专题提升1带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题 多解问题 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理同步知识与题型训练（人教版选择性必修第二册）

专题提升1带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题 多解问题 知识点1 有界匀强磁场中的三类动态圆模型 模型 解读 “平移圆”模型 （1）条件：带电粒子射入匀强磁场的速度大小和方向相同，入射点不同但在同一直线上。 （2）特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。 （3）用法：将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子运动的有关临界问题 “放缩圆”模型 （1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的方向一定，但大小不同。 （2）特点：带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远。 （3）用法：用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题 “旋转圆”模型 （1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的大小一定，但方向不同。 （2）特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相同，其轨迹圆的圆心在以入射点为圆心，半径等于轨迹圆半径的圆周上。 （3）用法：将半径相同的轨迹圆以入射点为圆心旋转，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题 知识点2 磁聚焦和磁发散模型 磁发散 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与磁场圆上过入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，磁场圆上过该点的切线与入射方向平行 知识点3 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出 运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性 1. 确定圆周运动的 “圆心” 圆心是粒子运动轨迹的圆心，必须满足两个条件： 圆心在粒子 入射速度的垂线 上（洛伦兹力垂直于速度，指向圆心）。 圆心也在粒子 出射速度的垂线 上（同理，出射时洛伦兹力仍指向圆心）。 操作方法：分别过入射点、出射点作速度方向的垂线，两条垂线的交点即为圆心（记为O）。 2. 计算或测量圆周运动的 “半径” 半径可通过两种方式获取： 公式计算：若已知m、q、v、B，直接用计算。 轨迹测量：若已知入射点（A）、出射点（B）和圆心（O），则OA或OB的长度即为半径r（圆心到轨迹上任意点的距离相等）。 3. 确定磁场的 “边界形状” 磁场区域的边界由粒子轨迹与 “入射 / 出射边界” 共同决定，常见两种情况： 圆形磁场：若粒子从磁场边界入射、出射，且磁场为圆形，磁场边界通常与粒子轨迹相切或相交于入射、出射点。 有界直线磁场（如矩形、三角形磁场）：磁场边界为直线，粒子轨迹在磁场内是一段圆弧，出磁场后沿直线运动；此时磁场边界需包含这段圆弧，且与入射、出射的直线轨迹无重叠（粒子仅在磁场内受洛伦兹力）。 4. 验证边界：确保轨迹与磁场匹配 最后需确认：粒子在磁场内的运动轨迹（圆弧）完全在确定的磁场区域内，且出磁场后沿直线运动（不受洛伦兹力），无额外偏转。 题型1“平移圆”处理临界或极值问题 1. 如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为L，，现垂直AB边射入一群质量均为、电荷量均为、速度大小相等的带负电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子运动的时间为，则下列判断正确的是（    ） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为 D．粒子进入磁场时的速度大小为 【答案】BC 【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是，即 则周期 选项错误； B．由 得 选项正确； C．设在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹所对应的圆心角为，则有 可得 画出该粒子的运动轨迹，如图所示，设粒子在磁场中运动的轨迹半径为，由几何知识有 可得 选项C正确； D．根据 解得 选项D错误。 故选BC。 2. 如图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为l C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为l2 【答案】ACD 【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直BC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，粒子运动的周期为 又有 联立解得 故A正确； B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有 又由 联立解得 画出该粒子的运动轨迹如图所示 设轨迹半径为R，由几何知识得 ＋Rcos 30°＝l 可得 故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力 解得粒子射入磁场的速度大小为 故C正确； D．射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积如图所示，则为 S＝πR2＋R·Rcos 30°＝ 故D正确。 故选ACD。 3. 如图所示，在三角形OMN区域内存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，。磁场的边界MN上放置着一长度为L的挡板，挡板中心处有一小孔K。在ON的左侧空间有质量为m、电荷量为+q的粒子流均以初速度v平行OM进入磁场，到达K孔的粒子可沿任意角度穿过小孔，不考虑粒子与挡板碰撞后的运动情况，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．若粒子垂直挡板射出小孔K，则粒子的速度大小为 B．若粒子能从小孔K射出，则粒子的最小速度为 C．若粒子以最小的速度通过小孔K，则粒子在磁场中的运动时间为 D．若粒子的速度大小为且能从小孔K射出，则粒子在磁场中的运动时间为 【答案】BD 【详解】A．根据题意，作出粒子垂直挡板射出小孔K的运动轨迹如图甲所示，根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在三角形OMN区域根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 A错误； BC．根据题意，当轨迹半径最小时﹐粒子的速度最小，作出粒子以最小速度从小孔K射出的运动轨迹如图乙所示。根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在三角形OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有 联立可得 又粒子在磁场中做圆周运动的圆心角为90°，则粒子在磁场中运动的时间为 由和可得 则 B正确，C错误； D．在三角形OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有 可得粒子在三角形OMN区域运动的轨迹半径 作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图丙所示。