内有竖直向上的匀强电场，以及垂直于纸面向内的匀强磁场，第一和第二象限内的电场强度大小相同。第二象限有一个油滴a，初位置在P点，坐标是（－L，L），其质量为3m，带电量为+3q，某时刻朝着x轴正方向以某一初速度开始做匀速圆周运动，x轴上的Q点（2L，0）有另一个油滴b，质量为2m，带电量为+2q，另一时刻朝着y轴正方向开始运动，初速度大小是a初速度大小的2倍，经过一段时间后，两个油滴第一次到达y轴上的M（0，2L）点发生碰撞并且迅速粘合成为一个油滴c，粘合过程中，油滴的质量和电荷量没有损失。已知重力加速度为g，不考虑两个油滴碰撞前的相互作用力， (1)求第一和第二象限的电场强度大小，以及a油滴出发的初速度v0大小 (2)求第二象限磁场的磁感强度大小，以及两个油滴出发的时间间隔 (3)求油滴c从M点出发后，第一次回到y轴的N点（图中未画出）坐标 【答案】(1)， (2)； (3) 【详解】（1）油滴a在第二象限受到重力、电场力、洛伦兹力，做匀速圆周运动，则其所受重力和电场力平衡，3qE=3mg 得 b油滴在第一象限运动，水平方向：2qE=2max 得ax=g， 竖直方向：竖直上抛运动， 得， （2）如图，由几何关系，油滴a从P到M划过圆弧轨迹，则R=L 得 周期 粒子从到的时间 得 则两粒子出发的时间间隔为 （3）油滴到达点时的水平分速度 竖直分速度 则到达点时的速度为，方向朝着方向，动量为 到达点时的速度为，方向朝着方向，动量为 画平行四边形，如图，合动量为 而c的质量为，则c的速度为； 与水平方向夹角， 油滴c的质量为5m，电荷量为，其重力与电场力平衡，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有 得 则点的纵坐标为 点坐标 29. 光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧为由有界匀强电场和有界匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，复合场水平距离未知。电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为。如图所示，现给小球一个向右的初速度，使之离开桌面边缘立刻进入复合场运动，已知小球从下边界的中点射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为37°，，，下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为或 B．小球在复合场中运动的位移可能是4h C．小球在复合场中运动的加速度可能是 D．若小球一定不从复合场的下边界射出，则初速度应大于或小于 【答案】AC 【详解】A．已知小球比荷 则 重力与电场力平衡，小球仅受洛伦兹力做匀速圆周运动，由 得 小球从下边界中点射出，速度与下边界夹角为，分两种几何情况： 圆心在复合场下边界下方，由几何关系，竖直方向满足 可得 则有初速度 圆心在复合场下边界上方，由几何关系，竖直方向满足 可得 则有初速度 因此，小球的初速度为或，A正确； B．小球在复合场中运动的位移可能是 或者 B错误； C．小球做匀速圆周运动，向心加速度 将代入，得 取初速度 代入得 则小球在复合场中运动的加速度可能是，C正确； D．若小球一定不从复合场的下边界左侧射出，则 可知 当粒子以半径为从中点射出复合场时，此时复合场的长度为 若从复合场右下边缘射出，则 解得 可得小球一定不从复合场的下边界射出，则 解得初速度为 若小球一定不从复合场的下边界射出，则初速度或 D错误。 故选AC。 30. 如图，xOy竖直坐标平面分布着范围足够大的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直向外，电场方向竖直向上。一带正电小球质量为m、电量为q，以初速度与y轴正方向成30°角从A点进入复合场做匀速圆周运动，经过B点垂直x轴进入第四象限，重力加速度为g。求： (1)匀强电场的大小； (2)OB距离； (3)进入第四象限后电场强度大小突变为原来的2倍，求小球在x轴下方运动时距x轴的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子做匀速圆周运动，则满足 解得 （2）洛伦兹力提供向心力可得 如图由几何关系 由以上几式得 （3）方法一： 设小球距x轴下方最远距离为y，此时小球速度为v，方向水平向左。由动能定理 水平方向由动量定理 而 由以上几式得 方法二： 等效重力 方向竖直向上。同时给小球配一对大小相等，方向相反的水平速度v，且满足 即 则小球的运动可以分解为水平向右的速度为的匀速直线运动和速度为 的匀速圆周运动组成。设圆周运动半径为r，与水平方向的夹角为，则，， 由以上几式得 题型7叠加场——摆线运动 31. 如图是霍尔推进器某局部区域的等效原理图，在Oxy平面内存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带电微粒，从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，带电微粒沿x轴做匀速直线运动；入射速度小于v0时，带电微粒的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。