数学（湘教版）-2024-2025学年高二上学期阶段性学习效果评估三（第二次月考）

2024一2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学（三)参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.A2.A3.C4.B5.C6.C7.C8.A 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.AB 10.BC 11.BCD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.(0,-1) 13.2 14.y2=1-2x 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：()因为抛物线C:=2pp>0)的准线方程为y=号，P(,6)是C上的 点，且PF=6+号=9，解得p=6, 故抛物线C的方程为x2=-12y; (6分) (2)由(1)知F(0,-3),如图所示， 因为N(0,-9),所以NF=6, 因为MF=NF,所以MF=6, y来 y=3 O M 因为抛物线C的通径长2p=12,则MF⊥y轴， 所以MN=V6+62=6W2. (13分) 16.(15分) 解：(1)由题意知，切线斜率存在， 在圆C:x2+y2=2中，圆心C(0,0),半径=√2， 点A(山，-)在圆C上，设切线斜率为k, 所以k.二1-0 1-0 1， (湖南教育)高二数学（三）参考答案第1页（共4页） 解得k=1, 故切线方程为x-y-2=0; (7分) (2)如图，由题意， 当直线斜率不存在时，直线与圆交于(-1,1)，（-1，-1)，弦长恰好为2， 直线x=-1满足条件； 当直线斜率存在时，设1：y+2=k(x+1),即-y+k-2=0, 则圆心C到直线1的距离d= k-2 V1+k2 2 所以在△BOC中，由勾股定理得， k-2 1+k2 1=2列，解得：太-}， 所以直线1的方程为：3x-4y-5=0, 综上所述，直线1的方程为x=-1或3x-4y-5=0 (15分) 1: x=-1 17.(15分) (1)证明：当n=1时，4a=2S+1=2a+l,所以a=号 当n≥2时，4an=2Sn1+n-1, 所以4an-4an-1=2Sn-2Sn1+1=2an+1, 即an=2a-+2 1 .1 所以an+2 2 是首项为1，公比为2的等比数列； (7分) (2)解：由(1)知a,=2- 2’ 所以5=24，登2"生2 2, 所以Tn=S+S2+S,+…+Sn= 21-2）x(3+n+2-2H-2-na+5) 1-222 (15分) 18.(17分) (1)解：若选①：对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y), (湖南救育)高二数学（三）参考答案第2页（共4页) 得函数的定义域为R,令x=y=0,可得f(0)=0 若选②：对任意x,y∈R,都有f(x)-xf(y)=y(x2-y2) 令x=1,y=0,可得0-f(0)=0,即f(0)=0; (5分) (2)证明：若选①：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x,则 0=f(0)=f(x)+f(-x), 且f(x)的定义域为R, 所以f(x)是奇函数； 若选②：对任意x,y∈R,都有f(x)-f(y)=xy(x2-y2), 令y=-x,可得-f(x)-f(-x)=-x2(x2-x2), 可得-x[f(x)+f(-x)】=0,由xeR,可得f(-x)=-f(x), (10分) 即f(x)为奇函数； (3)解：奇函数f(x)是R上的增函数， 由f(x2+1)+f(3x-5)<0,即f1+x2)<f(5-3x), 即有1+x2<5-3x,解得-4<x<1. .实数x的取值范围为（一4,1）. (17分) 19.(17分) (1)解：由抛物线y=。x2可得2=8y,焦点坐标为(0,2)； 所以可得b=2, 又商心率为e=台-，可得5d； 由a2=b2+c2,解方程可得a2=5,c2=1, 因此椭圆C的方程为+上=1； (5分) 54 (2)解：如图所示： 易知F(1,0), 当直线1的斜率为0时，不妨设M(V5,0),N(-5,0),则0M.ON=-5,不满足题 意； 当直线1的斜率不为0时，设直线1的方程为x=my+1,M(x,),N(x2,y2), (湖南教育)高二数学（三)参考答案第3页（共4页） (r 联立直线与椭圆方程 5+41,消去x可得(4m2+5)y2+8my-16=0, x=my+1 8m 16 易知△>0，由韦达定理可得y+y2=- 4m2+544=4m+5' 所以OM.ON=xx2+yy2=(m2+1)yy2+m(y+y2)+1 16(m2+1）8m2 +1=-4, 4m2+54m2+5 3 解得m=±号，所以x=±y+1,即2x+3y-2=0或2x-3y-2=0, 所以直线1的方程为2x+3y-2=0或2x-3y-2=0; (10分) (3)证明： 由(2)可知MN=+m+}-4少=V+m 8m 2 64 4m2+5 4m2+5 85(m2+1) 4m2+5 由AB∥l可设直线AB的方程为x=my(m≠O), 由对称性可设A(x,片)，B(-x,-), 联立=网(m学0与周写若1可得an+5列少产-20=0， 所以刘AB=4+)=4似2+1好 80(m2+1) 4m2+5 80(m2+1 ABP 可得 4m2+5 MW8V5(m2+ 、=25为定值， (17分) 4m2+5 (湖南教育)高二数学（三)参考答案第4页（共4页）2024—2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 高二数学（三) 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)》 1.