粒子从小孔K射出时，由几何关系有 则有 粒子在磁场中做圆周运动的圆心角为60°，则粒子在磁场中的运动时间为 D正确。 故选BD。 题型2“放缩圆”处理临界或极值问题 4. 一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为3m，电荷量为q。以下正确的为（　　） A．粒子不能到达de中点 B．从bc边界出的粒子运动时间相等 C．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动率为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】AC 【详解】A．粒子在磁场中做匀圆周运动轨迹图如图所示 由图可知，粒子要在区域运动，在经点e时轨道半径最大，此时粒子没能到达de中点，因此粒子不能到达de中点，A正确； BC．设粒子的运动轨迹过bcde上的某一点g，O为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当最大时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长，由几何关系可知，当c点与g点重合时，粒子运动时间最长，即从bc边界出的粒子运动时间不相等。如图所示 设运动半径为R，由几何关系则有 解得 已知粒子的质量为，电荷量为，其在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 B错误，C正确； D．粒子在磁场中运动的周期为 在中，设为，为，由几何关系有 可得， 则粒子在磁场中运动的最长时间为，D错误。 故选AC。 5. 如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角、大小为（未知量）的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。求： (1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小； (2)若粒子恰好不能从磁场上边界射出，求粒子的入射速度大小； (3)若带电粒子的速度大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得 解得 又有 解得 （2）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得， 解得 又有 解得 （3）根据题意，由公式和 可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角越大，在磁场中运动的时间也越长。在磁场中运动的半径时，运动时间最长，则圆弧所对圆心角为 所以最长时间为 颗型3“旋转圆”处理临界或极值问题 6. 如图所示，边长为l的正方形abcd区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从ad边中点e沿ec方向射入磁场。当射入速度大小为v时，恰好从bc边中点f飞出磁场。不计粒子所受重力，则（　　） A．若粒子射入速度大小合适，可以从ab边界上任一点飞出磁场 B．当粒子速度大小为时，粒子在磁场区域运动过程中速度方向改变了90° C．当粒子速度大小为v时，粒子在磁场中运动的轨迹半径为 D．当粒子速度大小为2v时，粒子离开磁场时的速度方向与磁场边界垂直 【答案】CD 【详解】A．当入射速度使粒子运动轨迹恰好与ab边界相切时，设切点为g，速度再小时，粒子就从ea边射出，所以粒子不可能在ag间飞出磁场，故A错误； C．由左手定则判断，粒子带负电，做匀速圆周运动 解得 设正方形边长为L，粒子射入速度方向与ef时夹角为θ，有 当粒子射入速度大小为v时，由几何关系可得，故C正确； D．当粒子速度大小为时，轨迹半径 粒子的轨迹圆心恰好位于cb边的延长线上，如图1所示，粒子离开磁场时速度方向应与磁场边界垂直，故D正确； B．设粒子速度大小为时，在磁场区域运动过程中速度方向改变了90°，轨迹半径 如图2所示，由几何关系可得 解得 即，故B错误。 故选CD。 7. 如图所示，在的区域存在垂直平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向均匀地发射速度大小均为v、质量为m、带电荷量为q的同种带电粒子。在x轴上距离原点L处垂直于x轴放置一个长度为L、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P（粒子一旦打在金属板P上，其速度立即变为0）。现观察到沿y轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与x轴平行。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度 B．磁感应强度 C．打在薄金属板左侧面的粒子数目占总数的 D．打在薄金属板右侧面的粒子数目占总数的 【答案】C 【详解】AB．题意知观察到沿y轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与x轴平行，几何关系可知粒子轨迹圆半径，根据 联立解得 故AB错误； C．当带电粒子打在金属板左侧面的两个临界点，如图所示 圆心与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和x轴正方向成30°角，可知沿与x正方向夹角范围为30°~90°角发射的粒子打在薄金属板的左侧面上，打在薄金属板左侧面的粒子数目占总数的 故C正确； D．当打在右侧下端的临界点，如图所示 圆心与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和x轴正方向成150°角，结合A选项中图可知，沿与-x方向夹角范围为0~30°角发射的粒子打在薄金属板的右侧面上，故打在薄金属板左侧面的粒子数目占总数的 故D错误。 故选C。 8. 如图所示，空间内有垂直纸面向里的匀强磁场（未画出），在O点有一粒子源，能沿纸面向各方向均匀发射初速度为v0，电荷量为+q，质量为m的带电粒子，O点右侧有一挡板PQ，已知OQ⊥PQ，OQ=PQ=a，当v0沿OQ方向时，粒子恰好打在挡板上端P点外，不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为2a B．击中挡板左侧的粒子占粒子总数的 C．击中挡板右侧的粒子占粒子总数的 D．若将挡板PQ两端延伸足够长，粒子打在挡板上的长度为2a 【答案】C 【详解】A．由题意可知，v0沿OQ方向时，粒子恰好打在挡板上端P点外，可知粒子的轨迹半径为a，故A错误； B．初始与最后打到挡板左侧的粒子轨迹如图所示 当粒子速度方向与OQ夹角为30°时，刚好打到挡板左侧Q点，当粒子速度方向沿OQ方向时，粒子刚好打到挡板左侧P点，所以击中挡板左侧的粒子占粒子总数的，故B错误； C．初始与最后打到挡板右侧的粒子轨迹如图所示 当粒子速度方向与OQ夹角为30°时，刚好打到挡板右侧Q点，如图中轨迹1；当粒子速度方向与OQ垂直向下时，粒子刚好打到挡板右侧P点，如图中轨迹2，所以击中挡板右侧的粒子占粒子总数的，故C正确； D．若将挡板PQ两端延伸足够长，粒子打到挡板PQ上下最远粒子的轨迹如图所示 粒子速度垂直于OP′时，打在挡板下方最远，粒子速度沿OQ方向时，打在挡板上方最远。由图中几何关系可知，粒子打在挡板上的长度为，故D错误。 故选C。 9. 如图所示，在xOy坐标的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴和y轴上装有两相互垂直的平面荧光屏，在第一象限坐标的M点处有一粒子源，在某时刻同时发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，均为，速度方向均在xOy平面内，分布在范围内。