重力加速度为g，不计带电微粒间相互作用。求： (1)带电微粒的电性及磁感应强度的大小B； (2)若带电微粒入射速度为，则运动到纵坐标时，带电微粒的速度大小v1； (3)若带电微粒入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，则能到达纵坐标位置的微粒数N占总微粒数N0的百分比。 【答案】(1)正电， (2) (3)80% 【详解】（1）入射速度为v0时，小球沿x轴做匀速直线运动，小球带正电，则有 解得 （2）小球在竖直向下的重力场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且小球入射速度为，小球受到的重力大于洛伦兹力，则小球向下偏转，根据动能定理有 解得 （3）若小球以速度v入射时，设小球能到达的最低点位置的纵坐标为y1，则根据动能定理有 由于小球在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则有 联立有 要让小球到达纵坐标y1位置，即 解得 则若小球入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，能到达纵坐标y1位置的小球数N占总小球数N0的80%。 32. 如图所示，磁控管内局部区域分布有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。一电子从M点由静止释放，沿图中轨迹依次经过N、P两点，且N点离水平虚线最远。已知磁感应强度为B，电场强度为E，电子质量为m、电荷量为e，电子重力不计，则（　　） A．电子在N点的速率为 B．N点离虚线的距离为 C．电子从M到N点的时间为 D．M、P两点的距离为 【答案】BD 【详解】AB．根据“配速法”，电子在M点由静止释放，可看做是电子分别以的速度向左运动和以速度向右运动，由于 可看做向左的匀速直线运动和向下的匀速圆周运动的合运动，其中圆周运动满足 可得 因N点离虚线最远，则两个方向的分速度均向左，则电子在N点的合速度 N点离虚线的距离为，A错误，B正确； C．电子从M到N点的时间为，C错误；     D．M、P两点的距离为，D正确。 故选BD。 33. 如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为。一束质量均为、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（　　） A．两板间电场强度的大小为 B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中所用时间为 C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 D．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 【答案】C 【详解】A．速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动，则 解得两板间电场强度的大小为，不符合题意，故A错误； B．带电粒子在磁场中做圆周运动，周期，与速度无关，由题意可知，乙粒子从进入板间运动至A位置运动了半个周期，故所用时间为，不符合题意，故B错误； C．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有 整理得到，符合题意，故C正确； D．由题意，乙粒子的运动轨迹在A处时为粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达最大，为，洛伦兹力与电场力的合力提供向心力 所以对应圆周的半径为，不符合题意，故D错误。 故选C。 34. 如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线。关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（　　） A．OAB轨迹为半圆 B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向 C．小球在整个运动过程中机械能先变大再变小 D．小球在A点时受到的洛伦兹力与重力大小相等 【答案】B 【详解】小球释放后，除了受到重力外，开始阶段还受到向右侧的洛伦兹力的作用，只有重力做功机械能守恒。可以假定小球带正电，且磁场方向垂直纸面向里。小球初速度为0，可以将这个初速度分解为向右的速度v1和向左的速度v2 则两者大小关系为v1= v2 且使满足qv1B = mg 则根据前述分析可知，小球的运动可看作是v1引起的向右的匀速直线运动和v2引起的一开始向左的逆时针匀速圆周运动的两个分运动的合运动。很显然，小球的轨迹不是半圆，而是摆线，如图所示 且小球运动至最低点A时速度为向右的v2和v1的矢量和，即2v1，洛伦兹力大小为2mg。其他位置v2和v1的矢量和都小于2v1，故选B。 35. 某控制带电粒子运动的装置模型如图所示，纸面内存在上、下宽度均为d的匀强电场与匀强磁场。