设点P是椭圆+上=1上一点，F、E是椭圆的焦点，若PF-4,则PE 25'16 A.6 B.1 C.2 D.14 2.已知数列{an}为等比数列，Sn为{an}的前n项和，且S3=1,S6=3,则a1o+a,+a2= A.8 B.5 C.6 D.7 3.方程x2-y=2x所表示的曲线是 A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.抛物线 4.若点P(1,1)在圆C:x2+y2-x-2y-k=0的外部，则实数k的取值范围是 A.（-0,-1) c.（-到 D.（ 5.在平面直角坐标系中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足向量OP在向量OA上的投影 为-√5，则点P的轨迹方程为 A.x-2y+5=0 B.x+2y-5=0 C.x+2y+5=0 D.x-2y-5=0 6.椭圆E:+上 4+3=1(a>b>0)的两焦点分别为B,F,A是椭圆E上一点，当△FA5 的面积取得最大值时，∠EAF= A君 B.月 C.3 D 2π 7.分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学 (湖南教育)高二数学（三）第1页（共4页）》 科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路按照如图1所示的分形规律 可得如图2所示的一个树形图.记图2中第n行黑圈的个数为an,若an=144,则n= 第1行 第2行 08 第3行 图1 图2 A.5 B.6 C.7 D.8 8.雾淞大桥是一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设 该抛物线的焦点到准线的距离为p米)的一部分，左、右两边的悬索各连接着29根吊索，且 同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）.已知最中间的吊索的长 度（即图中点A到桥面的距离）为b米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点B到桥面 的距离)为 前主塔 后主塔 桥面 A. 98a2 pb 米 B. 49a2+pb 米 p p C. 169a2+pb米 D. 169a2+2pb 米 p 2p 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.下列直线中，与直线1：y=2x-1平行且与它的距离为2√5的是 A.2x-y+9=0 B.2x-y-11=0 C.2x-y+10=0 D.2x-y-12=0 10.若F(-5,0),F(5,0),动点P满足PF-PF=2a,当a=3和a=5时，点P的轨 迹为 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.一条直线 11.已知点P在圆C:(x-3)}+(y-3)2=4上，点A(2,0),B(0,2),则 A.直线AB与圆C相交 B.直线AB与圆C相离 C.点P到直线AB的距离大于0.5 D.点P到直线AB的距离小于5 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） (湖南教育)高二数学（三）第2页（共4页） 12.已知从点A(6,1)射出的光线经y轴上的点M反射后经过点B(3,-2),则点M的坐标 为 13.若双曲线-言=16>0)的一条新近线与直线+2y-4=0平行，则双曲线的右焦 点到一条渐近线的距离为 14.已知圆M与圆O:x2+y2=1内切，且圆M与直线x=2相切，则圆M的圆心的轨迹 方程为 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,P(x,-6)是C上的点，且 PF=9. (1)求抛物线C的方程； (2)已知点M在抛物线C上，N(0,-9),MF=WF,求MW. 16.(15分)已知圆C:x2+y2=2. (1)过点A(1,-1)作圆C的切线，求切线的方程； (2)若直线1过点P(-1,-2),且被圆C截得的弦长为2，求直线1的方程。 17.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sm,且4an=2Sn+n. 1 (1)证明： {a+2i 为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. (湖南教育)高二数学（三）第3页（共4页） 18.(17分)在①f(x+y)=f(x)+f(y),②f(x)-f(y)=y(x2-y2)中任选一个条件， 然后解答以下问题， 设函数f(x)是R上的增函数，对任意x,y∈R,都有 (填序号)· (1)求f(0)的值； (2)求证：f(x)是奇函数； (3)若f(x2+1)+f(3x-5)<0,求实数x的取值范围. 19.7分》设椭圆C言+六=0>6>0的-个圆点与抛物线y专的焦点燕合，5， B分别是椭圆的左、右焦点，离心率e= ,过椭圆右焦点F的直线I与椭圆C交于M,N 5 两点 (1)求椭圆C的方程； (2)若OM.ON=-4,求直线1的方程； (3)已知直线I斜率存在，若AB是椭圆C经过原点O的弦，且ABl,求证： AB为 MN 定值。 (湖南教育)高二数学（三）第4页（共4页）