观察发现：x轴上的荧光屏OP之间发光，在P、Q之间的任一位置会先后两次发光；O、Q之间的任一位置只有一次发光，不考虑粒子间的相互作用和粒子所受重力，求： (1)粒子的运动半径和P点的坐标； (2)粒子打到荧光屏上的最短时间（用反角函数表达）； (3)Q点先后两次发光的时间间隔。 【答案】(1)2l， (2)/、） (3) 【详解】（1）由牛顿第二定律有 可知带电粒子运动的半径为 P点是发光的最远点，因此MP为圆轨迹的直径，根据几何知识可得 解得 所以P点的坐标为 （2）带电粒子运动到y轴上的荧光屏最短的弦长为l，对应的圆心角为，则 由牛顿第二定律有 相应的最短时间为 （或、） （3）Q点第二次发光时，粒子的运动轨迹与x轴相切，由几何知识可得，其对应的圆心角为 第一次发光时，粒子的运动轨迹对应的圆心角为 因此两次发光的时间间隔为 10. 如图所示，在xOy平面的第一、二象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在第三、四象限的－d≤y≤0范围内有沿x轴正方向的匀强电场，在坐标原点O有一粒子源可以向x轴上方以不同速率向各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，x轴上的P点坐标为（－d，0），y轴上的Q点坐标为（0，－d）。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列选项分析正确的是（　　） A．沿不同方向射入磁场经过P点的粒子速率可能相同 B．若以最小速率经过P点的粒子又恰好能过Q点，则电场强度大小为 C．若粒子源发射的粒子最大速率为ν，在第二象限中有粒子扫过的区域面积为 D．所有经过P点的粒子在匀强电场中运动的时间均相同 【答案】AD 【详解】A．经过P点圆弧轨迹均以PO为弦，如图所示 经过O、P两点的半径相等的圆O1与圆O2，粒子可以分别沿这两个等大的圆在磁场中的圆弧部分做圆周运动经过P点，由于运动半径相等，故粒子速度大小相同，故A正确； B．粒子以最小速率经过P点时，在磁场中的轨迹恰好为半个圆周，到达P点时速度方向垂直于x轴，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得 当OP为粒子运动轨迹的直径时 圆周运动半径最小，粒子经过P点时速度最小，可得 由P点到Q点做类平抛运动。沿y轴负方向做匀速直线运动，则有 沿x轴正方向做匀加速直线运动，则有 由牛顿第二定律得 解得电场强度 故B错误； C．由题意可知，若粒子源发射的粒子最大速率为v，由洛伦兹力提供向心力得 则粒子运动轨迹的最大半径为 粒子向不同方向进入磁场时，粒子扫过的区域为以圆形轨迹直径为半径的扇形面积，即，在第二象限中有粒子扫过的区域面积为 故C错误； D．设沿不同方向进入磁场的粒子，经过P点的速度方向与x轴夹角为，如图所示 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 在P点垂直电场方向的分速度为 可见为定值。粒子穿过电场过程沿y轴负方向做匀速直线运动，则有 因为定值，故所有经过P点的粒子在匀强电场中运动的时间均相同，故D正确。 故选AD。 11. 如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为SP=L，MN左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（　　） A．打中荧光屏的最短时间为 B．打中荧光屏的最长时间为 C．打中荧光屏的宽度为 D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为1∶2 【答案】ACD 【详解】A．离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则 解得轨道半径 离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子轨迹恰好经过P点，如下图所示 由几何关系可知轨迹圆心角为，所以能打在荧光屏的最短时间，故A正确； B．离子轨迹如下图所示 离子速度为从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打在荧光屏上的离子周期 打在荧光屏的最长时间为，故B错误； C．离子打在荧光屏的范围总长如上图中的长度，由几何关系可知，故C正确； D．当时，离子的轨道半径为，离子恰好打在MN上的临界运动如图所示 离子速度为从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打到N点的离子离开S时的初速度方向和打到点的离子离开S时的初速度方向的夹角为 故能打到荧光屏上的离子数与发射的离子 之比为，故D正确。 故选ACD。 12. 如图，在区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度为。在时刻，一位于坐标原点的粒子源向轴右侧平面各方向均匀发射出大量相同的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知沿轴正方向发射的粒子在时刻好从磁场边界上点离开磁场，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．粒子的比荷为 C．第一个离开磁场的粒子所用的时间要大于 D．时刻已经离开磁场的粒子数与仍在磁场中的粒子数之比为 【答案】BD 【详解】A．带电粒子从O点到P点做匀速圆周运动，其运动情况如下图 根据几何关系和P点坐标可得 解得 故A错误； B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得， 又因为 解得， 可知粒子从O点到P点转过圆心角120°，用时 解得 联立可得 故B正确； CD．由于是同样的粒子，且初速度大小相同，根据可知，所有粒子做匀速圆周运动的半径相同。 如上图可知，设粒子初速度方向和轴正方向夹角为，根据几何关系，当时，随着增大，粒子从磁场右边界离开的位置逐渐从点开始下移，圆周运动经过的弦长先减小后增大，对应的圆心角也先减小后增大，在磁场中运动的时间从先减小到某一数值又增大到略小于。 当时，轨迹是以为圆心为半径的圆，从点离开磁场，且与磁场右边界相切，此时转过圆心角240°，运动时间最长，为。 当时，随着增大，转过的圆心角减小，在磁场中运动的时间也从逐渐减小。其中，当时，轨迹是以为圆心为半径的圆，从点离开磁场，转过的圆心角为，经历的时间为。 若粒子运动了离开磁场，则粒子转过的圆心角为，，轨迹是以为圆心为半径的圆。可见，当时，粒子在磁场运动的时间应该比更小。第一个离开磁场的粒子应是、沿轴负方向发射的，其刚发射就偏转出磁场了，所用的时间要小于。 的取值范围在和之间的粒子，在时刻已经离开磁场，剩下的粒子仍在磁场中，又因为粒子源向各方向均匀发射粒子，故时刻已经离开磁场的粒子数与仍在磁场中的粒子数之比为。 故C错误、D正确。 故选BD。 题型4磁聚焦与磁发散 1. 磁发散和磁聚焦模型 如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R＝r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点 点射出。（会聚） 证明：四边形OAO′B为 ，必是平行四边形，对边平行，OB必 AO′（即竖直方向），可知从A点发出的带电粒子必然经过 点。 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场 相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。（发散） 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向 【答案】 B 菱形 平行于 B 半径 2. 如图，在半径为的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆形区域右侧有一竖直感光板MN。带正电粒子从圆弧顶点P以速率v0平行于纸面进入磁场，已知粒子质量为m，电量为q，粒子重力不计。若粒子对准圆心射入，则下列说法中错误的是（　　） A．