电场强度大小为E（未知），方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O点由静止释放，运动到磁场的下边界的P点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场E的大小为 B．粒子从O点运动到P点的时间为 C．把电场下移至磁场所在区域后，粒子在N点的动能最大 D．MN两点的竖直距离小于d 【答案】AC 【详解】A．设粒子在磁场中的速率为v，半径为R，在电场中由动能定理，有 洛伦兹力提供向心力，有 由几何关系可得 联立以上可得，故A正确； B．粒子在电场中的运动时间为 在磁场中的运动时间为 粒子从O运动到P的时间为，故B错误； C．电场下移到磁场所在区域，粒子同时受到两个力的作用，其中洛伦兹力永不做功，运动到N点，电场力方向发生位移最大，电场力做功最多，根据动能定理，知粒子在N点的动能最大，故C正确； D．将粒子从M到N的过程中某时刻的速度分解为向右和向下的分量、，再把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解，两个洛伦兹力分量分别为 ， 设粒子在最低点N的速度大小为v1，MN的竖直距离为y。水平方向由动量定理可得 由动能定理可得 联立解得 故D错误。 故选AC。 题型8旋进运动 36. 如图所示，在空间中存在沿着z轴正方向的匀强磁场或匀强电场，z轴经过O点垂直于坐标系xOy所在的平面，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。将一检测器Q垂直于z轴放置于该空间，检测器中心在z轴上，当粒子撞击检测器Q时，检测器被撞击的位置会发光。在检测器所在平面上建立另一坐标系，，，之间的距离。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上的A点沿x轴正方向以初速度射入场中，运动过程粒子所受重力可以忽略不计。 (1)若空间内只存在匀强磁场，其轨迹圆的圆心在O点，求A点的位置，用坐标表示； (2)若空间内只存在匀强电场，求检测器上发光点的位置，用坐标表示； (3)若空间内同时存在上述的匀强磁场和匀强电场，求检测器上发光点的位置坐标及粒子打在检测器上时速度的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 故A点的位置为 （2）粒子做类平抛运动，则有 解得 则横坐标为 纵坐标与点的纵坐标相同，故发光点的位置为 （3）粒子的运动均可以分解为沿轴方向初速度为零的匀加速直线运动和与平面平行的速度为的匀速圆周运动。结合上述有 可知，恰好完成一周的运动 所以， 故发光点的位置为 粒子的分速度， 则有 37. 如图所示，空间直角坐标系Oxyz中有一与xOz平面平行的足够大的接收屏M，接收屏M与y轴交点坐标为（0，l，0）。在O点存在一粒子源，仅在xOy平面内沿各个方向均匀发射速率为、电荷量为＋q、质量为m的粒子，整个空间存在沿z轴正方向、磁感应强度大小的匀强磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用，不考虑相对论效应。求： (1)粒子在该磁场中做匀速圆周运动的半径r和周期T； (2)粒子从原点O射出后运动到接收屏M的最短时间t； (3)若在xOz平面和接收屏M间再加一个沿z轴正方向、场强大小的匀强电场（图中未画出），求粒子打到接收屏上的z坐标最大的点在坐标系Oxyz中的坐标。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子在该磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 其中 解得， （2）结合上述与题意可知，粒子圆周运动的半径等于l，粒子从原点O射出后运动到接收屏M的轨迹对应的弦长的最小值为l，则圆心角的最小值为60°，即最短时间 结合上述解得 （3）粒子在z轴正方向做匀加速直线运动，在xOy平面内做匀速圆周运动，若粒子打到接收屏上的z坐标最大，则该粒子达到接收屏上经历的时间为最大值，由于电场在xOz平面和接收屏M间，则圆周运动轨迹也在xOz平面和接收屏M间运动时间最长为 对应轨迹为四分之一圆周，对应的x坐标为l与-l，对应的y坐标为l，对应的z坐标 解得 即粒子打到接收屏上的z坐标最大的点在坐标系Oxyz中的坐标为 38. 用图甲所示为洛伦兹力演示仪，某次演示带电粒子在匀强磁场中的运动时，玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于y轴的匀强磁场，磁感应强度为B，电子在平面以初速度从坐标原点沿x轴正方向成角射入磁场，运动轨迹为螺旋线；螺旋线轴线平行于y轴，螺旋半径为R，螺距为，周期为T，则下列说法中正确的是（　　） A．磁场的方向为沿轴正方向 B．当时“轨迹”为闭合的整圆 C．此螺旋状轨迹的半径 D．若同时增大角和磁感应强度，螺距可能不变 【答案】BD 【详解】A．电子的从O点射出时的速度有沿x轴正向的分量，受洛伦兹力沿z轴正向，根据左手定则可知，磁场的方向为沿轴负方向，选项A错误； B．当电子只在xOz平面内运动，则“轨迹”为闭合的整圆，选项B正确； C．根据 解得此螺旋状轨迹的半径 选项C错误； D．根据螺距 若同时增大角和磁感应强度，螺距可能不变，选项D正确。 故选BD。 学科网（北京）股份有限公司 $