粒子一定沿半径方向射出 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若粒子速率变为2v0，穿出磁场后一定垂直打到感光板MN上 D．粒子以速度v0从P点以任意方向射入磁场，离开磁场后一定垂直打在感光板MN上 【答案】C 【详解】A．带正电粒子从圆弧顶点P以速率v0平行于纸面且对准圆心射入磁场，根据对称性，一定沿半径方向射出，A正确； B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 可得 粒子在磁场中运动的周期 可得 画出粒子运动轨迹如图所示 由图知，轨迹圆弧对应的圆心角为，故运动时间为，B正确； C．若粒子速率变为2v0，则轨道半径变为2R，运动轨迹如图 粒子不是垂直打到感光板MN上，C错误； D．当带电粒子以v0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R，设粒子射入方向与PO方向夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子运动轨迹如图所示 由几何知识，可知四边形POSO3为菱形，，因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关，离开磁场后一定垂直打在感光板MN上，D正确。 由于本题选择错误的，故选C。 3. 如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部汇聚于C点，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电 B．带电粒子的入射速度大小为kBR C．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 D．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】A．带电粒子往下偏转，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A正确； B．所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，作出运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，图中四边形为菱形，则粒子在磁场中运动轨迹的半径等于区域圆的半径，则有 解得，故B正确； CD．当粒子流按如上图所示的方式入射时，所经过区域面积最小，故C错误，D正确。 故选ABD。 4. 如图所示，在第一象限存在垂直xOy平面向外的磁场，磁感应强度大小与到O点的距离r成反比，即满足（k未知），磁场分布在的范围内，第三象限与第四象限分别存在垂直xOy平面向里和向外的半径为的圆形匀强磁场，磁感应强度大小均为。第二象限有一束质量是m，电荷量是q，速度大小为v，与x轴的距离满足的范围内的粒子水平向右运动，已知这束带电粒子均在第一象限做圆周运动并垂直于x轴进入第四象限，最终均会打在垂直于y轴的屏上。不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用。 (1)求出的表达式中k的数值； (2)离x轴距离不同的入射粒子，在第四象限圆形磁场中运动的时间不同，求最长时间与最短时间的时间差； (3)计算出第三象限磁场内有粒子经过的区域面积，并画出粒子打在屏上的范围。 【答案】(1) (2) (3)，见解析图 【详解】（1）粒子在第一象限磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 结合题意可知 联立可得 则有 （2）若在第三与第四象限磁场中做圆周运动半径为R2，同理可得 与圆形磁场半径相同从x=L处入射的粒子在第四象限运动时间最长，则有 从处入射的粒子在第四象限运动时间最短，则有 联立解得 （3）在第三象限磁场内有粒子经过的区域面积 画出粒子打在屏上的范围如图所示 题型5磁场最小面积问题 5. 一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60° C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 【答案】BCD 【详解】A．磁场方向垂直于纸面向外，粒子在磁场中顺时针偏转，根据左手定则可知，带电粒子带正电荷，故A错误； B．由题意可知粒子在磁场中速度方向改变了60°，则带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60°，故B正确； C．由洛伦兹力提供向心力得 可得轨道半径为 粒子的运动轨迹如图所示 若是圆形区域磁场，则以CD为直径的圆面积最小，根据几何关系可知，故最小面积为 故C正确； D．若是矩形区域磁场，则以CD为长，以圆弧最高点到CD的距离h为宽，则矩形的面积最小；则有 所以矩形区域磁场最小面积为 故D正确。 故选BCD。 6. 如图所示，一个质量为、带负电荷粒子的电荷量为、不计重力的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于轴射出第一象限。已知。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）让大量这种带电粒子同时从轴上的点以速度沿与轴成0到的方向垂直磁场射入第一象限内，求轴上有带电粒子穿过的区域范围； （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这矩形磁场区域的最小面积。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子运动轨迹半径设为，如图所示 根据几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）粒子从轴上之间射出，设点纵坐标为为轨迹圆的直径，如图所示，由几何关系得 解得 可知轴上有带电粒子穿过的区域范围为 （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，粒子在此磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 如图所示，由几何关系可得矩形磁场区域的最小面积为 解得 7. 如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时运动方向与MN成角，MN长度为3L，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为 B．粒子从M到N所用的时间为 C．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L D．圆形匀强磁场区域的最小面积为 【答案】CD 【详解】C．如图所示 由几何关系可以得到 可得粒子圆周运动的半径为 C正确； A．从M到N，洛伦兹力冲量 又由 得 A错误； B．粒子从M到D时间 粒子从D到N时间 所以粒子从M到D时间 B错误； D．圆形磁场直径最小值为MD长度 所以圆形磁场最小面积为 D正确。 故选CD。 8. 如图所示，矩形ABCD中、。其内部有一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一个质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，经圆形磁场偏转后沿着AC方向从C点飞出矩形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子在磁场里运动的时间为 B．粒子在磁场里运动的时间为 C．圆形磁场区域的最小面积为 D．圆形磁场区域的最小面积为 【答案】C 【详解】AB．依题意，该粒子的运动轨迹如图所示    由几何关系可知 解得 可知粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为，所以粒子在磁场里运动的时间为 又 联立，解得 故AB错误； CD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 当ab为匀强磁场的直径时，圆形磁场面积最小，设其半径为R，由几何关系可得 可得最小面积为 联立，解得 故C正确；D错误。 故选C。 题型6带电粒子带电性不确定形成的多解 9. 如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 【答案】BCD 【详解】AC．若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，设轨迹半径为，运动轨迹如下图所示 由图中几何关系可得 解得 由洛伦兹力充当向心力 解得 由动量定理得 A错误，C正确； B．若粒子的运动轨迹如下图所示 由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹最小，速度最小，由 解得 B正确； D．若粒子带负电，运动轨迹如下图所示 当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为 D正确。 故选BCD。 10. 如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）若粒子垂直于x轴离开磁场，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立方程，解得 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为 若粒子从y轴离开磁场，如果粒子带正电，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可和，粒子在磁场中的偏转角为 所以运动时间为 联立解得 如果粒子带负电，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中的偏转角为 α2=90° 所以粒子在磁场中运动的时间为 11. 在磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，直线OM和ON之间的夹角为30°，一质量为m，带电量为q的粒子，沿纸面以大小为v0的速度从OM上的向左上方垂直磁场方向射入NOM之间，速度与OM成30°角，如图所示，已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，不计重力，则的距离为多少？ 【答案】若粒子带负电，为，若粒子带正电，为 【详解】若粒子电荷量q为负电荷，其在磁场中运动的轨迹如图所示 由图可得 根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 若粒子电荷量q为正电荷，其在磁场中运动的轨迹如图所示 则可得 所以 颗型7磁场方向不确定形成的多解 12. 如图甲所示，平面直角坐标系xOy第一、四象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），规定垂直于纸面向外为磁场的正方向，磁场的磁感应强度随时间t的变化规律如图乙所示，B0为已知量；第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E（未知）的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由点A（−L，0）处以大小为v0的初速度射入电场区域，其方向平行于xOy平面且与x轴正方向成θ=60°的夹角。t=0时刻粒子经y轴上的P点沿x轴正方向射入磁场区域。不考虑磁场变化的影响，忽略粒子的重力。求： (1)匀强电场的电场强度E； (2)从t=0至时间内，粒子动量变化量的大小； (3)粒子在时刻的x坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在P点的速度 设粒子由A至P运动的时间为t0，则 在沿y轴正方向上，根据动量定理，有 联立解得 （2）t=0时刻，粒子在P点，其速度为 设粒子在磁感应强度大小分别为B0、2B0，磁场中做圆周运动的周期分别为T1、T2，则周期分别为， 其中横轴1份时间单位 为3份时间单位 粒子运动轨迹如图所示 可知当时刻，粒子速度恰好沿x轴正方向，大小为 此段时间内，粒子动量变化量大小为 （3）设粒子在磁感应强度大小分别为B0、2B0磁场中运动的半径分别为r1、r2，根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 同理有 为4份时间单位 粒子运动轨迹如图所示 可知当时，粒子在x轴上的坐标为 可得 13. 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【答案】（1）；（2）（n=1，2，3，…） 【详解】（1）设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则 正离子做匀速圆周运动的周期 联立以上可得磁感应强度 （2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子的运动轨迹如图所示 两板之间正离子只运动一个周期T0时，有 当两板之间正离子运动n个周期nT0时，有 （n=1，2，3，…） 联立解得正离子的速度的可能值为 （n=1，2，3，…） 14. 小明同学对正、负电子对撞产生了浓厚的兴趣，他根据所学知识设计了正、负电子对撞装置，通过电子在匀强磁场中的运动来实现正、负电子在不同位置能发生正碰。如图所示，ab和cd是关于y轴对称、间距为2l的直线磁场边界，在两边界之间有两个有界匀强磁场。两磁场的边界MN位于x轴上方且平行于x轴，MN与x轴的距离h可调。MN下方的磁场垂直纸面向里，上方的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B。若将质量为m、电荷量为e的正、负电子分别从ab和cd磁场边界上沿x轴同时以相同速率进入强磁场，使正、负电子能在y轴的不同位置垂直于y轴方向发生正碰，则MN与x轴的距离h的大小可能是（不计粒子间的相互作用力和粒子重力）（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设正、负电子以速度v在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，根据牛顿第二定律有 解得 当粒子运动到MN上方磁场且恰好与ab边界相切，此时粒子在磁场中圆心角最大。根据几何关系有 当h＞r时 所以求得 当n=1时，无解； 当n=2时 当n＞3时 不成立。 所以 当h＜r时，如图所示，正、负电子在两磁场中存在往复运动的情况，根据几何关系有 解得 ，（n=2、3、4...） 当n=2时 当n=4时 但是不可能为 故选ABC。 题型8临界状态不唯一形成的多解 15. 如图所示，粒子源S产生的初速度为零，不同比荷的带正电粒子经过电压为的加速电场后，沿平行板中线方向进入匀强偏转电场，通过极板AG上的小孔P 离开电场，再从GF的中点M进入存在垂直纸面向外的匀强磁场的直角三角形区域，其中比荷为K的粒子恰好落在F点。已知偏转电场两板间的电压，，，，不计重力作用。 (1)求比荷为K的粒子经过P 点时的速度大小和与板AG的夹角θ； (2)求磁感应强度的大小B； (3)若粒子源S产生的粒子最终均能落在FH上，求粒子比荷的范围。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）在加速电场中，由动能定理 解得 在偏转电场中，由动能定理 联立，解得 由几何关系，则 解得 （2）由几何关系，可知粒子以速度 垂直于GF进入磁场，在磁场中做圆周运动，且可知轨道半径 由 解得 （3）设比荷为 则可得经加速电场加速后速度 偏转后速度 则由类平抛运动的几何关系可知，粒子仍在P 点以相同偏转角度射出，从M点垂直于GF进入匀强磁场， 则半径 解得 粒子落在FH上，可知 运动轨迹如图所示 半径最小时为，粒子打在F点，则 半径最大时为，运动轨迹与GH相切于点Q，则由几何关系 则 即 解得 16. 如图，在xoy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成的速度从P点射出，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程可能为 C．粒子在Q点的速度方向可能与y轴垂直 D．粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为 【答案】ABD 【详解】C．由题意，可画出粒子的运动轨迹如下图所示两种情形 显然，粒子在Q点的速度方向不可能与y轴垂直，故C错误； A．粒子运动的最短时间为图1所示情形，根据几何知识，知此时运动轨迹所对圆心角为，则可得，故A正确； B．在图1中，由几何知识可得粒子运动的半径为 则粒子运动的总路程为 在图2中，由几何知识可得粒子运动的半径为 则粒子运动的总路程为，故B正确； D．由于粒子在磁场中运动的周期相同，则粒子运动的时间之比等于圆心角之比，根据粒子的运动轨迹图可知图1情形粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为；图2粒子从P到O的时间为粒子从O到Q的时间为，故D正确。 故选ABD。 17. 如图所示，在xOy平面内，有圆心为O、半径为L的圆形区域，圆形区域内无磁场，圆形区域外存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子位于坐标为（0，2L）的P点，粒子的重力忽略不计。 (1)若该粒子沿y轴正方向从P点射出且不进入圆形区域，求粒子速度大小范围； (2)若该粒子沿x轴正方向从P点射出，经磁场后恰能经过O点，求粒子速度大小； (3)若该粒子沿x轴正方向从P点射出且不进入圆形区域，求粒子速度大小范围； (4)若该粒子沿x轴正方向以速率从P点射出，且能够再次回到P点，求该粒子从出发到再次过P点所经历的时间t和路程s。 【答案】(1) (2) (3)和 (4)， 【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 粒子恰好不进入圆形磁场区域的轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 有 （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 作出粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 （3）若该粒子从P点沿x轴正方向射入磁场且不进入圆形无磁场区域的临界轨迹如图所示 当粒子轨迹和无磁场圆最高点相切时，由几何知识可知半径为 洛伦兹力提供向心力 解得 当粒子轨迹和无磁场圆最低点相切时，由几何知识可知半径为 洛伦兹力提供向心力 解得 粒子速度大小范围为和 （4）若该粒子从P点以初速度，沿x轴正方向射入磁场，根据洛伦兹力提供向心力可知 轨迹圆半径为 周期 能够再次回到P点，粒子运动的轨迹如图所示 轨迹与圆的交点形成一个等边三角形，边长为，粒子从P点出发回到P点经过3个240°圆弧和3条边长。经过的时间为 经过的路程为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题提升1带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题 多解问题 知识点1 有界匀强磁场中的三类动态圆模型 模型 解读 “平移圆”模型 （1）条件：带电粒子射入匀强磁场的速度大小和方向相同，入射点不同但在同一直线上。 （2）特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。 （3）用法：将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子运动的有关临界问题 “放缩圆”模型 （1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的方向一定，但大小不同。 （2）特点：带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远。 （3）用法：用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题 “旋转圆”模型 （1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的大小一定，但方向不同。 （2）特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相同，其轨迹圆的圆心在以入射点为圆心，半径等于轨迹圆半径的圆周上。 （3）用法：将半径相同的轨迹圆以入射点为圆心旋转，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题 知识点2 磁聚焦和磁发散模型 磁发散 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与磁场圆上过入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，磁场圆上过该点的切线与入射方向平行 知识点3 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出 运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性 1. 确定圆周运动的 “圆心” 圆心是粒子运动轨迹的圆心，必须满足两个条件： 圆心在粒子 入射速度的垂线 上（洛伦兹力垂直于速度，指向圆心）。 圆心也在粒子 出射速度的垂线 上（同理，出射时洛伦兹力仍指向圆心）。 操作方法：分别过入射点、出射点作速度方向的垂线，两条垂线的交点即为圆心（记为O）。 2. 计算或测量圆周运动的 “半径” 半径可通过两种方式获取： 公式计算：若已知m、q、v、B，直接用计算。 轨迹测量：若已知入射点（A）、出射点（B）和圆心（O），则OA或OB的长度即为半径r（圆心到轨迹上任意点的距离相等）。 3. 确定磁场的 “边界形状” 磁场区域的边界由粒子轨迹与 “入射 / 出射边界” 共同决定，常见两种情况： 圆形磁场：若粒子从磁场边界入射、出射，且磁场为圆形，磁场边界通常与粒子轨迹相切或相交于入射、出射点。 有界直线磁场（如矩形、三角形磁场）：磁场边界为直线，粒子轨迹在磁场内是一段圆弧，出磁场后沿直线运动；此时磁场边界需包含这段圆弧，且与入射、出射的直线轨迹无重叠（粒子仅在磁场内受洛伦兹力）。 4. 验证边界：确保轨迹与磁场匹配 最后需确认：粒子在磁场内的运动轨迹（圆弧）完全在确定的磁场区域内，且出磁场后沿直线运动（不受洛伦兹力），无额外偏转。 题型1“平移圆”处理临界或极值问题 1. 如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为L，，现垂直AB边射入一群质量均为、电荷量均为、速度大小相等的带负电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子运动的时间为，则下列判断正确的是（    ） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为 D．粒子进入磁场时的速度大小为 2. 如图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为l C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为l2 3. 如图所示，在三角形OMN区域内存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，。磁场的边界MN上放置着一长度为L的挡板，挡板中心处有一小孔K。在ON的左侧空间有质量为m、电荷量为+q的粒子流均以初速度v平行OM进入磁场，到达K孔的粒子可沿任意角度穿过小孔，不考虑粒子与挡板碰撞后的运动情况，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．若粒子垂直挡板射出小孔K，则粒子的速度大小为 B．若粒子能从小孔K射出，则粒子的最小速度为 C．若粒子以最小的速度通过小孔K，则粒子在磁场中的运动时间为 D．若粒子的速度大小为且能从小孔K射出，则粒子在磁场中的运动时间为 题型2“放缩圆”处理临界或极值问题 4. 一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为3m，电荷量为q。以下正确的为（　　） A．粒子不能到达de中点 B．从bc边界出的粒子运动时间相等 C．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动率为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 5. 如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角、大小为（未知量）的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。求： (1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小； (2)若粒子恰好不能从磁场上边界射出，求粒子的入射速度大小； (3)若带电粒子的速度大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。 颗型3“旋转圆”处理临界或极值问题 6. 如图所示，边长为l的正方形abcd区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从ad边中点e沿ec方向射入磁场。当射入速度大小为v时，恰好从bc边中点f飞出磁场。不计粒子所受重力，则（　　） A．若粒子射入速度大小合适，可以从ab边界上任一点飞出磁场 B．当粒子速度大小为时，粒子在磁场区域运动过程中速度方向改变了90° C．当粒子速度大小为v时，粒子在磁场中运动的轨迹半径为 D．当粒子速度大小为2v时，粒子离开磁场时的速度方向与磁场边界垂直 7. 如图所示，在的区域存在垂直平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向均匀地发射速度大小均为v、质量为m、带电荷量为q的同种带电粒子。在x轴上距离原点L处垂直于x轴放置一个长度为L、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P（粒子一旦打在金属板P上，其速度立即变为0）。现观察到沿y轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与x轴平行。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度 B．磁感应强度 C．打在薄金属板左侧面的粒子数目占总数的 D．打在薄金属板右侧面的粒子数目占总数的 8. 如图所示，空间内有垂直纸面向里的匀强磁场（未画出），在O点有一粒子源，能沿纸面向各方向均匀发射初速度为v0，电荷量为+q，质量为m的带电粒子，O点右侧有一挡板PQ，已知OQ⊥PQ，OQ=PQ=a，当v0沿OQ方向时，粒子恰好打在挡板上端P点外，不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为2a B．击中挡板左侧的粒子占粒子总数的 C．击中挡板右侧的粒子占粒子总数的 D．若将挡板PQ两端延伸足够长，粒子打在挡板上的长度为2a 9. 如图所示，在xOy坐标的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴和y轴上装有两相互垂直的平面荧光屏，在第一象限坐标的M点处有一粒子源，在某时刻同时发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，均为，速度方向均在xOy平面内，分布在范围内。观察发现：x轴上的荧光屏OP之间发光，在P、Q之间的任一位置会先后两次发光；O、Q之间的任一位置只有一次发光，不考虑粒子间的相互作用和粒子所受重力，求： (1)粒子的运动半径和P点的坐标； (2)粒子打到荧光屏上的最短时间（用反角函数表达）； (3)Q点先后两次发光的时间间隔。 10. 如图所示，在xOy平面的第一、二象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在第三、四象限的－d≤y≤0范围内有沿x轴正方向的匀强电场，在坐标原点O有一粒子源可以向x轴上方以不同速率向各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，x轴上的P点坐标为（－d，0），y轴上的Q点坐标为（0，－d）。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列选项分析正确的是（　　） A．沿不同方向射入磁场经过P点的粒子速率可能相同 B．若以最小速率经过P点的粒子又恰好能过Q点，则电场强度大小为 C．若粒子源发射的粒子最大速率为ν，在第二象限中有粒子扫过的区域面积为 D．所有经过P点的粒子在匀强电场中运动的时间均相同 11. 如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为SP=L，MN左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（　　） A．打中荧光屏的最短时间为 B．打中荧光屏的最长时间为 C．打中荧光屏的宽度为 D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为1∶2 12. 如图，在区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度为。在时刻，一位于坐标原点的粒子源向轴右侧平面各方向均匀发射出大量相同的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知沿轴正方向发射的粒子在时刻好从磁场边界上点离开磁场，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．粒子的比荷为 C．第一个离开磁场的粒子所用的时间要大于 D．时刻已经离开磁场的粒子数与仍在磁场中的粒子数之比为 题型4磁聚焦与磁发散 1. 磁发散和磁聚焦模型 如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R＝r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点 点射出。（会聚） 证明：四边形OAO′B为 ，必是平行四边形，对边平行，OB必 AO′（即竖直方向），可知从A点发出的带电粒子必然经过 点。 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场 相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。（发散） 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向 2. 如图，在半径为的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆形区域右侧有一竖直感光板MN。带正电粒子从圆弧顶点P以速率v0平行于纸面进入磁场，已知粒子质量为m，电量为q，粒子重力不计。若粒子对准圆心射入，则下列说法中错误的是（　　） A．粒子一定沿半径方向射出 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若粒子速率变为2v0，穿出磁场后一定垂直打到感光板MN上 D．粒子以速度v0从P点以任意方向射入磁场，离开磁场后一定垂直打在感光板MN上 3. 如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部汇聚于C点，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电 B．带电粒子的入射速度大小为kBR C．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 D．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 4. 如图所示，在第一象限存在垂直xOy平面向外的磁场，磁感应强度大小与到O点的距离r成反比，即满足（k未知），磁场分布在的范围内，第三象限与第四象限分别存在垂直xOy平面向里和向外的半径为的圆形匀强磁场，磁感应强度大小均为。第二象限有一束质量是m，电荷量是q，速度大小为v，与x轴的距离满足的范围内的粒子水平向右运动，已知这束带电粒子均在第一象限做圆周运动并垂直于x轴进入第四象限，最终均会打在垂直于y轴的屏上。不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用。 (1)求出的表达式中k的数值； (2)离x轴距离不同的入射粒子，在第四象限圆形磁场中运动的时间不同，求最长时间与最短时间的时间差； (3)计算出第三象限磁场内有粒子经过的区域面积，并画出粒子打在屏上的范围。 题型5磁场最小面积问题 5. 一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60° C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 6. 如图所示，一个质量为、带负电荷粒子的电荷量为、不计重力的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于轴射出第一象限。已知。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）让大量这种带电粒子同时从轴上的点以速度沿与轴成0到的方向垂直磁场射入第一象限内，求轴上有带电粒子穿过的区域范围； （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这矩形磁场区域的最小面积。 7. 如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时运动方向与MN成角，MN长度为3L，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为 B．粒子从M到N所用的时间为 C．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L D．圆形匀强磁场区域的最小面积为 8. 如图所示，矩形ABCD中、。其内部有一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一个质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子，从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，经圆形磁场偏转后沿着AC方向从C点飞出矩形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）    A．粒子在磁场里运动的时间为 B．粒子在磁场里运动的时间为 C．圆形磁场区域的最小面积为 D．圆形磁场区域的最小面积为 题型6带电粒子带电性不确定形成的多解 9. 如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 10. 如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 11. 在磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，直线OM和ON之间的夹角为30°，一质量为m，带电量为q的粒子，沿纸面以大小为v0的速度从OM上的向左上方垂直磁场方向射入NOM之间，速度与OM成30°角，如图所示，已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，不计重力，则的距离为多少？ 颗型7磁场方向不确定形成的多解 12. 如图甲所示，平面直角坐标系xOy第一、四象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），规定垂直于纸面向外为磁场的正方向，磁场的磁感应强度随时间t的变化规律如图乙所示，B0为已知量；第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E（未知）的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由点A（−L，0）处以大小为v0的初速度射入电场区域，其方向平行于xOy平面且与x轴正方向成θ=60°的夹角。t=0时刻粒子经y轴上的P点沿x轴正方向射入磁场区域。不考虑磁场变化的影响，忽略粒子的重力。求： (1)匀强电场的电场强度E； (2)从t=0至时间内，粒子动量变化量的大小； (3)粒子在时刻的x坐标。 13. 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求： （1）磁感应强度B0的大小； （2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 14. 小明同学对正、负电子对撞产生了浓厚的兴趣，他根据所学知识设计了正、负电子对撞装置，通过电子在匀强磁场中的运动来实现正、负电子在不同位置能发生正碰。如图所示，ab和cd是关于y轴对称、间距为2l的直线磁场边界，在两边界之间有两个有界匀强磁场。两磁场的边界MN位于x轴上方且平行于x轴，MN与x轴的距离h可调。MN下方的磁场垂直纸面向里，上方的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B。若将质量为m、电荷量为e的正、负电子分别从ab和cd磁场边界上沿x轴同时以相同速率进入强磁场，使正、负电子能在y轴的不同位置垂直于y轴方向发生正碰，则MN与x轴的距离h的大小可能是（不计粒子间的相互作用力和粒子重力）（　　） A． B． C． D． 题型8临界状态不唯一形成的多解 15. 如图所示，粒子源S产生的初速度为零，不同比荷的带正电粒子经过电压为的加速电场后，沿平行板中线方向进入匀强偏转电场，通过极板AG上的小孔P 离开电场，再从GF的中点M进入存在垂直纸面向外的匀强磁场的直角三角形区域，其中比荷为K的粒子恰好落在F点。已知偏转电场两板间的电压，，，，不计重力作用。 (1)求比荷为K的粒子经过P 点时的速度大小和与板AG的夹角θ； (2)求磁感应强度的大小B； (3)若粒子源S产生的粒子最终均能落在FH上，求粒子比荷的范围。 16. 如图，在xoy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成的速度从P点射出，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程可能为 C．粒子在Q点的速度方向可能与y轴垂直 D．粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为 17. 如图所示，在xOy平面内，有圆心为O、半径为L的圆形区域，圆形区域内无磁场，圆形区域外存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子位于坐标为（0，2L）的P点，粒子的重力忽略不计。 (1)若该粒子沿y轴正方向从P点射出且不进入圆形区域，求粒子速度大小范围； (2)若该粒子沿x轴正方向从P点射出，经磁场后恰能经过O点，求粒子速度大小； (3)若该粒子沿x轴正方向从P点射出且不进入圆形区域，求粒子速度大小范围； (4)若该粒子沿x轴正方向以速率从P点射出，且能够再次回到P点，求该粒子从出发到再次过P点所经历的时间t和路程s。 学科网（北京）股份有限公司 $